1、1湖南工学院“专升本”基础课考试大纲高等数学考试大纲总 要 求考 生 应 按 本 大 纲 的 要 求 ， 了 解 或 理 解 “高 等 数 学 ”中 函 数 、 极 限 和 连 续 、 一 元函 数 微 分 学 、 一 元 函 数 积 分 学 、 无 穷 级 数 、 常 微 分 方 程 的 基 本 概 念 与 基 本 理 论 ； 学 会 、掌 握 或 熟 练 掌 握 上 述 各 部 分 的 基 本 方 法 。 应 注 意 各 部 分 知 识 的 结 构 及 知 识 的 内 在 联 系 ；应 具 有 一 定 的 抽 象 思 维 能 力 、 逻 辑 推 理 能 力 、 运 算 能 力 、 空 间
2、想 象 能 力 ； 有 运 用 基 本概 念 、 基 本 理 论 和 基 本 方 法 正 确 地 推 理 证 明 ， 准 确 地 计 算 ； 能 综 合 运 用 所 学 知 识 分 析并 解 决 简 单 的 实 际 问 题 。本 大 纲 对 内 容 的 要 求 由 低 到 高 ， 对 概 念 和 理 论 分 为 “了 解 ”和 “理 解 ”两 个层 次 ； 对 方 法 和 运 算 分 为 “会 ”、 “掌 握 ”和 “熟 练 掌 握 ”三 个 层 次 。内 容一 、 函 数 、 极 限 和 连 续（ 一 ） 函 数1. 考 试 范 围（ 1） 函 数 的 概 念 ： 函 数 的 定 义 函 数
3、 的 表 示 法 分 段 函 数（ 2） 函 数 的 简 单 性 质 ： 单 调 性 奇 偶 性 有 界 性 周 期 性（ 3） 反 函 数 ： 反 函 数 的 定 义 反 函 数 的 图 象（ 4） 函 数 的 四 则 运 算 与 复 合 运 算（ 5） 基 本 初 等 函 数 ： 幂 函 数 指 数 函 数 对 数 函 数 三 角 函 数 反 三 角 函 数（ 6） 初 等 函 数2. 要 求（ 1） 理 解 函 数 的 概 念 ， 会 求 函 数 的 定 义 域 、 表 达 式 及 函 数 值 。 会 求 分 段 函 数 的定 义 域 、 函 数 值 ， 并 会 作 出 简 单 的 分
4、段 函 数 图 像 。（ 2） 理 解 和 掌 握 函 数 的 单 调 性 、 奇 偶 性 、 有 界 性 和 周 期 性 ， 会 判 断 所 给 函 数 的类 别 。（ 3） 了 解 函 数 y=（ x） 与 其 反 函 数 y=-1（ x） 之 间 的 关 系 （ 定 义 域 、 值 域 、图 象 ） ， 会 求 单 调 函 数 的 反 函 数 。（ 4） 理 解 和 掌 握 函 数 的 四 则 运 算 与 复 合 运 算 ， 熟 练 掌 握 复 合 函 数 的 复 合 过 程 。（ 5） 掌 握 基 本 初 等 函 数 的 简 单 性 质 及 其 图 象 。（ 6） 了 解 初 等 函
5、数 的 概 念 。（ 7） 会 建 立 简 单 实 际 问 题 的 函 数 关 系 式 。（ 二 ） 极 限1. 考 试 范 围（ 1） 数 列 极 限 的 概 念 ： 数 列 数 列 极 限 的 定 义（ 2） 数 列 极 限 的 性 质 ： 唯 一 性 有 界 性 四 则 运 算 定 理 夹 逼 定 理 单 调2有 界 数 列 极 限 存 在 定 理（ 3） 函 数 极 限 的 概 念函 数 在 一 点 处 极 限 的 定 义 左 、 右 极 限 及 其 与 极 限 的 关 系 x 趋 于 无 穷（ x ， x + ， x - ） 时 函 数 的 极 限 函 数 极 限 的 几 何 意 义
6、（ 4） 函 数 极 限 的 定 理 ： 唯 一 性 定 理 夹 逼 定 理 四 则 运 算 定 理（ 5） 无 穷 小 量 和 无 穷 大 量无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 的 定 义 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 的 关 系 无 穷 小 量 与 无 穷大 量 的 性 质 两 个 无 穷 小 量 阶 的 比 较（ 6） 两 个 重 要 极 限1xsinlm0ex1limx）（2. 要 求（ 1） 理 解 极 限 的 概 念 （ 对 极 限 定 义 中 “ - N”、 “ - ”、 “ - M”的 描 述不 作 要 求 ） ， 能 根 据 极 限 概 念 分 析 函 数 的 变 化
7、趋 势 。 会 求 函 数 在 一 点 处 的 左 极 限 与 右极 限 ， 了 解 函 数 在 一 点 处 极 限 存 在 的 充 分 必 要 条 件 。（ 2） 了 解 极 限 的 有 关 性 质 ， 掌 握 极 限 的 四 则 运 算 法 则 。（ 3） 理 解 无 穷 小 量 、 无 穷 大 量 的 概 念 ， 掌 握 无 穷 小 量 的 性 质 、 无 穷 小 量 与 无 穷大 量 的 关 系 。 会 进 行 无 穷 小 量 阶 的 比 较 （ 高 阶 、 低 阶 、 同 阶 和 等 阶 ） 。 会 运 用 等 价无 穷 小 量 代 换 求 极 限 。（ 4） 熟 练 掌 握 用 两
8、 个 重 要 极 限 求 极 限 的 方 法 。（ 三 ） 连 续1. 考 试 范 围（ 1） 函 数 连 续 的 概 念函 数 在 一 点 连 续 的 定 义 左 连 续 和 右 连 续 函 数 在 一 点 连 续 的 充 分 必 要 条 件 函 数 的 间 断 点 及 其 分 类（ 2） 函 数 在 一 点 处 连 续 的 性 质连 续 函 数 的 四 则 运 算 复 合 函 数 的 连 续 性 反 函 数 的 连 续 性（ 3） 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质有 界 性 定 理 最 大 值 和 最 小 值 定 理 介 值 定 理 （ 包 括 零 点 定 理 ）（ 4） 初 等
9、 函 数 的 连 续 性2. 要 求（ 1） 理 解 函 数 在 一 点 连 续 与 间 断 的 概 念 ， 掌 握 判 断 简 单 函 数 （ 含 分 段 函 数 ） 在一 点 的 连 续 性 ， 理 解 函 数 在 一 点 连 续 与 极 限 存 在 的 关 系 。（ 2） 会 求 函 数 的 间 断 点 及 确 定 其 类 型 。（ 3） 掌 握 在 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 ， 会 运 用 介 值 定 理 推 证 一 些 简 单 命 题 。（ 4） 理 解 初 等 函 数 在 其 定 义 区 间 上 连 续 ， 并 会 利 用 连 续 性 求 极 限 。二 、 一 元
10、 函 数 微 分 学（ 一 ） 导 数 与 微 分1. 考 试 范 围3（ 1） 导 数 概 念导 数 的 定 义 左 导 数 与 右 导 数 导 数 的 几 何 意 义 与 物 理 意 义 可 导 与 连 续 的关 系（ 2） 求 导 法 则 与 导 数 的 基 本 公 式导 数 的 四 则 运 算 反 函 数 的 导 数 导 数 的 基 本 公 式（ 3） 求 导 方 法复 合 函 数 的 求 导 法 隐 函 数 的 求 导 法 对 数 求 导 法 由 参 数 方 程 确 定 的 函 数的 求 导 法 求 分 段 函 数 的 导 数（ 4） 高 阶 导 数 的 概 念 ： 高 阶 导 数
11、的 定 义 高 阶 导 数 的 计 算（ 5） 微 分 ： 微 分 的 定 义 微 分 与 导 数 的 关 系 微 分 法 则 一 阶 微 分 形 式 不变 性2. 要 求（ 1） 理 解 导 数 的 概 念 及 其 几 何 意 义 ， 了 解 可 导 性 与 连 续 性 的 关 系 ， 会 用 定 义 求函 数 在 一 点 处 的 导 数 。（ 2） 会 求 曲 线 上 一 点 处 的 切 线 方 程 与 法 线 方 程 。（ 3） 熟 练 掌 握 导 数 的 基 本 公 式 、 四 则 运 算 法 则 以 及 复 合 函 数 的 求 导 方 法 ， 会 求反 函 数 的 导 数 。（ 4）
12、 掌 握 隐 函 数 的 求 导 法 、 对 数 求 导 法 以 及 由 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 求 导 方法 ， 会 求 分 段 函 数 的 导 数 。（ 5） 理 解 高 阶 导 数 的 概 念 ， 会 求 简 单 函 数 的 n 阶 导 数 。（ 6） 理 解 函 数 的 微 分 概 念 ， 掌 握 微 分 法 则 ， 了 解 可 微 与 可 导 的 关 系 ， 会 求 函 数的 一 阶 微 分 。（ 二 ） 中 值 定 理 及 导 数 的 应 用1. 考 试 范 围（ 1） 中 值 定 理 ： 罗 尔 （ Rolle） 中 值 定 理 拉 格 朗 日 （ Lagra
13、nge） 中 值 定 理（ 2） 洛 必 达 （ LHospital） 法 则（ 3） 函 数 增 减 性 的 判 定 法（ 4） 函 数 极 值 与 极 值 点 最 大 值 与 最 小 值（ 5） 曲 线 的 凹 凸 性 、 拐 点（ 6） 曲 线 的 水 平 渐 近 线 与 垂 直 渐 近 线2. 要 求（ 1） 了 解 罗 尔 中 值 定 理 、 拉 格 朗 日 中 值 定 理 及 它 们 的 几 何 意 义 。 会 用 罗 尔 中 值定 理 证 明 方 程 根 的 存 在 性 。 会 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 证 明 简 单 的 不 等 式 。（ 2） 熟 练 掌 握 洛 必
14、 达 法 则 求 “0/0”、 “ / ”、 “0 ”、 “ - ”、 “1 ”、“00”和 “ 0”型 未 定 式 的 极 限 方 法 。（ 3） 掌 握 利 用 导 数 判 定 函 数 的 单 调 性 及 求 函 数 的 单 调 增 、 减 区 间 的 方 法 ， 会 利用 函 数 的 增 减 性 证 明 简 单 的 不 等 式 。（ 4） 理 解 函 数 极 值 的 概 念 ， 掌 握 求 函 数 的 极 值 和 最 大 （ 小 ） 值 的 方 法 ， 并 且 会解 简 单 的 应 用 问 题 。4（ 5） 会 判 定 曲 线 的 凹 凸 性 ， 会 求 曲 线 的 拐 点 。（ 6）
15、会 求 曲 线 的 水 平 渐 近 线 与 垂 直 渐 近 线 。（ 7） 会 作 出 简 单 函 数 的 图 形 。三 、 一 元 函 数 积 分 学（ 一 ） 不 定 积 分1. 考 试 范 围（ 1） 不 定 积 分 的 概 念 ： 原 函 数 与 不 定 积 分 的 定 义 原 函 数 存 在 定 理 不 定积 分 的 性 质（ 2） 基 本 积 分 公 式（ 3） 换 元 积 分 法 ： 第 一 换 元 法 （ 凑 微 分 法 ） 第 二 换 元 法（ 4） 分 部 积 分 法（ 5） 一 些 简 单 有 理 函 数 的 积 分2. 要 求（ 1） 理 解 原 函 数 与 不 定 积
16、 分 概 念 及 其 关 系 ， 掌 握 不 定 积 分 性 质 ， 了 解 原 函 数 存在 定 理 。（ 2） 熟 练 掌 握 不 定 积 分 的 基 本 公 式 。（ 3） 熟 练 掌 握 不 定 积 分 第 一 换 元 法 ， 掌 握 第 二 换 元 法 （ 限 于 三 角 代 换 与 简 单 的根 式 代 换 ） 。（ 4） 熟 练 掌 握 不 定 积 分 的 分 部 积 分 法 。（ 5） 会 求 简 单 有 理 函 数 的 不 定 积 分 。（ 二 ） 定 积 分1. 考 试 范 围（ 1） 定 积 分 的 概 念 ： 定 积 分 的 定 义 及 其 几 何 意 义 可 积 条
17、件（ 2） 定 积 分 的 性 质（ 3） 定 积 分 的 计 算变 上 限 的 定 积 分 牛 顿 一 莱 布 尼 茨 （ Newton - Leibniz） 公 式 换 元 积 分 法 分 部 积 分 法（ 4） 无 穷 区 间 的 广 义 积 分（ 5） 定 积 分 的 应 用 ： 平 面 图 形 的 面 积 旋 转 体 的 体 积 2. 要 求（ 1） 理 解 定 积 分 的 概 念 与 几 何 意 义 ， 了 解 可 积 的 条 件 。（ 2） 掌 握 定 积 分 的 基 本 性 质 。（ 3） 理 解 变 上 限 的 定 积 分 是 变 上 限 的 函 数 ， 掌 握 对 变 上
18、限 定 积 分 求 导 数 的 方 法 。（ 4） 掌 握 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 。（ 5） 掌 握 定 积 分 的 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法 。（ 6） 理 解 无 穷 区 间 广 义 积 分 的 概 念 ， 掌 握 其 计 算 方 法 。（ 7） 掌 握 直 角 坐 标 系 下 用 定 积 分 计 算 平 面 图 形 的 面 积 以 及 平 面 图 形 绕 坐 标 轴 旋转 所 生 成 的 旋 转 体 体 积 。5四 、 多 元 函 数 的 微 积 分 学 及 应 用（ 一 ） 多 元 函 数 的 微 分 学1. 考 试 范 围 （ 1） 多 元 函 数 的 概
19、 念 二 元 函 数 的 几 何 意 义 二 元 函 数 的 极 限 与 连 续 的 概 念（ 2） 多元函数偏导数的概念与几何意义 全微分的概念（3）全微分存在的必要条件和充分条件 （4）多元复合函数 隐函数的求导方法 二阶偏导数 2. 要 求（ 1） 理 解 多 元 函 数 的 概 念 ； 了 解 二 元 函 数 的 几 何 意 义 ； 了 解 二 元 函 数 的 极限 的 连 续 的 概 念 。（ 2） 理解多元函数偏导数和全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件。（3）掌握偏导数与微分的四则运算法则，掌握复合函数的求导法则法，会求一些函数的二阶偏导数。（ 二 ） 多 元 函 数
20、 的 微 分 学 的 应 用1. 考 试 范 围（ 1） 多元函数极值和条件极值的概念（2）多元函数极值的必要条件 二元函数极值的充分条件（3）多元函数极值和最值的求法及简单应用2. 要 求（ 1） 了解多元函数极值和条件极值的概念，知道多元函数极值存在的必要条件。（2）了解二元参数极值存在的必要条件和充分条件。（3）掌握二元函数极值、最值问题的求法，会解简单应用问题。 （ 三 ） 二 重 积 分1 考 试 范 围（ 1） 二重积分的概念和性质（2）二重积分的计算和应用2要求（1）了解二重积分的概念与性质，了解二重积分的中值定理。（2）掌握二重积分的计算方法，会用二重积分求一些简单几何量。五
21、、 常 微 分 方 程（ 一 ） 一 阶 微 分 方 程1. 考 试 范 围（ 1） 微 分 方 程 的 概 念 ： 微 分 方 程 的 定 义 阶 解 通 解 初 始 条 件 特 解6（ 2） 可 分 离 变 量 的 方 程（ 3） 一 阶 线 性 方 程2. 要 求（ 1） 理 解 微 分 方 程 的 定 义 ， 理 解 微 分 方 程 的 阶 、 解 、 通 解 、 初 始 条 件 和 特 解 。（ 2） 掌 握 可 分 离 变 量 方 程 的 解 法 。（ 3） 掌 握 一 阶 线 性 方 程 的 解 法 。（ 二 ） 可 降 价 方 程1. 考 试 范 围（ 1） y（ n） = （
22、 x） 型 方 程 （ 2） y = （ x， y ） 型 方 程2. 要 求（ 1） 会 用 降 价 法 解 （ 1） y（ n） = （ x） 型 方 程（ 2） 会 用 降 价 法 解 y = （ x， y ） 型 方 程（ 三 ） 二 阶 线 性 微 分 方 程1. 考 试 范 围（ 1） 二 阶 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构（ 2） 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程（ 3） 二 阶 常 系 数 非 齐 交 线 性 微 分 方 程2. 要 求（ 1） 了 解 二 阶 线 性 微 分 方 程 解 的 结 构 。（ 2） 掌 握 二 阶 常 系 数 齐 次 线
23、性 微 分 方 程 的 解 法 。（ 3） 掌 握 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 解 法 （ 自 由 项 限 定 为 （ x）=Pn（ x） eax， 其 中 Pn（ x） 为 x 的 n 次 多 项 式 。 为 实 常 数 ） .试 卷 结 构试 卷 总 分 ： 100 分考 试 时 间 ： 120 分 钟试 卷 题 型 比 例 ：选 择 题 约 15%填 空 题 约 25%计 算 题 约 40%综 合 题 约 20%试 题 难 易 比 例 ：容 易 题 约 40%中 等 难 度 题 约 50%较 难 题 约 10%章 节 比 例 ：一 、 函 数 、 极 限 和 连 续 约 25%二 、 一 元 函 数 微 分 学 约 25%三 、 一 元 函 数 积 分 学 约 25%7四 、 多 元 函 数 的 微 积 分 学 及 应 用 约 15%五 、 常 微 分 方 程 约 10%指定教材：高等数学 （上、下册）第五版，同济大学应用数学系编高等数学 王国政主编 復旦大学出版社高等数学学习指导 （上） 黎国玲主编 復旦大学出版社高等数学学习指导 （下 练习册）湖南工学院数学教研室编 復旦大学出版社
