1、离散数学同步练习册学 号姓 名专 业教学中心华南理工大学网络教育学院二 OO 八年九月第一章命题逻辑一填空题（1）设：p：派小王去开会。q：派小李去开会。则命题：“派小王或小李中的一人去开会” 可符号化为： pq 。（2）设 A，B 都是命题公式，AB ，则 AB 的真值是 T 。（3）设：p：刘平聪明。q：刘平用功。在命题逻辑中，命题：“刘平不但不聪明，而且不用功” 可符号化为： pq 。（4）设 A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为A B PQ 。（5）设， p：径一事； q：长一智。在命题逻辑中，命题：“不径一事，不长一智。 ” 可符号化为： pq 。（6）设 A , B 代表
2、任意的命题公式，则德 摩根律为（A B） AB 。（7）设， p：选小王当班长； q：选小李当班长。则命题：“选小王或小李中的一人当班长。 ” 可符号化为： (AB) (AB) 。（8）设， P：他聪明；Q：他用功。在命题逻辑中，命题：“他既聪明又用功。 ” 可符号化为： PQ 。（9）对于命题公式 A，B，当且仅当 AB 是重言式时，称“A 蕴含 B”，并记为 AB。（10）设：P：我们划船。Q：我们跑步。在命题逻辑中，命题：“我们不能既划船又跑步。 ” 可符号化为： (PQ) 。（11）设 P , Q 是命题公式，德摩根律为：（P Q） PQ 。（12）设 P：你努力。Q：你失败。在命题逻
3、辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。 ” 可符号化为： PQ 。（13）设 p：小王是 100 米赛跑冠军。q：小王是 400 米赛跑冠军。在命题逻辑中，命题：“小王是 100 米或 400 米赛跑冠军。 ” 可符号化为： pq 。（4）设 A，C 为两个命题公式，当且仅当 A C 为一重言式时，称 C 可由 A 逻辑地推出。二判断题1. 设 A，B 是命题公式，则蕴涵等值式为 ABAB。 （ F ）2. 命题公式pqr 是析取范式。 （ T ）3. 陈述句“x + y 5” 是命题。 （ T ）4. 110 (p=1,q=1, r=0)是命题公式 (pq)r)q 的成真赋值。 （ T ）
4、5. 命题公式 p(pq) 是重言式。 （ F ）6. 设 A，B 都是合式公式，则 ABB 也是合式公式。 （ F ）7. A(BC)( AB)(AC)。 （ F ）8. 陈述句“我学英语，或者我学法语” 是命题。 （ T ）9. 命题“如果雪是黑的，那么太阳从西方出”是假命题。 （ T ）10. “请不要随地吐痰！” 是命题。 （ F ）11. P Q P Q 。 （ F ）12. 陈述句“如果天下雨，那么我在家看电视” 是命题。 （ T ）13. 命题公式（P Q）（RT）是析取范式。 （ T ）14. 命题公式 (PQ) R (PQ) 是析取范式。 （ T ）三、选择题：在每小题的备选
5、答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的 内。1设：P：天下雪。 Q：他走路上班。则命题“只有天下雪，他才走路上班。”可符号化为 （1） 。（1）PQ（2）Q P（3） Q P（4）Q P2(1 ) 明年国庆节是晴天。(2 ) 在实数范围内， x+y 3。 (3 ) 请回答这个问题！(4 ) 明天下午有课吗？在上面句子中，是命题的只有 (2 ) 。3命题公式 A 与 B 是等值的，是指 (4 ) 。（1） A 与 B 有相同的命题变元（2） AB 是可满足式（3） AB 为重言式（4） AB 为重言式4(1 ) 雪是黑色的。(2 ) 这朵花多好看呀！。 (3 ) 请回答这个问题！
6、(4 ) 明天下午有会吗？在上面句子中，是命题的是 (1 ) 。5设：P：天下大雨。 Q：他乘公共汽车上班。则命题“只要天下大雨，他就乘公共汽车上班。 ”可符号化为 （2） 。（1）QP（2）P Q（3） Q P（4）Q P6设：P：你努力；Q：你失败。则命题“除非你努力，否则你将失败。 ”在命题逻辑中可符号化为 （3） 。（1）QP （2）P Q（3） P Q （4）Q P7(1 ) 现在开会吗？(2 ) 在实数范围内， x+y 5。 (3 ) 这朵花多好看呀 ！(4 ) 离散数学是计算机科学专业的一门必修课。在上面语句中，是命题的只有 (2 ) 。8设：P：天气好。Q：他去郊游。则命题“如
7、果天气好，他就去郊游。 ”可符号化为 （1） （1）PQ （2）Q P（3） Q P （ 4）Q P9下列式子是合式公式的是 （4） 。（1） （P Q） （2） （P （Q R） ）（3） （P Q） （4） Q R10 （1）1101110 （2） 中国人民是伟大的。 （3） 全体起立！ （4） 计算机机房有空位吗？在上面句子中，是命题的是 （1） 。11 设：P：他聪明；Q：他用功。则命题“他虽聪明但不用功。 ”在命题逻辑中可符号化为 （4） 。（1）P Q （2）P Q（3）P Q （4）P Q12 (1 ) 如果天气好，那么我去散步。 (2 ) 天气多好呀！ (3 ) x=3。 (4
8、 ) 明天下午有会吗？在上面句子中 (1 ) 是命题。13 设：P：王强身体很好；Q：王强成绩很好。命题“王强身体很好，成绩也很好。 ”在命题逻辑中可符号化为 （4） 。（1）P Q （2）P Q（3）P Q （4）P Q四、解答题1设命题公式为（pq）（qp） 。 （1）求此命题公式的真值表；（2）给出它的析取范式；（3）判断该公式的类型。（1）P q p q pq qp （pq）（q p）T T F F T F FT F F T T T TF T T F T T TF F T T F T T（2） （p q）p q（3）可满足式2设命题公式为（p q ）（p r） 。 （1）求此命题公式的
9、真值表；（2）给出它的析取范式；（3）判断该公式的类型。（1）p q r pq p r （p q）（p r ）T T T T T TT T F T T TT F T F T FT F F F T FF T T T T TF T F T T TF F T T T TF F F T F F(2)(pq) ( p r) (pr)(3) 可满足式3设命题公式为 Q （P Q） P。 （1）求此命题公式的真值表；（2）求此命题公式的析取范式；（3）判断该命题公式的类型。（1）P Q P Q P Q （P Q） P Q （P Q） PT T F F T T FT F F T F T TF T T F T
10、T FF F T T T F F(2) P（P Q）(3) 可满足式4完成下列问题 （1）求此命题公式 Q （P Q） P 的真值表；（2）求命题公式（P（QR） ）S 的析取范式。（1）同上表（2） P (Q R) S5设命题公式为（P （ P Q） ） Q。 （1）求此命题公式的真值表；（2）判断该公式的类型。（1）P Q P Q P （P Q） （P （P Q） ） QT T T T TT F F F TF T T F FF F T F F(2) 可满足式6设命题公式为（P Q）P） Q。 （1）求此命题公式的真值表；（2）给出它的析取范式；（3）判断该公式的类型。(1)P Q P P
11、Q （P Q ） P （P Q ） P） QT T F T F TT F F T F TF T T T T TF F T F F T(2) P Q(P Q)(3)重言式7用直接证法证明 前提：P Q，P R，Q S结论：S R证明：8用直接证法证明 前提：P (Q R)，S Q，P，S。结论：R证明：S Q， S 推出 Q （假言推论）P (Q R)， P 推出 Q R （假言推论） Q， Q R 推出 R （析取三段论）第二章谓词逻辑一填空题（1）若个体域是含三个元素的有限域a，b，c，则A(x) A(a)A(b)A(c) （2）取全总个体域，令 F(x)：x 为人,G(x)：x 爱看电影。
12、则命题“没有不爱看电影的人。 ”可符号化为_(x_(F(x)_ G(x)_。（3）若个体域是含三个元素的有限域a，b，c，则xA(x) A(a) A(b) A(c) 。（4）取全总个体域，令 M(x)：x 是人,G(y)：y 是花, H(x,y)：x 喜欢 y。则命题“有些人喜欢所有的花。 ”可符号化为_xy (_M(x) H(x,y) G(y)_。（5）取个体域为全体人的集合。令 F(x)：x 在广州工作,G(x)：x 是广州人。在一阶逻辑中，命题“在广州工作的人未必都是广州人。 ”可符号化为_x (F(x) G(x)_。（6）P(x)：x 是学生，Q(x) ：x 要参加考试。在谓词逻辑中，
13、命题：“每个学生都要参加考试” 可符号化为：x(P(x) Q(x) ) 。（7）M (x)： x 是人，B(x )：x 勇敢。则命题“有人勇敢，但不是所有的人都勇敢”谓词符号化为 _x (M(x) B(x) (x(M(x) B(x)_。（8）P(x)：x 是人，M(x )：x 聪明。则命题“尽管有人聪明，但不是一切人都聪明”谓词符号化为 _x (P(x) M(x) (x(P(x) M(x)_。（9）I( x)：x 是实数，R(x) ：x 是正数，N(x)：x 是负数。在谓词逻辑中，命题：“任何实数或是正的或是负的” 可符号化为：x(I(x) R(x) R(x) 。（10）P(x)： x 是学生
14、，Q(x) ：x 要参加考试。在谓词逻辑中，命题：“每个学生都要参加考试” 可符号化为：x(P(x) Q(x) ) 。（11）令 M(x)：x 是大学生, P(y)：y 是运动员, H(x, y)：x 钦佩 y。则命题“有些大学生不钦佩所有运动员。 ”可符号化为 _xy(M(x) P(y) H(x, y) _ _。二判断题1. 设 A，B 都是谓词公式，则x A B 也是谓词公式。 （ T ）2. 设 c 是个体域中某个元素，A 是谓词公式，则 A(c) xA(x)。 （ F ）3. xyA(x,y) yxA(x,y) 。 （ T ）4. xyA(x,y) yxA(x,y) 。 （ F ）5.
15、 取个体域为整数集，则谓词公式x y(x y = y ) 是假命题。 （T ）6. (x)（P(x)Q(x)） (x)（P(x) Q(x)） 。 （T ）7. 命题公式 (PQ R) (PQ) 是析取范式。 （ F ）8. 谓词公式(x)(A (x) B(x, y) R(x) 的自由变元为 x, y。 （ F ）9. （x）A（x） B）（x） （A（x） B） 。 （F ）10. R(x)：“x 是大学生。 ” 是命题。 （T ）三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的 内。1设 F（x）： x 是火车， G（x）：x 是汽车，H（ x，y）：x 比
16、y 快。命题“某些汽车比所有火车慢”的符号化公式是 (2) 。（1） y（G（y） x（ F（x） H（x，y） ） ）（2） y（G（y）x（F（x） H（x，y） ） ）（3） x y（G（y）（F（x） H（x，y） ） ）（4） y（G（y） x（ F（x）H（x，y） ） ）2设个体域为整数集，下列真值为真的公式是 (3) 。（1）yx (x y =2)（2）xy(x y =2)（3）xy(x y =2)（4）xy(x y =2)3设 F（x ）：x 是人，G （x）：x 早晨吃面包。命题“有些人早晨吃面包”在谓词逻辑中的符号化公式是 (4) 。（1） （x） （F（x） G（x）
17、）（2） （x） （F（x） G（x） ）（3） （x） （F （x） G（x） ）（4） （ x） （F （x ） G（x） ）5下列式子中正确的是 (4) 。（1）（x ）P（x ）（ x）P（x） （2）（x ）P（x ）（ x） P（x）（3）（x） P（x）（x） P（x） （4）（x） P（x）（x ） P（x ）6下面谓词公式是永真式的是 (d) 。a) P（x ） Q（x ）b) （x）P（x） （x）P（x）c) P（a） （x ）P（x）d) P（a） （ x）P（x）5设 S（x）： x 是运动员， J（y）：y 是教练员，L （x ，y）：x 钦佩 y。命题“所有运动员
18、都钦佩一些教练员”的符号化公式是 (c) 。a) x（S（x） y （J （y） L（x，y ） ） ）b) x y（S（x） （J（y） L（x，y） ） ）c) x（S（x） y（J（y） L（x，y） ） ）d) yx（S（x） （J（y） L（x，y） ） ）6下列式子是合式公式的是 (2) 。（1） （P Q） （2） （P （Q R） ）（3） （P Q） （4） Q R7下列式子中正确的是 (4) 。（1）（x ）P（x ）（ x）P（x） （2）（x ）P（x ）（ x） P（x）（3）（x） P（x）（x） P（x） （4）（x） P（x）（x ） P（x ）四、解答题1构造
19、下面推理的证明： 前提： x F（ x） y（F（y） G（y） ） R（y） ） ， x F（ x） 。结论： x R （x） 。2在一阶逻辑中构造下面推理的证明 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车。因而有的人不喜欢步行。令 F(x)：x 喜欢步行。G(x)：x 喜欢坐汽车。H(x) ：x 喜欢骑自行车。x( F(x) G(x), x(G(x) H(x), x H(x) x F(x)3在命题逻辑中构造下面推理的证明： 如果他是理科学生，他必须学好数学。如果他不是文科学生，他必是理科学生。他没学好数学，所以他是文科学生。4用直接证法证明：
20、 前提：（x） （C （x） W（x） R（x） ） ， （x） （ C（x）Q（x ） ）结论：（x） （Q（x ）R（x） ） 。第三章集合与关系一填空题（1）如果|A|n，那么|AA| n*n 。A 上的二元关系有_2 _个。n （2）集合 A 上关系 R 的自反闭包 r（R）=_。（3）设集合 A 上的关系 R 和 S，R=（1，2） ， （1，3） ， （3，2），S=（1, 3） ， （2，1） ， （3，2） ，则 SR= (2,2),(1，2) 。（4）如果|A|n，那么|P(A)| 。（5）设集合 A 上的关系 R 和 S，R= ，S=， ，则 RS= , 。（6）设集合 E
21、=a, b, c，E 的幂集 P(E) ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c_。（7）设 R 是定义在集合 X 上的二元关系，如果对于每个 x, yX，_ _ _ ，则称集合 X 上的关系 R 是对称的。（8）设关系 R 和 S 为，R=， ，S=， ，则 RS =_ _ _ _。（9）设 R 是定义在集合 X 上的二元关系，如果对于每个 x, yX，_ _ _ ，则称集合 X 上的关系 R 是自反的。二判断题1设 A、B、C 为任意的三个集合，则 A(BC)=A(BC)。 （ ）2设 S，T 是任意集合，如果 S T = ，则 S = T。 （ ）3集合 A=1,2,3,4上的关
22、系,是一个函数。 （ ）4集合 A=1，2，3，4上的整除关系是等价关系。 （ ）5集合 A 的幂集 P(A)上的包含关系是偏序关系。 （ ）6设 A=a, b, c, R AA 且 R=, 则 R 是传递的。 （ ）6设 A，B 是任意集合，如果 B ，则 A B A。 （ ）7集合 A=1,2,3上的关系,是传递的。 （ ）8集合 A=1，2，3，4上的小于关系是等价关系。 （ ）9关系x1, x2N, x1+x2,是自反的。 （ ）12设 X=1, 2, 3, Y=a, b, c。函数 F=,是双射。 （ ）13集合 A 上的关系 R 的自反闭包 r(R)=RIA 。 （ ）14集合 A
23、 上的偏序关系 R 是自反的、对称的、传递的。 （ ）15. 设 A，B 是任意集合，则 A B (A-B) (B-A)。 （ ）三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的 内。1设 A=a， b，c ，B=a，b ，则下列命题不正确的是 。a) AB=a，bb) AB= a ，b c) AB=cd) BA2设 A = a, b, c, d, A 上的关系 R = , , , ，则它的对称闭包为 。a) R = , , , , , , ，b) R = , , , , ，c) R = , , , , , ，d) R = , , , , , ，3对于集合1,
24、2, 3, 4 上的关系是偏序关系的是 。a) R=, ,b) R=, ,c) R=, ,d) R=, ,4设 A=1，2，3，4，5，B=6 ，7，8，9，10，以下哪个关系是从 A 到B 的单射函数 。a) f =， ，b) f =， ，c) f =， ，d) f =， ，5设 A = a, b, c，要使关系, , , R 具有对称性，则 。a) R = , b) R = , c) R = , d) R = , 6设 S=，1，1，2，则 S 的幂集 P（S）有 个元素 （1）3 （2）6 （3）7 （4）87设 R 为定义在集合 A 上的一个关系，若 R 是 ，则 R 为等价关系 。（
25、1）反自反的，对称的和传递的 （2）自反的，对称的和传递的（3） 自反的，反对称的和传递的 （4）对称的，反对称的和传递的8设 S，T， M 为任意集合，下列命题正确的是 。a) 如果 ST = SM，则 T = Mb) 如果 S-T = ，则 S = Tc) S-T Sd) S S = S9设 A = a, b, c，要使关系, , , R 具有对性，则 。（1）R = , （2）R = , （3） R = , （4）R = , 10设 A=1，2，3，4，5 ，B=a，b，c，d，e ，以下哪个函数是从 A 到 B的入射函数 。a) F =， ，b) F=，c) F =， ，d) F=，四
26、、解答题1已知偏序集（A，） ，其中 A=a，b，c ，d，e， “”为（a，b） ，（a，c） ， （a，d） ， （c，e） ， （b，e） ， （d，e） ， （a，e）IA。（1）画出偏序集（A，）的哈斯图。（2）求集合 A 的极大元，极小元，最大元，最小元。2设 R 是集合 A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9上的整除关系。 （1） 给出关系 R；（2）画出关系 R 的哈斯图；（3）指出关系 R 的最大、最小元，极大、极小元。 3设 R 是集合 A = 1, 2, 3, 4, 6, 12上的整除关系。（2） 给出关系 R；（2） 给出 COV A（3） 画出关系
27、 R 的哈斯图；（4） 给出关系 R 的极大、极小元、最大、最小元。 第五章代数结构一填空题（1）集合 S 的幂集 P(S)关于集合的并运算 “” 的零元为 _。（2）集合 S 的幂集 P(S)关于集合的并运算 “” 的零元为 _。（3）集合 S 的幂集 P(S)关于集合的并运算 “” 的么元为 _。（4）一个代数系统S, * ，其中 S 是非空集合。*是 S 上的一个二元运算，如果 ，则称代数系统S, * 为广群。二判断题1含有零元的半群称为独异点。 （ ）2运算“”是整数集 I 上的普通加法，则群的么元是 1。 （ ）三、填空题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列
28、叙述中的 内。1下列群一定为循环群的是 。e) （运算“”是整数集 I 上的普通加法）f) （R 是实数集， “”是普通乘法）g) （运算“”是有理数集 Q 上的普通加法）h) （P（S）是集合 S 的幂集， “”为对称差）2运算“”是整数集 I 上的普通减法，则代数系统 满足下列性质 。（1）结合律 （2）交换律 （3）有零元 （4） 封闭性3设 I 是整数集，N 是自然数集，P（S）是 S 的幂集， “，”是普通的乘法，加法和集合的交运算。下面代数系统中 是群。（1） （2） （3） （4）4下列代数系统不是群的是 。（5） （运算“”是整数集 I 上的普通加法）（6） （P（S）是集合
29、S 的幂集， “”为交运算）（7） （运算“”是有理数集 Q 上的普通加法）（P（S）是集合 S 的幂集， “”为对称差）第七章图论一填空题（1）一个无向图 G=（V，E ）是二部图当且仅当 G 中无 长度的回路。（2）任何图(无向的或有向的)中，度为奇数的顶点个数为 。（3）设 D 是一个有向图，若 D 中任意一对顶点都是相互可达的，则称 D 是_。（4）既不含平行边，也不含环的图称为 。（5）经过图中 一次且仅一次并且行遍图中每个顶点的回路，称为欧拉回路。（6）一棵有 n 个顶点的树含有_边。（7）设 G =（V，E） ，G =（V ，E）是两个图，若 且 ，称 G 是 G 的生成子图。
30、（8）经过图中 一次且仅一次的回路，称为哈密尔顿回路。二判断题15 个顶点的有向完全图有 20 条边。 （ ）2连通无向图的欧拉回路经过图中的每个顶点一次且仅一次。 （ ）3图中的初级通路都是简单通路。 （ ）4已知 n (n2)阶无向简单图 G 有 n 1 条边，则 G 一定为树。 （ ）5n 阶无向完全图 Kn 的每个顶点的度都是 n。 （ ）6一个无向图是二部图当且仅当它没有奇数度的顶点。 （ ）7任何图都有一棵生成树。 （ ）8连通无向图的哈密尔顿回路经过图中的每条边一次且仅一次。 （ ）9图中的初级回路都是简单回路。 （ ）10任一图 G=（V，E）的顶点的最大度数必小于 G 的顶点
31、数。 （ ）11欧拉图一定是汉密尔顿图。 （ ）12无向连通图 G 的任意两结点之间都存在一条路。 （ ）13根树中除一个结点外，其余结点的入度为 1。 （ ）三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的 内。1下列为欧拉图的是 。2下列各图为简单图的是 。3设无向图 G 有 12 条边，已知 G 中 3 度顶点有 6 个，其余顶点的度数都小于 3，则该图至少有 个顶点。（1）6 （2）8 （3）9 （4） 124下列四个有 6 个结点的图 是连通图。5称图 G=为图 G = 的生成子图是指_.（1）V V （2）V V 且 E E（3）V= V 且 E E
32、 （4）V V 且 E E6有向图中结点之间的可达关系是_。（1） 自反的，对称的 （2） 自反的，传递的（3） 自反的，反对称的 （4） 反自反的，对称的7在下列关于图论的命题中，为真的命题是 。a) 完全二部图 Kn, m (n 1, m 1)是欧拉图(1) (2) (3) (4)(1) (2) (3) (4)b) 欧拉图一定是哈密尔顿图c) 无向完全图 Kn（n3）都是欧拉图d) 无向完全图 Kn（n3）都是哈密尔顿图8下列各图为平面图的是 。9设 G 为任意的连通的平面图，且 G 有 n 个顶点，m 条边，r 个面，则平面图的欧拉公式为 。（1）n m + r = 2（2）m n +
33、r = 2（3）n + m r =2（4）r + n + m = 210 下列四个图中与其余三个图不同构的图是 。（1） （2） （3） （4）四、解答题1给定边集：（1，2） ， （1，3） ， （2，3） ， （2，4） ， （2，5） ， （3，4） ，(1) (2) (3) (4)（3，5） ， （4，5），（8） 画出相应的无向图 G（设 G 无孤立点） ；（9） 画出顶点子集 V1 = 2, 3, 4, 5导出的导出子图；（10）画出图 G 的一棵生成树。 2如图所示带权图，用避圈法(Kruskal 算法)求一棵最小生成树并计算它的权值。 3如图所示带权图，用避圈法(Kruskal 算法)求一棵最小生成树并计算它的权值。 4求带权图 G 的最小生成树，并计算它的权值。 5给定权为 2，6，3，9，4；构造一颗最优二叉树。 6给定权为 1，9，4，7，3；构造一颗最优二叉树。 7给定权为 2，6，5，9，4，1；构造一颗最优二叉树。
