1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入单元过关检测（四） (120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(i为虚数单位),则z的虚部为()A.-1B.0C.1D.i【解析】选C.因为z=i,故虚部为1.【变式备选】(2018珠海模拟)若复数z满足(1+i)z=2,则z的虚部为 ()A.-1B.-iC.iD.1【解析】选A.因为复数z满足(1+i)z=2,所以(1-i)(1+i)z=2(1-i),所以2z=2(1-i),z=1-i,则z的虚部为-1.2.已知i是虚数单位,a,bR,则“a=b=1”是
2、“(a+bi)2=2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反之,若(a+bi)2=2i,则有a=b=-1或a=b=1.3.复数z=+2i的共轭复数=()A.-1-2iB.1-2iC.-1+2iD.1+2i【解析】选B.因为z=(-i)4+2i=1+2i,所以=1-2i.【变式备选】复数z=的共轭复数是()A.2+iB.2-IC.-1+iD.-1-i【解析】选D.因为z=-1+i,所以z的共轭复数为-1-i.4.(2016全国卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)
3、b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8【解析】选D. a+ b =(4,m-2),因为(a+ b)b,所以(a+ b)b =12-2(m-2)=0,解得m=8.5.已知a,b,c是平面向量,下列命题中真命题的个数是()(ab)c=a(bc);|ab |=|a| b |;|a+ b |2=(a+ b)2;ab = bca=c.A.1B.2C.3D.4【解析】选A.由平面向量的基础知识可知均不正确,只有正确.6.与向量a=(3,4)同方向的单位向量为b,又向量c=(-5,5),则bc=()A.(-3,4)B.(3,-4)C.1D.-1【解析】选C.因为与向量a=(3,4)同方向的单位向量为b,
4、所以b=,又向量c =(-5,5),所以bc=1.7.设向量a, b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab=()A.1B.2C.3D.5【解析】选A.因为4ab=（a+b）2-（a-b）2=10-6=4,所以ab=1.8.已知向量a=(1,2), b =(-2,m),若ab,则|2a+3 b |等于()A.B.4C.D.80【解析】选B.因为a=(1,2), b =(-2,m), ab,所以1m-(-2)2=0m=-4,于是,2 a +3 b =(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8),则|2 a +3 b |=4.9.在复平面内,把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数
5、是()A.2B.-2iC.-3iD.3+i【解析】选B.因为复数3-i对应的向量为=(3,-),如图,把按顺时针方向旋转后恰好到y轴负半轴上的向量=(0,-2),所以所得向量对应的复数是-2i.【变式备选】复数z1,z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称,且z1=3+2i,则z2=()A.3-2iB.2-3iC.-3-2iD.2+3i【解析】选D.复数z1在复平面内关于直线y=x对称的点表示的复数z2=2+3i.10.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法错误的是 ()A.=+B.=-C.=+D.=+【解析】选D.
6、排除法.由题干图知,=+,故A正确.=-,故B正确.=(+)=+,故C正确.【变式备选】若O为平面内任一点且(+-2)(-)=0,则ABC是()A.直角三角形或等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形但不一定是直角三角形D.直角三角形但不一定是等腰三角形【解析】选C.由(+-2)(-)=0,得(+)(-)=0.所以-=0,即|=|.所以AB=AC,即ABC一定是等腰三角形.11.已知点A,B,C三点不共线,且有=,则有()A.B.C.D.tan C0,tan ABC,所以-1或-1且-或-.20.(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知向量m=, n =(cos ,-2
7、sin ),mn=-1.(1)求cos A的值.(2)若a=2,b=2,求c的值.【解析】(1)因为m=,n=,mn =-1,所以2cos2-2sin2=-1,所以cos A=-.(2)由(1)知cos A=-,且0A,所以A=.因为a=2,b=2,由正弦定理,得=,即=,所以sin B=.因为0B,BA,所以B=.所以C=-A-B=,所以C=B,所以c=b=2.【变式备选】已知向量m=(sin x,cos x),n=(cos x,cos x),p=(2,1).(1)若mp,求sin xcos x的值.(2)设ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且边b所对的角的取值集合为M.当xM时,求函数
8、f(x)= mn的值域.【解析】(1)因为mp,所以sin x=2cos x.所以tan x=2.所以sin xcos x=.(2)f(x)= mn =sin xcos x+cos2x=sin 2x+(1+cos 2x)=+sin.在ABC中,cos =,所以0,即M=,所以2x+.所以sin1.所以1f(x),故函数f(x)的值域为.21.(12分)设平面上向量a=(cos ,sin )(0360), b=.(1)试证:向量a+b与a-b垂直.(2)当两个向量a+b与a-b的模相等时,求角.【解析】(1)( a +b)(a-b)=(cos +,sin -)=+(sin +)(sin -)=c
9、os2-+sin2-=0,所以(a +b)(a -b).(2)由| a |=1,| b|=1,且| a +b|=|a-b|,平方得(a +b)2=( a -b)2,整理得2 a 2-2b2+4ab=0.因为| a |=1,| b|=1,所以式化简得ab=0,ab=(cos ,sin )=-cos +sin =0,即cos(60+)=0.或tan =,因为0360,所以可得=30,或=210.22.(12分)已知平面上的两个向量,满足|=a,|=b,且, a2+b2=4.向量=x+y(x,yR),且a2+b2=1.世纪金榜导学号37680775(1)如果点M为线段AB的中点,求证:=+.(2)求|的最大值,并求出此时四边形OAPB面积的最大值.【解析】(1)因为点M为线段AB的中点,所以=(+).所以=-=(x+y)-(+)=+.(2)设点M为线段AB的中点,则由,知|=|=|=|=1.又由(1)及a2+b2=1,得|2=|-|2=+=a2+b2=1.所以|=|=|=|=|=1,所以P,O,A,B四点都在以M为圆心,1为半径的圆上.所以当且仅当OP是直径时,|max=2,这时四边形OAPB为矩形,则S四边形OAPB=|=ab=2,当且仅当a=b=时,四边形OAPB的面积最大,最大值为2.- 13 -
