1、第四讲 微分方程问题4.1 微分方程的基本概念问题4.2 如何求解一阶微分方程？例题11.，当时，令，则，代入方程，得，即，故.2.【齐次方程】，令，代入，得，即.3.【齐次方程或者伯努利方程】，令，则，代入方程，得，即，即，又，故.4.【一阶线性微分方程】，将代入上式，得，故.5.【关于函数为一阶线性微分方程】，.6.【一阶线性微分方程】，时，时，又连续，故，即，故由，得，所以7.【伯努利方程】，令，代入上式，得，通解为.8.【可化为齐次方程】令，则代入方程，得，令，解得，故，代入方程，得方程化为，令，则，代入上式，得，通解为.9.【化为微分方程】，令，得，将代入上式，得，故，.10.【一阶
2、线性微分方程】将代入微分方程，得，代入方程，得，即，又，故所求特解为.11.【经变量替换化为可分离变量方程】，代入，得，即，即.例题2 1.，由得，故当时，.2.，故所满足的一阶微分方程为.，得，代入，得，故.3.【方程两边对求导，化为微分方程，并注意初始条件】令，方程两边对求导，令，即，又，故.4.方程两边对求导，得，又，故，又，代入上式，得，故.5.令，方程化为，即，两边对求导，得，即，故.习题1.【可分离变量方程】，.2.【一阶线性微分方程】，又，得，故所求特解为.3.【可分离变量方程】，又，故所求特解为.4.【一阶线性微分方程】，由，得，故所求特解为.5.【可分离变量方程】，所求通解为
3、.6.【齐次方程】，设，代入方程得，将代入上式，得，故，即不满足初始条件，舍去，由，即，解得.7.【齐次方程】设，代入方程得，即，将初始条件代入，得，故所求特解为.8.【一阶线性微分方程】，即，所求通解为.9.由题设条件和线性微分方程解的性质知，是的非零解，故的通解为，由线性微分方程解的结构知，的通解为.问题4.3 如何求解可降阶的二阶微分方程？例题1.令，则，方程化为，再令，2.令，则，方程化为，分离变量，得，两边积分，得，即.将初始条件代入，得，故，解得，（不合题意，舍去）.再解，分离变量，得，两边积分，得，将初始条件代入，得，所求特解为，即.二阶可降阶方程求特解过程中，任意常数出现一个，
4、确定一个，有利于下一步求解.习题1.【不显含未知函数】令，则，方程化为，即，.2.【不显含未知函数】令，则，方程化为，即，将代入上式，得，故，将代入上式，得，故特解为.3.【不显含自变量】令，代入原方程，得，得或者，即，解得.，即，解得，即.4.【不显含自变量】令，代入原方程，得，将代入，得，解得，即，将代入，得，故或者，即.5.【不显含未知函数】令，则，方程化为，即，故，即，将代入上式，得，于是，或者（不合题意，舍去），故，将代入上式，得，所求特解为.问题4.4 关于线性微分方程解的性质、解的结构.例题 是非齐次方程的三个线性无关的解，则是齐次方程的两个线性无关的解，故的通解为.问题4.5
5、如何求解二阶常系数线性齐次方程？问题4.6 如何求二阶常系数线性非齐次方程的特解？例题1.【二阶常系数线性非齐次微分方程】的特征方程的根为，通解为，设的特解为， ，故，所求通解为，将代入，得，解得，所求特解为.本题也是二阶可降阶方程.2.【二阶常系数线性非齐次微分方程】的特征方程的根为，通解为，时，设的特解为，代入方程，得，所求通解为，其中为任意常数.时，设的特解为，代入方程，得，所求通解为，其中为任意常数.3.【二阶常系数线性非齐次微分方程】的特征方程的根为，通解为，设的特解为，代入方程，得，故，设的特解为，代入方程，得，比较系数，得，故，由叠加原理，设的一个特解为，所求通解为，其中为任意常
6、数.4.【二阶常系数线性非齐次微分方程】根据叠加原理，此方程的特解形式可设为.5.【只要验证满足方程和初始条件】的特征方程的根为，通解为， ，故令，代入方程，得，且.习题1.【二阶常系数线性非齐次微分方程】的特征方程的根为，通解为，设的特解为，代入方程，得，所求通解为，其中为任意常数.2.【二阶常系数线性非齐次微分方程】的特征方程的根为，通解为，设的特解为，代入方程，得，所求通解为，其中为任意常数.3.【二阶常系数线性非齐次微分方程】的特征方程的根为，通解为，设的特解为，代入方程，得，所求通解为，其中为任意常数.4.【三阶常系数线性齐次微分方程】的特征方程的根为，通解为，其中为任意常数.5.【
7、已知二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，求微分方程】选择D，理由如下：对应的齐次方程的特征方程的根为，特征方程为，即，函数所满足的微分方程为，将特解代入方程，得.6.【已知三阶常系数线性齐次微分方程的通解，求微分方程】选择D，理由如下：此方程的特征方程的根为，特征方程为，即，函数所满足的微分方程为.7.【线性微分方程的解的性质】选择A，理由如下：由线性微分方程解的性质，解得.本题也可以用下面的方法求解：将代入，得，将代入，得，解得.8.【二阶常系数线性非齐次微分方程】特征方程，解得，齐次方程的通解为，设非齐次方程的特解，则，代入方程，得，即，故，解得，故，所求通解为，其中为任意常数.问题4.7
8、 如何求解欧拉方程？（数学一）例题 【欧拉方程】令，则，方程化为，即，特征方程的根，所求通解为.问题4.8 如何利用变量替换化简方程？例题1.【函数替换，关键是求出】，代入原方程，得.（下略），再代入原方程.2.【自变量替换，关键是求出】，代入原方程，得.（下略）问题4.9 如何求解含变限积分的方程（积分方程）？例题1.【积分方程】方程两边对求导，即，又，故.2.【积分方程】，两边对求导，得，两边再对求导，得，故满足微分方程，由，得初始条件.3.【积分方程】由，得，令，即，又，得，故.【不等式】当时，其中，故当时，.4.【积分方程】方程两边对求导，令，得，两边对求导，又，故.5.【积分方程】方
9、程两边对求导，即，得，故.6.令，方程化为，即，两边对求导，得，即，即，即.问题4.10 如何用微分方程求解应用问题？例题1.（略）2.【利用导数的几何意义建立微分方程】曲线在点处的法线方程为，令 ，得，故点的坐标为.由题设知，即，解得，将代入上式，得，故曲线的方程为.曲线在上的弧长，的参数方程为弧长.3.由题设得，两边对求导，得，故所满足的微分方程为，将方程改写成，即，令，代入方程得，即，由初始条件，得，故，即.4.【考查切线、微分方程、定积分的应用】设切点为，切线方程为，即切线与轴的交点为，由交点到切点的距离恒为，得，即，由得，故.曲线、轴、轴为边界的区域的面积5.【利用建立方程，关键是受
10、力分析】质量，水平速度，飞机所受的总阻力，依题意，两边积分，得，即，将代入上式，得，故，飞机滑行的最长距离（km）6.【利用速度的方向和大小建立方程】设物体的运动轨迹方程为，时刻，物体位于，物体位于，依题意，有，即，对求导，得， 又，对求导，得，代入，得，初始条件为，.7. 设雪堆时刻的半径为，体积，侧面积，则（注意符号），即，即，初始条件为，解得.由，解得，雪堆全部融化时，.8.在任意时刻， ，初始条件为，解得.9.时刻液面的面积，故；时刻容器内液体体积，对求导，得，即，初始条件为，解得，所求曲线的方程为.10.建立坐标系如下：以桥墩下底面直径为轴，桥墩中心轴为轴，设桥墩母线方程为，.考察中
11、心轴上点处水平截面上所受的压力，有，方程两边的对求导，得，初始条件为，解得.11.【用微元法建立方程】设时刻桶内液体的含盐量，在内桶内液体的含盐量的改变量，即，初始条件为.（下略）问题4.11 差分与差分方程例题1. .2. .3.先解特征方程，得特征根，齐次方程的通解为，令非齐次方程的特解为，代入原方程，得，比较同次幂系数，得，特解为，所求通解为.4.先解特征方程，得特征根，齐次方程的通解为，令非齐次方程的特解为【因为右端项为，而1是特征根】，代入原方程，得，比较同次幂系数，得，特解为，所求通解为.5.先解特征方程，得特征根，齐次方程的通解为，令非齐次方程的特解为【因为右端项为，而1不是特征根】，代入原方程，得，比较同次幂系数，得，特解为，所求通解为.6.由题设知，第年的工资总额，故满足的差分方程是.131
