1、第三章 多维随机变量及其分布 在实际应用中, 有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述. 例如, 研究某地区学龄前儿童的发育情况时, 就要同时抽查儿童的身高、体重, 这里, 和是定义在同一个样本空间某地区的全部学龄前儿童上的两个随机变量. 又如, 考察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标和纵坐标. 在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系，因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即多为随机变量的分布. 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难, 故我们重点讨论二维随机变量.第一节 多维随机变量的分布内容分布图示 二维随机
2、变量 二维随机变量的分布函数 例1 二维离散型随机变量及其概率分布 例2 例3 例4 例5 例6 二维连续型随机变量及其概率密度 例7 例8 例9 二维均匀分布 例10 二维正态分布 例11 内容小结 课堂练习 习题3-1 内容要点： 一、 二维随机变量定义1 设随机试验的样本空间为, 为样本点，而是定义在上的两个随机变量, 称为定义在上的二维随机变量或二维随机向量. 二、 二维随机变量的分布函数定义2 设是二维随机变量, 对任意实数, 二元函数称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量和的联合分布函数.联合分布函数的性质:（1） 且对任意固定的 对任意固定的(2) 关于和均为单调非减函数, 即
3、对任意固定的 当对任意固定的 当(3) 关于和均为右连续, 即 三、 二维离散型随机变量及其概率分布定义3 若二维随机变量只取有限个或可数个值, 则称为二维离散型随机变量. 结论：为二维离散型随机变量当且仅当均为离散型随机变量.若二维离散型随机变量所有可能的取值为 则称为二维离散型随机变量的概率分布(分布律), 或的联合概率分布(分布律).与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为联合概率分布表: 注：对离散型随机变量而言, 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观, 而且能够更加方便地确定取值于任何区域上的概率，即,特别地, 由联合概率分布可以确定联合分布函数: 四、二维连
4、续型随机变量及其概率密度定义 设为二维随机变量,为其分布函数, 若存在一个非负可积的二元函数, 使对任意实数, 有则称为二维连续型随机变量, 并称为的概率密度(密度函数), 或的联合概率密度(联合密度函数).概率密度函数的性质: (3) 设是平面上的区域,点落入内的概率为特别地, 边缘分布函数上式表明: 是连续型随机变量, 且其密度函数为:同理, 是连续型随机变量, 且其密度函数为:,分别称和为关于和的边缘密度函数.(4) 若在点连续, 则有 进一步, 根据偏导数的定义, 可推得:当很小时, 有即, 落在区间上的概率近似等于 五、二维均匀分布设是平面上的有界区域,其面积为.若二维随机变量具有概
5、率密度函数则称在上服从均匀分布. 六、二维正态分布若二维随机变量具有概率密度其中均为常数,且,则称服从参数为的二维正态分布.注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数，亦即对给定的，不同的对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同的，因此仅由关于和关于的边缘分布，一般来说是不能确定二维随机变量的联合分布的.例题选讲： 二维随机变量的分布函数例1 设二维随机变量的分布函数为(1) 试确定常数(2) 求事件的概率.解(1) 由二维随机变量的分布函数的性质, 可得由这三个等式中的第一个等式知故由第二、三个等式知于是得故的分布函数为(2) 由(1)式得 二维离散型随机变
6、量及其概率分布例2 (讲义例1) 设随机变量在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量在1中等可能地取一整数值，试求的分布律.解由乘法公式容易求得的分布律. 易知的取值情况是: 取不大于的正整数, 且于是的分布律为X1234Y11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16例3 (讲义例2) 把一枚均匀硬币抛掷三次, 设为三次抛掷中正面出现的次数, 而为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求的概率分布及关于的边缘分布.Y13X001/813/8023/80301/8解可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)故
7、的概率分布如右表.从概率分布表不难求得关于的边缘分布.从而得右表Y13X001/81/813/803/823/803/8301/81/86/82/81例4 设二维随机变量的联合概率分布为 YX010.30.10.110.050.2020.200.05求及解 二维连续型随机变量及其概率密度例5 设的概率分布由下表给出，求 表31B 0200.10.2010.20.050.120.1500.1解例6 一整数等可能地在十值中取一个值. 设是能整除的正整数的个数，是能整除的素数的个数（注意1不是素数）. 试写出和的联合分布律.并求分布律.解将试验的样本空间及取值的情况列表如下:所有可能取值为1,2,3
8、,4; 所有可能取值为0,1,2.容易得到取 的概率, 可得和的联合分布律及边缘分布律如下表:D1234F01/100001/10104/102/101/107/1020002/102/101/104/102/103/101即有边缘分布律 例7 (讲义例3) (1) 求分布函数 (2) 求概率解(1) 即有(2) 将看作是平面上随机点的坐标, 即有 其中为平面上直线及其下方的部分, 如图. 于是例8 (讲义例4) 设的概率密度是求 (1) 的值; (2) 两个边缘密度.解(1) 由确定 (2) 即二维均匀分布例9 设随机变量和具有联合概率密度 求边缘概率密度.解例10 (讲义例5) 设服从单位圆域上的均匀分布, 求X和Y的边缘概率密度.解当或时， 从而当时，于是我们得到的边缘概率密度由和在问题中地位的对称性, 将上式中的改成 就得到的边缘概率密度 二维正态分布例11 (讲义例6) 设二维随机变量的概率密度试求关于的边缘概率密度函数.解利用函数及奇偶函数的积分性质得 注: 此例说明, 边缘分布均为正态分布的二维随机变量, 其联合分布不一定是二维正态分布.课堂练习1.将两封信随意地投入3个邮筒, 设,分别表示投入第1, 2号邮筒中信的数目, 求和的联合概率分布及边缘概率分布.2.设向量的密度函数的密度函数为求 (1) 参数的值；（2）的边缘密度.
