1、5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.向量的线性运算及几何意义1.理解平面向量的有关概念及向量的表示方法2.掌握向量加法、减法、数乘的运算,理解其几何意义3.理解两个向量共线的含义4.了解向量线性运算的性质及其几何意义2017课标全国,4;2014福建,10;2013四川,12选择题填空题2.平面向量基本定理及向量的坐标运算1.了解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.会用坐标对向量进行线性运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件2017山东,11;2016课标全国,13;2016四川,9;2015课
2、标,2分析解读高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握.五年高考考点一向量的线性运算及几何意义1.(2017课标全国,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.abB.|a|=|b|C.abD.|a|b|答案A2.(2015陕西,8,5分)对任意平面向量a,b,下列关系式中
3、不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2答案B3.(2014课标,6,5分)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.答案A4.(2014福建,10,5分)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+等于()A.B.2C.3D.4答案D5.(2013四川,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=,则=.答案2考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算1.(2015课标,2,5分)已知点A(0,1),B(
4、3,2),向量=(-4,-3),则向量=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案A2.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=()A.2B.3C.4D.6答案B3.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若bc,则实数k的值等于()A.-B.-C.D.答案A4.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则=()A.5B.4C.3D.2答案A5.(2014广东,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=
5、()A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)答案B6.(2013辽宁,3,5分)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()A. B.C.D.答案A7.(2016课标全国,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且ab,则m=.答案-6教师用书专用(810)8.(2014北京,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=()A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)答案A9.(2013陕西,2,5分)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若ab,则实数m等于()A.-B.C.-或D.0答案C10.(20
6、13广东,10,5分)设a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解,有如下四个命题:给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;给定向量b和c,总存在实数和,使a=b+c;给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使a=b+c;给定正数和,总存在单位向量b和单位向量c,使a=b+c.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一向量的线性运算及几何意义1.(2018陕西西安中学11月月考,5)给出下列四个命题:若|a|=|b|,则a=b;若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为
7、平行四边形的充要条件;若a=b,b=c,则a=c;a=b的充要条件是|a|=|b|且ab.其中正确命题的序号是()A.B.C.D.答案B2.(2018辽宁六校协作体期中联考,4)设非零向量a,b,下列四个条件中,使=成立的充分条件是()A.abB.a=2bC.ab且|a|=|b|D.a=-b答案B3.(2017河北石家庄二中月考,7)M是ABC所在平面内一点,+=0,D为AC的中点,则的值为()A.B.C.1D.2答案B4.(2017广东惠州二调,4)如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,那么=()A.-B.+C.+D.-答案D5.(2016山西四校联考,9)O
8、是平面内的一个定点,A、B、C是平面内不共线的三个点,动点P满足=+,(0,+),则P点的轨迹所在直线一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心答案C考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算6.(2018吉林调研,4)如果平面向量a=(2,0),b=(1,1),那么下列结论中正确的是()A.|a|=|b|B.ab=2C.(a-b)bD.ab答案C7.(2018河北衡水中学五调,8)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=a+b(,为实数),则m的取值范围是()A.(-,2)B.(2,+)C.(-,+)D.(-,2)(
9、2,+)答案D8.(2017辽宁六校联考,4)已知ABC和点M满足+=0,若存在实数m,使得+=m成立,则m=()A.2B.4C.3D.5答案C9.(2017豫北名校12月联考,7)如图,将45角直角三角板和30角直角三角板拼在一起,其中45角直角三角板的斜边与30角直角三角板的30角所对的直角边重合,若=x+y,则x+y=()A.+1B.2+1C.2+D.2-1答案B10.(2016安徽蚌埠二模,6)已知ACBC,AC=BC,D满足=t+(1-t),若ACD=60,则t的值为()A.B.-C.-1D.答案A11.(2018湖北重点高中协作体联考,18)在边长为1的正三角形ABC中,设e1=,
10、e2=,点D满足=.(1)试用e1,e2表示;(2)若a=xe1+ye2(x,yR,且x0),求的最大值.解析(1)由题知=,=+=+=+(-)=+=e1+e2.(2)x,yR,且x0,=,故当=-时,取最大值.B组20162018年模拟提升题组(满分:45分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018河北五校联考,4)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),则=()A.-4B.-3C.-2D.-1答案B2.(2018江西宜春联考,11)设O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=+（+）,0,+),则点P的轨迹经过ABC的(
11、)A.外心B.内心C.重心D.垂心答案D3.(2017江西南昌十校二模,5)已知向量a=(1,-2),b=(x,3y-5),且ab,若x,y均为正数,则xy的最大值是()A.2B.C.D.答案C4.(2017河北衡水中学周测(八),9)如图所示,已知点G是ABC的重心,过点G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且=x,=y,则x+y的最小值为()A.2B.C.D.答案C5.(2016河北石家庄一模,11)A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合),若=+(,R),则+的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+)C.(1,D.(-1,0)答案B二、填空题(
12、共5分)6.(2017河南三市联考,14)在锐角ABC中,=3,=x+y,则=.答案3三、解答题(共15分)7.(2018河南许昌、平顶山两市联考,21)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M为平面上任意一点,A,B,C三点满足=+.(1)求证:A,B,C三点共线,并求的值;(2)已知A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M,x(0,),且函数f(x)=+|的最小值为,求实数m的值.解析(1)=+,-=(-),=,又因为,有公共点B,A,B,C三点共线.=,=3.(2)A(1,sin x),B(1+sin x,sin x),M,O(0,0),=1+sin x+sin2x,=(s
13、in x,0),又x(0,),|=sin x,f(x)=+|=sin2x+2msin x+1.设t=sin x.x(0,),t(0,1,y=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m2.当-m0,即m0时,y=t2+2mt+1无最小值,不合题意;当0-m1,即-1m1,即m-1,不合题意.综上可知,m=-.C组20162018年模拟方法题组方法1平面向量线性运算的解题策略1.(2018江西师大附中12月模拟,10)设D,E,F分别为ABC三边BC,CA,AB的中点,则+2+3=()A.B.C.D.答案D2.(2017宁夏银川一中11月模拟,4)设D为ABC所在平面内一点,若=3,则()A.=-+B
14、.=-C.=-+D.=-答案A3.(2016河南中原名校3月联考,8)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=()A.-B.-C.-+D.-+答案C方法2向量共线定理的应用方法4.(2018吉林调研,8)已知a,b是不共线的向量,=a+b,=a+b(,R),若A,B,C三点共线,则,的关系一定成立的是()A.=1B.=-1C.-=1D.+=2答案A5.(2017福建福州3月质检,6)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a0,b0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为()A.4B.6C.8D.9答案C6.(
15、2018河北衡水中学9月大联考,13)已知向量a=,b=(k,1),若ab,则k=.答案17.(2018河北石家庄重点中学12月联考,14)平行四边形ABCD中,M为BC的中点,若=+,则=.答案8.(2016辽宁沈阳二中期中,15)已知平行四边形ABCD中,点Q是CD的中点,=x,=y(xy0),若,则=.答案2方法3平面向量坐标运算的解题策略9.(2016广东茂名二模,6)已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且ab,若x,y均为正数,则+的最小值是()A.24B.8C.D.答案B10.(2018广东七校第一次联考,14)设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-
16、4),且ac,bc,则|a+b|=.答案11.(2018辽宁五校协作体联合模拟,14)已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=3,|b|=4,ab=-12,则=.答案-12.(2017河北“五个一联盟”第一次模拟,15)如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,AB=2,AD=DC=1,P是线段BC上一动点,Q是线段DC上一动点,=,=(1-),则的取值范围是.答案0,2方法4平面向量基本定理的应用策略13.(2018陕西部分名校摸底考试,7)如图,在ABC中,=,P是BN上一点,若=m+,则实数m的值为()A.B.C.D.答案D14.(2017豫晋冀三省12月联考,16)如图,已知在直角梯形ABCO中,ABC=BCO=90,AB=1,BC=,OC=2.设=m,=n,其中m,n(0,1),mn=,G为线段MN的中点,则|的最小值为.答案11
