1、第 1 页 共 5 页2010 2011 学年度第一学期高等数学 21（理工） 试卷（A 卷）评阅标准及考核说明适用年级专业：2010 级高等数学 21 理工类（本科）考 试 形 式：（ ）开卷、 （）闭卷一、选择题（每小题 3 分，共 12 分。请将答案填在下面的表格内）1、C 2、A 3、D 4、B二、填空题（每题 3 分，共 12 分）1、 2、lna()fxC3、 4、收敛2()e三、求下列极限（每题 5 分，共 10 分）1、解： （1 分）2121lim()li()xxx（2 分）432lix（2 分）413422li()lim()1xx ex2、解： （3 分）sin0ta 20
2、tan(si)colmliexxxtd （2 分）20silm1tancxx四、求下列函数的导数或微分（每题 5 分，共 15 分）、解： 2 222(arctn)(l1)arct (1)1dy xxx x （2 分）（2 分）1221arctn()xx（1 分）t2、解：方程 两边同时对 求导得2arclyxyx第 2 页 共 5 页（1 分）22211()yxyx（2 分）221yxyx得 （1 分）22yxy故 （1 分）xyd3、解：由 ，则由参数方程求导得cosintyt（2 分）()isdytttx（2 分） 2()1cinttd所以 （1 分）2332s|ttyx五、求下列积分（
3、每题 6 分，共 12 分）1、解： （2 分）222 20011cossincosdxdxx（2 分） 2 220 0tan(tan)(ta)x （2 分）01rct2、解：因为 （1 分）sinlsilnsilnxdxdx（2 分）cocoslncoslnxdx（1 分）sinlslinlxxd第 3 页 共 5 页所以 （2 分）1sinl(sinlcosl)2xdxC六、简答题（共 7 分）解：因为点 在曲线 上，所以(1,3)32yxabc（1 分）abc又因为 处是此可导函数的极值点，所以2x（2 分）2|(3)|140xyab 又因为 是拐点，所以1,)（2 分）1|(6)|6x
4、xya由式可得， （2 分）3,05bc七、应用题（共 8 分）解：由已知可得 ， ，（2 分） 2516yx4,由此可得旋转体的体积为 422()()Vdx （3 分）02516516x（3 分）4cos42220 0sin160dd 令八、解微分方程（每小题 7 分，共 14 分） （1）解：由 可得 （1 分）dyx1dxy该方程是一阶线性非齐次常微分方程，其对应的齐次方程为分离变量可得 两边积分可得dxyxy即 （ 为常数） ，（2 分）xC由常数变易法可令 ，代入原方程可得()yx第 4 页 共 5 页，解得 ，（2 分）()1Cy2()yC所以可得原方程的通解为， （ 为常数）（2
5、 分）2yx（2）解：由已知可得方程 的特征方程为2109xe特征值为 （2 分）109r12,r所以其相应的齐次方程的通解为（ 为常数）（1 分）912xxyCe12,C又 2 不是特征值，故原方程有特解 代入原方程可得*2xye*7xye所以原方程的通解为（ 为常数）（2 分）9212xxxC12,C又因为， 可得0063|,|7xxy，解得12397C12C所以满足初值问题的特解为 （2 分）9217xxxyee九、综合题综合型（共 10 分）解：令 ，则()xfea()1xfxe令 ，可得唯一驻点 （2 分）0x 当 时， ；当 时， ，所以 在 处取得极大值1()fx()0fx()fx1，这也是函数 的最大值，分以下几种情形讨论（2 分）()fea()f（1）当 时， 无实根；（1 分）110fea()fx(2) 当 时，即 ，所以 只有一实根 ；()e0()0fx1x（1 分）第 5 页 共 5 页（3） 时，即 ，又11()0feaea(1)0flimli)xxx（2 分）()(fe并且 在 和 严格单调，所以方程 在区间 和xa,1)(,)()0fx(,1)分别有唯一实根，故原方程有两个实根。（2 分）(1,)注：考核类型是指：三基类、一般综合型和综合型。
