1、3.2.1 抛物线及其标准方程基础达标已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，则它的标准方程为()Ay28xBy28xCx28yDx28y解析：选D.2，p4，焦点在y轴负半轴上，故其标准方程为x28y.抛物线x28y的准线方程为()Ay2Bx2Cy4Dx4解析：选A.其焦点为(0，2)，故准线方程为y2.点P为抛物线y22px上任一点，F为焦点，则以P为圆心，以|PF|为半径的圆与准线l()A相交B相切C相离D位置由F确定解析：选B.圆心P到准线l的距离等于|PF|，相切如图，南北方向的公路L，A地在公路正东2 km处，B地在A北偏东60 方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A
2、地距离相等现要在曲线PQ上某处建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B修建公路的费用都为a万元/km，那么，修建这两条公路的总费用最低是()A(2)a万元B(21)a万元C5a万元D6a万元解析：选C.依题意知曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线L的距离即可B地在A地北偏东60方向2 km处，B到点A的水平距离为3 km，B到直线L的距离为325(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a万元，故选C.一个动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆必过定点()A(0，2)B(0，2)
3、C(2，0)D(4，0)解析：选C.由抛物线定义知圆心到准线x20的距离等于到焦点F(2，0)的距离，动圆必过定点(2，0)经过点P(4，2)的抛物线的标准方程为_解析：设抛物线的标准方程为y22px或x22py，把P(4，2)分别代入得(2)28p或162p(2)；p或p4，故对应的标准方程为y2x和x28y.答案：y2x或x28y已知圆x2y26x70与抛物线y22px(p0)的准线相切，则p_解析：圆方程可化为(x3)2y216，圆心为(3，0)，半径为4，由题意知1，p2.答案：2过点A(0，2)且和抛物线C：y26x相切的直线l方程为_解析：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x0，与
4、抛物线C相切；当直线l的斜率存在时，设其方程为y2kx，与y26x联立，消去x得y2y2，即ky26y120，由题意可知k0，(6)248k0，k，y2x.即为3x4y80.答案：x0或3x4y80已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程解：设所求抛物线方程为x22py(p0)，则焦点F的坐标为.因为M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，故解得所以所求的抛物线方程为x28y，m2，准线方程为y2.一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车通过
5、的a的最小整数值解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，则点B的坐标为(，)，由点B在抛物线上，()22p()，p，抛物线方程为x2ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y.点E到拱底AB的距离为|y|3.解得a12.21，a取整数，a的最小整数值为13.能力提升O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2B2C2D4解析：选C.设P(x0，y0)，则|PF|x04，x03，y4x04324，|y0|2.F(，0)，SPOF|OF|y0|22.从抛物线y24x上一点P引抛物线准线的
6、垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为_解析：抛物线方程为y24x，则准线方程为x1.令P点坐标为P(x0，y0)，由图可知，|PM|x015.x04.把x04代入y24x，解得y04，MPF的面积为|PM|y0|5410.答案：10已知抛物线的方程为x28y，F是焦点，点A(2，4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|PA|的值最小解：(2)20)的形式，而，p1，2p2，故轨迹方程为y22x.(2)如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|MF|MA|MN|，所以当A、M、N三点共线时，|MA|MN|取最小值，亦即|MA|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2，可设M(x0，2)代入抛物线方程得x02，即M(2，2)4
