1、20 12 20 13 学年第 2 学期合肥学院数理系实验报告课程名称： 数学模型 实验项目： 微分方程模型人口模型与预测 实验类别：综合性 设计性 验证性 专业班级： 10 级 数学与应用数学（2）班 姓 名： 王倩 学 号： 1007022039 实验地点： 数理系机房 实验时间： 2013 年 5 月 2 日 指导教师： 闫晓辉 成 绩： 1一.实验目的：掌握常微分方程模型的建模方法，并能用数值算法或 MATLAB库函数求解。二.实验内容：下表列出了中国 1982-1998 年的人口统计数据，取 1982 年为起始年（ ） ， 万人， 万人。0t1654N20mN年 1982 1983
2、1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990人口（万人）101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704114333年 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998人口（万人）115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810实验要求：1、建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。2、建立中国人口的 Logistic 模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。3、绘图，在图中标出
3、中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。三. 实验方案（程序设计说明）模型一：指数增长模型（马尔萨斯（Malthus）模型） 假设：人口净增长率 r 是一常数符号： 时刻时的人口，可微函数 时的人口x(t)0xt则 ()tr2于是 x（ t） 满足如下微分方程： 0()dxrt解为： 0()rtte模型二：Logistic 模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(x) 从而有： 0()dxrt对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项） ，令 r(x)=r-ax 此时得到微分方程： 或()dxrat1)mdt可改写成： ()mtx分离变量： 1drt两边积分并整理得： 1mrtxC
4、e令 x(0)= ，求得： 0 01满足初始条件 x(0)= 的解为： 0 0()mrtxte易见： lim()t四. 实验步骤或程序（经调试后正确的源程序）1、matlab 源程序%以 1982-1998 年共计 17 个数据为例进行拟合：t=0:16; %输入数据s=101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810;3y=log(s);p=polyfit(t,y,1)2、matlab 源程序t=0:16;
5、s=101654*(1+0.0131).t;plot(t,s,r)hold ont=0:16;s=101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810;plot(t,s,o)hold ont=0:16;s=200000./(1+(200000/101654-1)*exp(-0.029*t);plot(t,s,c)五程序运行结果1、运行结果p = 0.0131 11.5342031542yt0154ln.xx3.(
6、).tte预测公式预测 1991-1998 年的人口数量可得，1998 年的由指数增长模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别：指数增长模型年实际人口(万人)(万人) 误差1991 1143331992 115823 115819 441993 117171 117325 1541994 118517 118850 3331995 119850 120395 5451996 121121 121960 8391997 122389 123545 11561998 123626 125152 1526由 1991 年开始，指数增长模型预测的结果很好的反映了实际
7、情况。按此模型预测现在中国人口已超过 13 亿，到 2016 年中国人口将超过 15 亿。我们看到，尽管中国出台了计划生育的措施，但中国近几年仍处于高生育期，按指数增长模型预测的结果均比实际人口要多一些。同时由于中国人口调控政策比较得力，中国人口的自然增长率在逐年下降，虽仍有一定误差，但仍基本显示了 1991-1998 年的人口增长的趋势。2、运行结果如图所示：圈： 人口的实际统计数据5红线：人口的指数增长曲线x(t)=x0ert(x0=101654（1982 人口） ，r=0.01116)蓝绿线：人口的 Logistic 增长曲线 N(t)=Nm/（ 1+（Nm/N0-1）e -r*(t-t
8、0)）(Nm=200000(万),N 0=101654(万)(1982 人口)由预测公式预测 1991-1998 年的人口数量可得，1998 年的由 Logistic 模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别：Logistic 模型年实际人口(万人)(万人) 误差1991 1143331992 115823 115750 731993 117171 117161 101994 118517 118565 481995 119850 119961 1111996 121121 121348 2271997 122389 122728 3391998 12362
9、6 124099 473 $ $ $ 0 0 0 0 0 0 0 从上图图可以看出，人口总数具有如下规律：当人口数的初始值 N0Nm 时，人口曲线（虚线）单调递减，而当人口数的初始值 N0，它们皆趋于极限值 Nm。六实验总结用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找6出不相符的主要原因，对模型进行修改。 Malthus 模型与 Logistic 模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。 学生签名： 七教师评语及成绩教师签名： 年 月 日年 月 日
