1、调和级数的几个数论性质山东电大 2003 年第 2 期调和级数的几个数论性质韩登利(莱芜广播电视大学山东莱芜 271100)摘要:讨论调和级数前 n 项和的分子 Nn 的几个有趣的数论性质,并给出几个进一步研究的问题和猜想.关键词:调和扳数;数论性质中圈分类号:O156 文献标识码:A 文章编号:10083340(2003)02006201一,概念与符号我们约定下面的记号,H=毫 =1+=其中 (Nn,Dn)=1,N,D 分别是的最简分数形式中的分子与分母,例如:H2=1+= ,则 N2=3,o2=2,H 是一个发散级数.但是 N 有几个有趣的整除性质.以下我们总是假定 P2二,几个结果命题
2、1:如果 P 是素数,则 PIN.证明.Hp-=1+?+=c?+占+c+一?+c+.!.一(P 一 1)/2+1南南+P:P.i=Il【P1).1i,(Pi)P,.(P,Dp1)=1.PIN.-I不仅如此,进一步的分析,我们还能够得到更强的结论.命题 2:如果 P 是素数,则 p2IN.1.证明:由命题 1 的证明知,我们只需证p.i 善不妨设 p2,所以(p,2)=1,则有以下同余式:=上一上-1P2P2ipi2ii(一 i)一 i(一 i)一.i 一(modp)一丁 1?=1(modp)一一下 1.()(modp)由于 P.是素数 ,所以在 P 的剩余类域里有 i 一 j-1 甘 i-j(
3、modp),这样得可=-可一一.i2(modp).一寺寺 (1)P(2p 一 1)(pn0(roodp),命题得证.三,进一步研究的问题与猜想.有了命题 2,我们自然会进一步问,N 能否被 P 的更高次方整除? 答案是否定的 ,这里有反例:参见附表 P=5,P=7.我们用计算机计算了一部分 N 和 D,支持我们下面62猜想 1:VP,PNp.1猜想 2:Vm,如果N.1,则 m 不是素数.由此例题 1,例题 2 的性质本质上是素数独有的性质,综合得下面的索性猜想:索性猜想:VP2.P 是素数骨 pINo_l对于猜想 2,我们可以证明对一些特殊的合数猜想成立,要想完全证明,还很困难,在我们看来,
4、上面两个猜想的困难程度要远远大于本文给出的两个命题,它涉及到了剩余类域一些本质的东西,可能和数论中一些困难的问题有联系.另外,对 N 的素因子分解本身,数据表明,它的分解形式中次数大于 1 的素因子不会很多,甚至至多只有 1 个,lqn 中小于 n 的素因子只会在比较特殊的条件下出现 ,参见附表.关于整除性的类似的推广和猜想,参见2.参考文献:1华罗庚.教论导 M科学出版社 ,1975.2YuriMatiyaseveh,Whatdivisibilitypldogenemlimdhannnumbemhave?TheAmericanmathematicalMonthly,vol(99),N0.1,
5、7475,1992.nN 得泵凼子分解 D232311645?51251376067?72073?11?1114o8761280912925201011?11?612S2o1197?8632772o1213?13?509277201329?43?91936360141O49?111736o36o1529?4123336(13601617?17?843172(r72O1737?11389791225224O1819?19?39 苎 14I)84o801937?744O4:舅 77597S20205?11167027155195o42118858o535173168223?23?23?53?227517316823761?593859118982864245?577?46718335694859225109?312.408463892371480o263439574226789371480o27521?2789?215oB78031343320o2829?29375O351838031343320o2943?43?4O2901632329089=5628003031?31?53?l073?17783232gD89562800收稿日期:20021020作者简介:韩登利(1973 一),男,学士学位,莱芜广播电视大学数学教研室助教.
