1、1第二章 固体结合2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（ ）和库仑相互作用能，设离子的总数为 。2ln2N解 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表示相邻离子间的距离，于是有(1)12.34jijrrr前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后i要乘 2，马德隆常数为 234(1).nx当 X=1 时，有 1.2n2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为()mnurr试求：（1）平衡间距 ；0（2）结合能 （单个原
2、子的） ；W（3）体弹性模量；（4）若取 ，计算 及 的值。02,1,3,4mnrAeV解：（1）求平衡间距 r0由 ，有：)(0rdu mnnmnmr 1101.0 结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能1.2n2（用 w 表示）（2）求结合能 w（单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即 Umin即： （可代入 r0 值，也可不代入）nmrrUW00)(（3）体弹性模量由体弹性模量公式： 0209rUVrk（4）m =
3、2，n = 10， ， w = 4eV，求 、Ar30818105r)5(54)( 802010.20 代 入rrrUeVrW)(20将 ， 代入Ar30 Je196.12153849.027mN（1）平衡间距 r0 的计算晶体内能 ()2mnUr平衡条件 ， ，0rd10n10()nmr（2）单个原子的结合能， ，01()Wur00()mnr1()nm31()2mnW（3）体弹性模量 02()VUK晶体的体积 ，A 为常数， N 为原胞数目3VNr晶体内能 ()2mnUrV123nrNA212()mnNr0220009nmnVUrr 由平衡条件 ，得01200()23mnVNrAr0mnr0
4、2 22009mnVUr022001mnVNr2009mnNVr00()mnUr0202()9V体弹性模量 0mnKU（4）若取 02,1,3,4rAWeV4，10()nmr(1)2mnW，102r201r，-9510.eVm192.0eVm2.6、bcc 和 fcc Ne 的结合能，用林纳德琼斯(LennardJones)势计算 Ne 在 bcc 和 fcc 结构中的结合能之比值解 126 1261()4(),()(4)()2nlururNAr266612001()rAd22061().5/9.)/(0.5743bcbcffu2.7、对于 ，从气体的测量得到 LennardJones 参数为
5、 计算 fcc 结构的2H6501,2.9JA的结合能以 KJ/mol 单位) ，每个氢分子可当做球形来处理结合能的实验值为 0.751kJmo1，试与计2算值比较解 以 为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 LennardJones 势相互作用，则晶体的2总相互作用能为： 126.ij ijjUNPR61214.539;.38,ij ijj i16 2350,2.9,6.01/.ergANmol因此，计算得到1262816.9.60/045.5/.363Umolerg KJl 将 代 入 得 到 平 衡 时 的 晶 体 总 能 量 为。的 晶体的结合能为 255KJmol，
6、远大于实验观察值 0.75lKJmo1 对于 的晶体，量子修正是很重2H 2H5要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因6第三章 固格振动与晶体的热学性质3.1、已知一维单原子链，其中第 个格波，在第 个格点引起的位移为， ，jnsin(_)njjjjjatq为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。j解任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即（1）sin()nnjjjjjatq2*2*nnjnjnjnj=由于 数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第 2 项与第一项相比是一小量，
7、nj可以忽略不计。所以 22nnj由于 是时间 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为njt（ 2）022 211si()Tjjjjjjatnqdta已知较高温度下的每个格波的能量为 KT， 的动能时间平均值为nj0 022 201 1si()4LT Tnjjnj jjjjjdwaxtLtnaqdtwLa 其中 L 是原子链的长度， 使质量密度， 为周期。07所以 （3）214njjTwLaKT因此 将此式代入（2）式有 22njjPL所以每个原子的平均位移为 22221nnjj jjKTPL3.2、讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a） ，其 2N 个格波解，当
8、 = 时与一维单原子链的Mm结果一一对应。 解：质量为 的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ；质量为 的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 。 Mm牛顿运动方程 22121()nnnMN 个原胞，有 2N 个独立的方程设方程的解 ，代回方程中得到(2)211itnaqnAeB22()(cos)0cosmaqMA、B 有非零解， ，则2coscsaq12 2()41in()mM两种不同的格波的色散关系12 222()41sin()imMaq一个 q 对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为 2N. 8当 时 ，Mm4cos2inaq两种色散关系如图所示：长波极限情况下
9、 ， ，0qsin()2aq与一维单原子晶格格波的色散关系一致.(2)m3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为 和 ，两种原子质量相等，且最10近邻原子间距为 。试求在 处的 ，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如 这样2a0,qa()q2H的双原子分子晶体。答：（1）浅色标记的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ；深色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 。第 2n 个原子和第 2n1 个原子的运动方程：2221211()nnnnm体系 N 个原胞，有 2N 个独立的方程方程的解： ，令 ，将解代入上述方程得：1(2)2()1itnaqnitAeB22
10、1/,/m112222111()()0iaqiaqiaqiaqeBeA A、B 有非零的解，系数行列式满足：9112222111(),()0iaqiaqiaqiaqee11122222211()()()0iaqiaqiaqiaqee11122222211iaqiaqiaqiaq因为 、 ，令 得到2020120,cm2 40 0(1)(1cos)aq两种色散关系： 201)当 时， ，0q20(1)02当 时， ，a20(8)02（2）色散关系图：3.7、设三维晶格的光学振动在 q=0 附近的长波极限有 20()qA求证： ; .1/20023/(),4VfA0,f解 11222 200 0
11、0(),qf Aq时 ，依据 ，并带入上边结果有3()2,()()q qVdsf 1/2 1/20 033 22 3/014()2qVdsAVf A 103.8、有 N 个相同原子组成的面积为 S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与。2T证明：在 到 间的独立振动模式对应于平面中半径 到 间圆环的面积 ，且kdnd2nd则2 253Lsnkdv即，23 32 20/ /2 2 203111m D DB B xB BkT kTskTskTsd dEEveveve ,()vsTC3时 ，3.9、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为 0qBnqBFUkT证
12、明:量子谐振子的自由能为 12qBqkTBnqBFUkTe经典极限意味着（温度较高） BTg=应用 21.xe所以2.qBqqkTBkT因此 0112qqqnBnBFUUkTk其中 0q3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为 ，使用德拜模型求晶体的零点振动能。12证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能 就是各振动模零点能之和。0E11和 代入积分有00012mEgdE将 23sVgv，由于40239168mmsVNv098mBDBDkENk得一股晶体德拜温度为 ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟210K3.11、一维复式格子
13、求（1） ，光学2415.67,.50/MmgNmm4(.510/),dyncm即波 ，声学波 。0maxin,axA（2）相应声子能量是多少电子伏。（3）在 300k 时的平均声子数。（4）与 相对应的电磁波波长在什么波段。0max解（1） ，413ax 221.50/.0,67AdyncmsM42413max 24. ./6.7051.051670o dyncms43ax 221.0/.9567Adyncms（2）1132max61132in.87004.595o seV（3） max maxax ax/ /1.87, 0.1A OB BAkT kTnee mini/10.26OBkT（4
14、） 8.c12第四章 能带理论4.1、根据 状态简并微扰结果，求出与 及 相应的波函数 及 ?，并说明它们的特性说明kaE它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 说明能隙的来源(假设 = )。2nV*解令 ， ，简并微扰波函数为ka00()(kkAxB0*()0nEAVB取 0nkE带入上式，其中 0()nEkV13V(x)0, ,从上式得到 B= -A,于是0nV=00()nixixakkAAxeL 2sinAxaL取 ， E0()nEV,nB得 到=00()ixixakkAAxeL 2cosAnxaL由教材可知， 及 均为驻波 在驻波状态下，电子的平均速度 为零产生驻波因为电子波 ()k矢
15、时，电子波的波长 ，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，并与反射nka2akn波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。4.2、写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 的 0 级波函数。2ka解21()* 411()imxiximximxikxkaaakeeeeLLL 第一能带： *20,()2ixakmxa第二能带：2 3*21,1,()x ixa akbmxea Lii则 即 （ e=）第三能带：25* 22,()ixiixaakcmxeL 即144.3、电子在周期场中的势能221(),mbxnabxna当0 ， ()Vx b当 (-
16、1)+其中 d4b， 是常数试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度解(I) 题设势能曲线如下图所示(2)势能的平均值：由图可见， 是个以 为周期的周期函数，所以()Vxa11()()()abLbVxddx题设 ，故积分上限应为 ，但由于在 区间内 ，故只需在 区间内积4a3,3b()0Vx,b分这时， ，于是 0n。222 321 1()() 6bb bbmmVxdxdxmaaa（3） ，势能在-2b,2b 区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数 20 0 01()cos,()cos()cos2 2bbmmVxVxVxdxVxdb1 120,1()bg gmEEb第 一 个
17、禁 带 宽 度 以 代 入 上 式利用积分公式 得22 3cossincossinuuduum第二个禁带宽度 代入上式2316mbgE2,2gEV以 代 入 上 式 ,15再次利用积分公式有220()cosbgmxEdb 2mb2gE4.4、解：我们求解面心立方，同学们做体心立方。（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成： ()0() sikRsssRsEkJe近 邻在面心立方中，有12个最近邻，若取 ，则这12个最近邻的坐标是：0m (1,0)(,)(1,)(,)22aa ,0,1 (1,0),)(1,)(,)22aa由于S态波函数是球对称的，在各个
18、方向重叠积分相同，因此 有相同的值，简单表示为J 1= 。()SR()SJR又由于s态波函数为偶宇称，即 ()(ssr在近邻重叠积分 中，波函数的贡献为正*()()sissiJRUVdJ 10。于是，把近邻格矢 代入 表达式得到：S()sSE01()sikRsSsEkJe近 邻= ()()()()222201xyxyxyxyaaaaikikikikS e+()()()()2222yzyzyzyzaaaaikikikikeee()()()()2222xzxzxzxzaaaaikikikikee= 01cos()cos()cos()cos()2222SxyxyyzyzJkkkk 16cos()co
19、s()2zxzxakk()()2sco= 014cosscos22s xyyzzxaaaJkkk （2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：(1,)(,)(1,)(,1)2aa,201()8(coscos)22ss xyzaaEkJkk4.7、有一一维单原子链，间距为 a，总长度为 Na。求（1）用紧束缚近似求出原子 s 态能级对应的能带 E(k)函数。 （2）求出其能态密度函数的表达式。 （3）如果每个原子 s 态只有一个电子，求等于 T=0K 的费米能级及 处的能态密度。0FE解 010101(1),()2cos2cosikais skJeJkaEJka0()()sikRsE
20、p (2) , 112()2sinsiLdNaNNEJkJka(3), 0 00()22Fk FFdk0 01 11()cos,()sinF sFNEJaEJJa4.8、证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大 2 倍(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(c)(b)的结果对于二价金17属的电导率可能会产生什么影响 7解（a）二维简单正方晶格的晶格常数为 a，倒格子晶格基矢 2,AiBja第一布里渊区如图所示a0 a22 , .,BxyziKijaKm A区 边 中 点 的 波 矢 为 角 顶 点 的 波 矢 为自
21、 由 电 子 能 量 222,Axa点 能 量所以22222 ,BxyKmama点 能 量 /2BAb)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为 ,AijCka第一布里渊区如图72所示 2;Ama点 能 量18222222 3,BxyzKmmaama点 能 量所以 /3BA(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图 72 所示根据自由电子理论，自由电子的能量为，FerM 面应为球面由(b)可知，内切于 4 点的内切球的体积 ，于是在22xyzKm 34aK 空间中，内切球内能容纳的电子数为 其中33421.07VNa= 3VN二价金属每个原子可以提供 2 个自由电子，内切球内只能装下
22、每原子 1.047 个电子，余下的 0.953 个电子可填入其它状态中如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括 B 点)这样，晶体将只有绝缘体性质然而由 (b)可知，B 点的能员比 A 点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形 Ferm 面因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以
23、可以导电4.10、解：设晶体中有N个Cu原子，向其中掺入x个锌原子。则晶体中电子的总数为：(N-x)+2x=N+x由于Cu是面心立方，每一个原胞中含4个电子。因此：晶体中包含的原胞数为： 4N其倒格子为体心立方，倒格子的边长为： ，对角线的长度为：4a3a于是：布里渊区边界到原点的距离为： 134即：当Fermi球与第一布里渊区边界相切时， Fka又由： 3342FVkNx332FNxa19于是有： 3344NxxaN10.3597xN0.564x即：当锌原子与铜原子之比为0.56时，Fermi球与第一布里渊区边界相接触。4.12、正方晶格设有二维正方晶格，晶体势为 2,4coss.xyUxy
24、a用基本方程，近似求出布里渊区角 处的能隙,a解以 表示位置矢量的单位矢量，以 表示倒易矢量的单位矢量，则有，,ij 12,b121rxyGbgga为 整 数 。晶体势能 2,4coss.xyU222211ixixiyiyiGGreeUe。这样基本方程 1 020.GU其 中 ， 而 其 他 势 能 傅 氏 系 数()kGCK变 为求布里渊区角顶111111110GGGUCKUCK，即 处的能隙，可利用双项平面波近似,a(,)2k来处理。()()(iKr iKGrCee当 时依次有11,22G20而其他的 ，11,22KGKG1KG，所以在双项平面波近似下上式中只有 1, ;221CCG121
25、02GCUG12Gu=0，因为u12G 211221Gma 22()0,UUma由 行 列 式 有 解 得 =.u+所 以 在 （ ,-） 处 的 能 隙 为 =a第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动5.1、设有一维晶体的电子能带可写成 ， 其中 为晶格常数， 是271()(cos2)8Ekkamam电子的质量。试求（1）能带宽度；（2）电子在波矢 k 状态的速度；（3）带顶和带底的电子有效质量。解：（1） 271()(cos2)8Ekkam= coska+ (2cos2ka1)2ma78121 (coska2) 21 24ma当 ka(2n+1) 时,n=0,1,22max()Ek当 ka
26、=2n时, in()0能带宽度2maxinE（2） 1()1(sii)4dkka(3) 2* 1(co2)Ek 当 时,带底，0*m当 时,带顶，ka*235.5、解：（1）电子的运动速度： 1()kvE 加速度： ()kkdvdt t由于单位时间内能量的增加=力在单位时间内作的功即： 1kEsFvEFdtt 123221kkv EFt k写成分量的形式：222221131231 1dvEEFFFtkkm 2222131232dt k 22231312333 3vEEFFFtkm 其中： （i,j=1,2,3）2ijijm由题知：2231kkEm容易得出： 同理：211k2311,m同理：21
27、210Em1323130故运动方程为：123dvFtdvmt（2）当存在磁场 作用时，电子将受到洛仑兹力作用BFev当 相对于椭球主轴的方向余弦为 时，电子的运动方程可写成：,123233112()()()ijkvBvBviVBjVBk 电子的运动方程可写成：23 1232322113 2()()dvmFevBvtVdvevvt其中： 123,BB由于电子在磁场 作用下作周期性运动，故可设试探解：代入上述方程组可得：1023ititve即123213imvvi13233120imvvi有非零解的条件是123,v231230imi22212313iiimi即： =e2B22213213m 2=
28、*eBm21232*m即： 其中： 证毕1/1232224第六章 金属电子论第七章 半导体电子论7.1、InSb 电子有效质量 ，介电常数 ，晶格常数 。试计算；(1)施主的电离能；0.15em186.49aA(2)基态轨道的半径；(3) 施主均匀分布，相邻杂质原于的轨道之间将产生交叠时掺有的施主浓度应该高于多少？解（1）由于施主电离能 是氢原子电离能 的DEiE20*m倍 ，420*.143.6().591()7)iDmEeVeV25（2） ，2 28000417.52()6.310().1()*4maaAme （3） ，如果施主的电子与类氢基态轨道发生重叠，则均匀分布于 中施主杂质浓度 就
29、一定满足InSbDN3 208311(2),()4.91()26.0)DaNa26第十二章 晶体中的缺陷和扩散例 1假设把一个钠原子从钠晶体内部移到边界上所需要的能量为 1ev(1)，试计算室温（300k）时，sckottky空位的浓度？（已知： =0.97 克/原米 3，原子量为 23）Na解：（1）设 N 为单位体积内的 Na 原子数，则在温度 T 时，schottky 定位的浓度 n 可写成： BuKTNe由题知：u=1ev=1.602 10 -19J=0.97 克/厘米 3 每 cm3 含 Na 的 mol 数为：Na0.9723每 cm3Na 中所含的原子数为：N= 230.9761
30、02于是：1923.60238.976123BuKTnNee54.210个 厘 米例 2. 如果 u 代表形成一个 Frenkel 缺陷所需的能量，证明在温度 T 时，达到热平衡的晶体中，Frenkel 缺陷的数目为：.2uKTBnNe解：达到热平衡时，在 N 个原子的晶体中形成 n 个空位的可能方式数为：1!()nwC这 n 个原子排列在 N个间隙位置上的可能方式数为：2 !()Nn这样，从 N 个原子中取出 n 个原子并把它们排 n个间隙位置上的总方式数为：= =12!()()由此引起的熵的增量为：27!lnlln()()BNskw=利用斯特令公式:luN!=NlnN-N得 系统的自由能改
31、ln()()lnl()()lnB BsklkNnlN=变： FuTsU 为形成一个 Frenkel 缺陷所需的能量。由热平衡条件： 0Tn有2()lBNuK即： ()BuKTne,N=2.uKBTne有证毕例 3铁一碳合金是面心立方结构，晶体常数为 3.61 ，设碳占的比重为 1.7%试计算当碳是填隙式或替代A式渗入时，合金的密度各等于多少？解：C 的 mol 质量： 12g，C：含量为：1.7%Fe 的 mol 质量：55.85g,Fe：应为：98.3%因此：在 100 克合余中，如果 C 是替代式溶入，则1.7045()2molmol的 数 98.36Fell的 数100g 合金的总 mo
32、l 数=0.1415+1.76=1.9015(mol)在 1mol 的合金中：C 的 mol 数=0.145.79molFe 的 mol 数= 1.76.2.905mol于是替代式的合金密度：28238(0.925.07451)461)原 胞 质 量原 胞 体 积=7.43 克/厘米 3。如果 C 以填隙方式溶入铁的晶格中则 =7.88 克/厘米 32387.45.19460.显然，C 以不同的方式存在于 Fe 中，其密度的差别较大，因此，可以用实验的方法确定碳原子在合余中的存在方式。例 4设 t=0 时，在晶体表面每单位面积上集中着扩散粒子 N，试求径过 t 时间后，扩散粒子的均方位移？2x
33、Dt解：本题属于有源扩散问题。t 时刻，x 处扩散粒子的浓度是：24(,)xDtNnxte扩散粒子的均方位移可按下式求出： 2242(,)xDttxntded32549(4)(12)yDttP例 5已知 c 在 中的扩散系数 D 与温度关系的实验数据为：当温度为 200时，扩散系数 D200 =10-Fe11cm2/秒。温度为 760时，D 760 =10-6cm2/秒，试求扩散过程的激活能 Q（千焦耳/摩尔） 。气体常数 R= 8.31J/molK.华工 99 年研究生入学考试三（ 15 分）解：由 D=Doe-Q/RT 有： /0QRTe12/ /20760.QRTCCD 2912()57
34、601QRTcDe12()ln125l08.312470RQT.56=83.38kJ/mol.作业：（1）对于铜，形成一个肖脱基空位的能量为 1.2ev，在接近熔点时（1300K） ，估算空位的浓度。形成一个填隙原子所需的能量约为 4ev，估算接近熔点时填隙原子的浓度。试比较这两种浓度的数量级差多少？（2）在离子晶体中，由于电中性的要求，Schottky 缺陷都是成对地产生的。令 n 代表正、负离子空位的对数，E 是形成一对缺陷所需要的能量，N 为整个离子晶体中正、负离子对的数目；证明：nNe 2.BKT(3)已知 C 在 铁中的扩散系数 D 和温度 T 的关系一组实验数据如下T/ -10 27 200 760D/（cm 2/s） 510-19 10-16 10-11 10-6求 1mol 原子的激活能 Q=N0 和频率因子 D0.http:/
