1、 2014 年兰州交通大学数学建模竞赛论文（B 题）参赛队员： 郭文涛 焦万宝 队名：北辰之光日期：2014 年 5 月 21日摘要本文主要讨论汽车安全带法规带来的利益问题，以及保险公司与客户之间此利益的分配问题。我们通过分析从收入与支出关系建立了模型一，从各类投保人数的相应变化情况建立了模型二。模型一：保险公司每年的支出主要有给付客户的医疗费、修理费、死亡补偿费、退还费和基本业务支出构成；而主要收入只有保险费一项。我们了解到汽车保险费分为基本保险和附加保险两部分，一般来说，附加保险主要用于支付保险公司的日常营业费用，即基本支出，这部分费用对下一年的保险决策影响很小，可假定不变，本文中将次部分
2、的保险费用忽略不计。由相关的概率知识知道风险投费在数量上等于汽车赔款的期望值。保险公司保持现有收益规模，这就是要求保险公司平均从每个客户身上所得到的利润额保持不变，即 C 均 不变。模型二：通过查阅我国的 20022013 年的汽车销量，利用得到的数据运用 MATLAB 进行曲线拟合，发现自 2010 年以来我国汽车销量呈线性增长，我们假设新投保人数与汽车销量的增长率相等，得到新投保人数的增长率 v,于是可得新投保人数的关系式：Sj=S0*（1+v) j；又由概率论与数理统计的相关知识，运用泊松分布来求得索赔人数与总体投保人数之间的关系：B 索 =B 总 （1-e -i ） ，随后在建立各个变
3、量之间的关系。最终通过模型的求解，得到结果如下：问题一： P1=1065 元；P2=1069 元；P3=1071 元问题二： U1=1109 元；U2=1112 元； U3=1114 元汽车安全带法实施带来的利益分配1.问题的提出：某保险公司只提供提年期的综合车险保单业务，在这一年内，如果客户没有要求赔偿，则给予额外补偿。保险公司将所有参保人被分为 0、1、2、3 四类，类别越高，从保单中获得的折扣越多，在计算保险费时，新投保客户属于 0 类，在客户延续保单时，若在上一年没有要求赔偿，则提高一个类别进行打折扣；若客户在上一年要求赔偿过，如果可能则降低两个类别进行打折，否则为 0 类。客户退保时
4、，不论自然死亡还是事故死亡都将退还起本年度的打折部分。现在政府准备实施安全带法规，如果实施了该法，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤的司机和乘客数量肯定会减少，从而医药费将有所下降，调查发现医药费会减少 20%到 40%，死亡的司机也会减少 40%。要求在本年度每份保单的保费为 1225 元，预计医疗费会下降 30%的情况下求解下列问题：问题一：保险公司在保持现有收益规模的情况下，将安全带法则带来的利益全部反还给投保客户，建立数学模型，预计今后 3 年保险公司每年应该收取的保险费用。问题二：如果考虑到安全带法则带来的利益均衡问题，有保险公司和投保客户共同分享安全带法带来的利益，重新解决问
5、题一。2.问题的分析：2.1 保持公司现有收益规模，将安全带法则带来的的利益全部返还给投保客户，这就要求我们计算出在实施此法规之前保险公司可获得的总利润额W 0 总 ，然后算出公司可从每个客户身上获得的利润额 C 均 =W 0 总 /N0 总 ，设以后每年的保险费为 Pj，可得方程式：P j-Wj 总赔 /Nj 总 =C 均 。2.2 根据实际情况，我们知道，如果实施了安全带法规，各保险公司为了与其他保险公司竞争，都会采取合理可行的的保险费用下调方案。这样，各公司客户数额不会发生太大的变化，和问题一所预测的增长应该是相吻合的。因此，在该公司合理解决了此利益均衡问题后，不会对保单的发放情况产生影
6、响，问题一所得出的各类客户人数对问题二完全适用。我们只需考虑如何才能使得利益在保险公司与投保客户这两个对立者中均衡的问题，于是我们联想到，在实施安全带法则之前，保险公司在综合多种因素的考虑下所制定的保险费用相对于公司和客户应该说是都达到了利益的均衡，这是经过实践检验过的。所以我们从公司在实施安全带法则之前的利润率出发，得出当利润率不变时所求得的保险费即为保险公司与客户二者利益均衡点。那我们的问题将转化为下列问题：年利率w；以后 3 年隔年总费用的期望值。3.模型的假设：（1）新投保人数与新投保人数与汽车销量的增长率相等；（2）注销人数等于自动退保人数与死亡人数之和；（3）每年的平均修理费、医疗
7、费、死亡赔偿费保持不变；（4）每个人的索赔次数服从泊松分布；（5）受伤索赔过的人不注销；（6）死亡人数的减少量转化为受伤人数；4.符号的说明：A:本年度人数；B：下一年度人数；i：参保客户的类别，i=0,1,2,3；j：记本年度为第 0 年，以后各年为第 1,2,3 年；W 0 总 :实施此法规之前保险公司可获得的总利润；C 均 :实施此法规之前保险公司从每个客户身上可获得的利润；Pj，U j：第 j 年每份保单的保险费；Pi 药 ：第 i 类客户的医药费；Hi：第 i 类客户的赔偿费用；Xi：第 i 类客户的修理费用；Si:第 i 类客户的死亡赔偿；Ti 退 ：第 i 类客户的退还费用；Nj
8、i 总 ：第 j 年第 i 类客户的总投保人数；Nji 伤 ：第 j 年第 i 类客户的受伤人数；Nji 索 ：第 j 年第 i 类客户的索赔人数；Nji 死 ：第 j 年第 i 类客户的死亡人数；Nji 续 ：第 j 年第 i 类客户的续保人数；Nj 新 ：第 j 年新投保人数；5.模型的建立及求解：5.1 建立以后各年每份保单的保费与人均利润额的关系式： Wj 总赔 =P0 索 *N0 索 ；W 0 总 =P0*N0 总 -Wj 总赔 ；C 均 =W 0 总 /N0 总由以上三式可得：C 均=P 0- （P 0i 赔 *N0i 赔 +N0i 退*T i 退 ）/N 0 总3i死亡赔偿：S
9、i=(Hi-Xi-Pi 药 ）*N 0i 索 /N0i 死 ；以后 3 年每年应收取的保险费用：P j=Wj 总赔 /Nj 总 +C 均5.2 建立各类投保人以及各类索赔人之间的关系：总投保人数：N ji 总 =Nji 新 +Nji 续 ；受伤人数：N ji 伤 =Nji 索 -Nji 死 ；5.2.1 分析表一、二可得： 下一年 0 类续保人数=0 类索赔人数+1 类降为 0 类的人数（1 类索赔人数-1 类死亡人数）：B0 续 =A0 索 -A0 死 +A1 索 -A1 死 +A2 索 -A2 死 ； 下一年 1 类续保人数=0 类升为 1 类的人数（0 类投保人数-0 类索赔人数-0 类
10、注销人数+0 类死亡人数）+3 类降为 1 类的人数（3 类索赔人数-3 类死亡人数）：B1 续 =A0 总 -A0 索 -A0 注 +A0 死 +A3 索 -A3 死 ； 下一年 2 类续保人数=1 类升为 2 类的人数（1 类续保人数-1 类索赔人数-1 类注销人数+1 类死亡人数）：B2 续 =A1 续 -A1 索 -A1 注 +A1 死 ； 下一年 3 类续保人数=2 类升为 3 类的人数（2 类续保人数-2 类索赔人数-2 类注销人数+2 类死亡人数）+3 类续保人数-3 类注销人数+3 类死亡人数：B3 续 =A2 续 -A2 索 -A2 注 +A2 死 +A3 续 -A3 索 -
11、A3 注 +A3 死 ；5.2.2 现在分析新投保人数的变化情况：首先我们从国家统计局网站上查阅到了我国 20022013 年各年的汽车销量，利用 MATLAB 进行曲线拟合，得到如下图形曲线： 从上面的图形曲线我们可以看出，自 2010 年以来我国汽车销量呈平稳上升趋势，增长率基本稳定在 10%左右，由假设新投保人数的增长率与汽车销量的增长率相等，得到新投保人数的增长率，为了数据更为准确，这里我们取增长率 v=0.100419,于是可得新投保人数的关系式：N j 新 =N0 新 *（1+v) j,N0 新 =384620，通过 C 语言编程计算可得结果如下表：年份 0 1 2 3新投保人数
12、384620 423243 465745 51225145.2.3 分析索赔人数：由概率论与数理统计的相关知识可知，对于试验发生概率很小，二实验次数很多的随机过程，都可以很自然地应用泊松分布的理论。在总投保人数中每一个人的索赔次数服从泊松分布，所以他索赔 k次的概率 P 为:Pi（K=k）=e - * ik( i0)所以，他至少索赔一次的概率: i=P(k1)=1-P i(k=0)=e-i所以总人数中 x 个人中索赔的概率为：Pi（x）=C nx* ix*(1- i)n-x=Cnk*(1-e- )*(e- )n-k所以： i=Nji 总 -（Nji 总 -Nji 索 ）Nji 索 =Nji 总
13、 *（1-e -i ）代入数据计算可得到个类索赔人数与总投保人数之间的关系：类别（i） 函数第 0 类 0.4307 Nji 索 =Nji 总 *（1-e -0.4307）第 1 类 0.4005 Nji 索 =Nji 总 *（1-e -0.4005）5.2.4 分析死亡人数：由假设，死亡司机人数与索赔人数呈比例关系：Nji 死 =N0i 死 /N0i 索 *Nji 索5.2.5 分析退还折扣人数：+N j1 注退还折扣为 25%的人数：N j1 退 =Nj0 总 -Nj0 索 -Nj0 注 +Nj0 死 +Nj3 索 -Nj3 注+Nj3 死 +Nj1 注 -Nj1 死 ；退还折扣为 40%
14、的人数：N j2 退 =Nj1 总 -Nj1 索 -Nj1 注 +Nj1 死 +Nj2 注 -Nj2 死 ；退还折扣为 50%的人数：N j3 退 =Nj3 总 -Nj3 索 -Nj3 注 +Nj3 死 。5.3 运用上述公式及本年度的统计报表，我们利用 MATLAB 语言编程运算得到如下数据：表二：医疗费下降后各类赔偿费用（平均费用）类别（i） 修理费（元） 医疗费（元） 死亡赔偿费（元）0 1020 1068 324591 1223 862 357752 947 576 59192第 2 类 0.1057 Nji 索 =Nji 总 *（1-e -0.1057）第 3 类 0.00834 N
15、ji 索 =Nji 总 *（1-e -0.0834）3 805 570 70157表三：实施安全带法规后第一年保单发放及各类索赔情况表四：实施安全带法规后第二年保单发放及各类索赔情况类别（i）没有索赔时的打折比例（%）续保人数 新投保人数注销人数总投保 人数索赔人数死亡司机人数0 0 1243817 423243 13617 1667060 583381 69991 25 1769819 0 18967 1769819 584067 140282 40 1177509 0 13199 1177509 118111 14023 50 8769124 0 32164 8769124 701678
16、4213类别（i）没有索赔时的打折比例（%）续保人数 新投保人数注销人数总投保 人数索赔人数死亡司机人数0 0 1263204 465745 14123 1728949 605039 72591 25 1783878 0 19118 1783878 588707 141392 40 1180827 0 13236 1180827 118443 14063 50 8798178 0 322743 8798178 704003 4227表四：实施安全带法规后第二年保单发放及各类索赔情况5.4.1 问题一的求解结果：C 均=339 元；P1=1065 元、P2=1069 元、P3=1071 元5.4
17、.2 对于问题二，我们需考虑由此法规带来的保险公司与投保客户之间的利益均衡问题，由问题一的计算结果我们可得出以后 3 年相对于本年度的保险费下降值分别为P1=160 元，P2=156 元，P3=154 元，问题的关键在于如何合理地分配这些利益，使保险公司和投保客户的相对满意度最高。如前文对问题二的分析，我们只需计算得到在实施安全带法规之前保险公司的收益，即可使问题得到解决。由第一问结算结果我们已知每份保单的人均利润额:C 均=339 元。那么公司的收益率:w=C 均/P0,P0=1225 元，类别（i）没有索赔时的打折比例（%）续保人数 新投保人数注销人数总投保 人数索赔人数死亡司机人数0 0
18、 1289834 512514 14723 1802348 630725 75671 25 1817093 0 19474 1817093 599668 144022 40 1190246 0 13342 1190246 119388 14173 50 8827893 0 323833 8827893 706381 4241计算得到: w=27.67%即这三年的保险费的下降值P1、P2、P3 的 27.67%分配给保险公司最为合理，也达到了客户与公司之间的利益均衡。所以： U1=P1+w*P1=1065+27.67%*160=1109 元；U2=P2+w*P2=1069+27.67%*156=
19、1112 元；U3=P3+w*P3=1071+27.67%*154=1114 元。6.模型的优缺点分析：6.1 模型的优点：（1）.充分利用了题目中所给的本年度发放保单数与本年度索赔款数，从国家统计局网站获取准确的汽车销量情况，从而使得得出的新投保人数的增长率更为准确，具有实际的预测意义。(2).在考虑某些问题时很巧妙的从其他角度入手，避开了一些难以从题目所给信息得出具体结果的过程量。(3).针对各变量之间的关系进行了合理而又不失准确性的简化，并未个别变量（如索赔人数，新投保人数等）建立了子模型，既见笑了模型的求解难度，又提高了模型的准确性。6.2 模型的缺点：（1）.随着人们安全意识的提高、
20、保险业的发展、国名经济的增长，投保人数可能会比预期值高一些，索赔人数可能会少一些，并考虑到医疗费用、修理费用等不可能保持不变，但根据本体数据及所得到的信息，我们很难讲这些因素纳入考虑范畴。（2） 。在某些方面考虑太过理想化，如在考虑第二问时，认为第一问所得的数据完全可靠，理想化的认为各保险公司都会合理的解决此利益分配问题，不会引起投保人数的大幅度波动。7.模型的改进：（1）.从相关的保险公司调查了解附加保险费所占总保险费的比例，把附加保险费对每份保单保险费的影响考虑进去。（2）再建立两个小模型，一是将汽车销量的变化趋势单独列出来，考虑各种因素对于汽车销量的影响，或从相关资料获取相关函数关系；二是建立汽车销量与新投保人数之间的关系模型，从而更为准确的确定投保人数的变化趋势。（3）可以考虑相应的各种费用随时间的变化程度。（4）考虑由于安全带法规带来的利益分配，而引起的各类投保人数的波动。8.模型的推广：本模型可应用与很多其他多因素决定单变量的问题，如人口增长问题，其他类型保险业务等等，办呢模型尤其对费用的估算与预测有很大的帮助。参考文献1姜启源，谢金星，叶俊 编数学建模（第四版） ，高等教育出版社，2011 年。2MATLAB 原理及应用 ，西南交通大学出版社，3概率论与数理统计 ，复旦大学出版社，4中国国家统计局网站，汽车销量统计年鉴，http:/ ，360 综合搜索，http:/
