1、专题讲座 初中数学“统计与概率”的教学研究俞京宁（中学数学高级教师，教研员） 各位老师，大家好！ 今天我们讨论的话题是 初中数学“统计与概率”的教学研究 与案例评析。可能一听到这个话题，您就感到既亲切又轻松，亲切是因为在现代社会，离不开数据，我们在生活中时时、处处都与数据打交道，比如您去超市购物，需要考虑所购物品的大致费用；您在教学中要了解学生的考试分数，以便分析教与学的情况等等，我们需要从数据中获得对自己有帮助的东西；轻松是因为学生自小学甚至幼儿园就开始接触并不断学习数据，对有关数据的基本知识比较熟悉，所以学习相关的内容，障碍较少，而且由于这部分内容与生活密切联系，学生的学习兴趣也比较容易激
2、发。但恰恰是这些原因以及中考对这部分的要求不是很高，容易造成部分教师对这部分内容的轻视，认为了解一下就行。其实统计与概率作为应用数学的一部分，有着重要的意义，再有基于在这部分的教学中存在许多问题，所以作为教师我们有必要将 初中数学“统计与概率”的教学内容做进一步研究，澄清认识的同时，能够做到引起学生的重视，使他们在日常的学习生活中能自觉的使用数据说话。 一、对 初中 “统计与概率 ” 数学知识的深层次理解 （一）统计与概率的知识结构图 简单的说，统计的研究对象是数据，我们通过数据的收集、整理、描述加以分析，最终对所研究的问题作出决策；而概率是对我们所关注的不确定事件通过计算的方法获取其发生可能
3、性的大小或者根据需要设计实验。 从统计学内在的知识体系看，概率是统计学的有机组成部分，在数据的分析阶段，可以利用概率进行统计分析，从数据中得出结论，根据结论进行预测或判断。因此，在初中阶段，可以把概率看成是统计过程的一个阶段。（二） 统计与概率在数学学科中的地位与作用 我们先了解一下统计的背景。严格的说，有两类统计学。 第一类叫描述性统计学。举个例子，要知道某个班的成绩的基本情况，就要知道这个班里每一个人、每一个学科的成绩，和有关成绩的所有情况，作为分析的基础，然后利用平均分、方差等等进一步定量分析，通常把这样的一种研究数据的方法，称之为描述性统计学，很多领域都用描述性统计学。 第二类叫推断统
4、计学，数学上称之为数理统计学。关于数理统计学，一个非常重要的环节，就是要做抽样，要用样本来反映整体的情况。例如要了解全国中学生每天体育锻炼的时间，不必调查到所有中学生的锻炼时间，只需要在不同区域选择部分学校的部分学生进行调查即可。 所以，对这两种不同的统计学，我们要有一个基本的了解。在初中阶段，希望老师能够引导学生体会利用统计解决问题的基本过程：从数据的收集到数据的表示，比如用各种图表来呈现出这些数据，从数据中提取有用的信息，再比如要计算一些（测程）值，平均值，方差，中位数等，这个过程是非常重要的。 为什么要研究这个过程？是希望能从这些数据中挖掘出有用的东西，来帮助我们解决问题，比如刚才提到的
5、比较两个班的学习成绩，就是要看能给提供什么样的信息，以帮助我们有针对性的改进教学。 再有合情推理与演绎推理这两种思想在统计过程中得到了非常好的体现，他们在整个数学的学习中都很重要。目前，在统计的执笔测试中，对这部分内容的要求并不是很高，而是越来越侧重怎么样从数据出发去学。所以，要帮助学生体会这样一个过程。统计的内容并不多，但是它的重要程度并不小，对将来学生进入社会以后的作用不可低估。 概率是概率论的原始概念，它是随机事件发生可能性大小的数字度量。在概率论中，人们总是通过研究随机试验来研究随机现象的。所以，探讨随机现象中隐藏的规律，实际上就是探求随机试验的规律。 统计与概率所提供的这种“运用数据
6、进行推断”的思考方法已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式。这一部分知识是最接近数学本质的。因为在我们生活中与数学相关的知识大部分是无法用具体的表达式来刻画，而统计学恰恰解决了难于用简洁的语言来刻画数学模型的问题。 数学课程标准把“统计与概率”单独作为一块内容，是因为它的实用价值和教育意义。义务教育阶段， 通过 概率与统计的学习， 应当使学生熟悉统计与概率的基本思想方法， 以随机的观点来理解现实世界。在面对大量数据和不确定情境时，能够制定较为合理的决策，逐步形成统计观念，养成尊重事实、用数据说话的态度，增强用数学的意识。 不仅如此，让学生了解随机现象也有助于形成科学的世界观和方法论。
7、 1 从新课程标准看统计与概率的主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断；简单随机事件及其发生的概率。 在数学教学中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。 2 从考试说明看 2012 年考试说明中提出“数学学科中考注重考查统计观念”，其中对“ 根据统计结果作出合理的判断和预测，并能比较清晰地表达 ”、“ 能利用统计图表 解决简单的实际问题” 提出了较高要求。 3 从生活、学习需求看前面已经说过， 在我们的生活中
8、离不开数据，需要从数据中获得对自己有帮助的东西，而学习这部分内容是为了在生活中更好的利用数据为我们服务。 所以，无论从哪个角度看，这部分的内容都十分重要。 （三）切实把握 课标中对 “统计与概率 ” 的教学要求 新课程标准修订稿中对统计与概率的要求如下： 1. 经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据。 2. 体会抽样的必要性，通过案例了解简单随机抽样。 3. 会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据。 4. 理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述。 5. 体会刻画数据离中程度的意义，会计算简单数据的
9、方差。 6. 通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息。 7. 体会样本与总体关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。 8. 能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流。 9. 通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势。10. 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率。 11. 知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率。 课标对统计的教学要求多为“经历”“体会”“了解”等，这些就提示我们对于统计的教学要设置合理的教学任务，使学生亲
10、自参与到全面调查或者抽样调查的过程中，能够用适合的方法收集数据，并且将数据进行整理，运用适当的方法表示数据，并在此基础上利用相关的统计量进行数据分析，对统计问题作出简单的判断与预测。对于概率的教学，在体会随机性的过程中，会用列举法求 简单随机事件的概率（ 所涉及的古典概率，不需要用到排列组合）， 以及了解概率的统计定义。这两部分教学要依据课标要求，重在经历、体会。不可省去过程，直接进入到公式的计算或图表的分析。 （四） “ 统计与概率 ”的教学重点与难点 统计与概率学研究的对象、研究的思路与方式、以及获得的研究结论的性质，都与过去学生所接触到的数学内容有根本的不同。 以往学的代数、几何属于“确
11、定性” 数学，学习时主要依赖逻辑思维和演绎的方法，它们在培养学生的计算能力、逻辑思维能力和空间观念方面发挥着重要作用。而统计与概率属于“不确定性”数学，要寻找随机性中的规律性，学习时主要依靠辨证思维和归纳的方法，它在培养学生的实践能力和合作精神等方面更直接、更有效。具体从以下三个方面对比： 1 . 研究对象不同由对确定性现象的研究变为对不确定性现象的研究。对于不确定性的现象本身来讲，又有两种情况： 抛掷一枚硬币，我们不能确定是国徽面还是币值面朝上，但可以确定 “非此即彼 ”，不存在 “亦此亦彼 ”的问题，即 这是一种结果出现的偶然性（又叫随机性）问题。偶然性是与必然性相对应的。偶然性刻画的是认
12、知对象出现（内外）条件方面的不确定性，而关于认知对象本身在类属和性态方面的定义是完全确定的。 统计与概率研究的对象具有不确定性，但不确定性现象并不都是统计与概率研究的对象。例如 “两个人长得像 ”的现象也是不确定的，它是一种更复杂的不确定性，我们把它称为模糊性。不确定性的随机性与模糊性是有区别的：随机性的不确定，反映在某事件是否发生，判据是明确的；模糊性的不确定，反映在事件本身的涵义上，判据不分明。统计与概率研究的是前者；后者是模糊数学研究的内容。 2 . 研究的思路与方式不同 数学在研究确定性现象过程中所用的科学推理方式基本上属于演绎推理的方式，由一般到特殊；而统计学在研究不确定性现象时，由
13、样本推断总体，使用的是归纳推理，而且很多时候是不完全归纳推理。因此，统计学研究所获得的结果不像以往学生学习的用演绎推理所获得的结果那样 “确定无疑 ”。 3 . 所获得的结果不同 统计学所得到并予以接受的结果主要是局部的、归纳性的；而以往在确定性数学的学习过程中，得到的经常是较为一般性的、演绎的结果。 这些差异的存在，都会造成学生在学习统计与概率过程中的困难。 所以，“ 统计与概率 ”的教学 重点与难点应该是使学生理解统计的思想和方法以及概率的意义，突出其应用性，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力。而在实际教学中，教师们更偏重于如何计算各种统计量，使得学生只会算，对其意义的理解不够，
14、有的甚至对所列算式说不出根据。 二、 “ 统计与概率 ” 内容的教学策略 （一）把握学生对统计与概率的认知基础，遵循 “最近发展区原则 ” 由于统计与概率的内容从小学到初、高中，均有涉及， 遵循新教材逐级递进、螺旋上升的编写原则， 由浅入深、由感性到理性，要求学生逐步掌握统计与概率的相关内容并能应用他们解决一些实际问题。所以，作为初中阶段的教学，我们有必要了解新课程标准中初中和小学对这部分的教学要求。 小学阶段对统计与概率内容的学习要求：分 1-3， 4-6 两个学段，学生 经历简单的数据统计过程，学习收集、整理和描述数据的方法，并能够根据数据分析的结果作出简单的判断与预测；体会事件发生可能性
15、的含义，并能计算一些简单事件发生的可能性。 初中阶段对统计与概率内容的学习要求：体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率，具体的对比分析如下表。 初中、小学“统计与概率” 教学目标对比表 内容 小学 初中 区别 统计的过程 经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（必要时可使用计算器）。 从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据 从“经历”与“从事”这两个动词中可以看出：小学是在教师的引导下参与统计的全过程，面对的问题比较简单；而 初 中更多的是学生独立从事统计的全过程，面对的统计问题比小
16、学的稍微复杂一些。统计图 认识条形统计图、折线统计图、扇形统计图；根据需要，选择条形统计图、折线统计图直观、有效地表示数据。 会用扇形统计图表示数据； 会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图。 初 中在小学的基础上，进一步学习各种统计图的应用，此外增加了画频数分布直方图和频数折线图。所以，还要弄清频数分布直方图与条形统计图的区别。 统计量 理解并会求数据的平均数、中位数、 众数。 会计算加权平均数，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度 对于描述数据集中趋势的三个统计量的计算方法没变，只是数据由非负数扩充到实数；进一步学习加权平均数的计算方法；还增加了刻画数据波动情况的极差与方差
17、。 调查方法 全面调查 抽样调查：用样本估计总体 初中增加了样本、总体等新的概念；要求学生 体会用样本估计总体的思想以及感受抽样的必要性，体会不同的抽样可能得到不同的结果。 概率的定义 可能性 了解概率的意义 小学没出现概率的定义，只提出 “事件的可能性”，初中在此基础上给出概率的定义，并介绍了概率的 统计定义 概率的求法 体验事件发生的等可能性，会求一些简单事件发生的可能性。 运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。 对于结果具有等可能性事件的概率计算，初中在小学基础上，学习用 列表、画树状图计算简单事件发生的概率；还需要了解
18、结果不具有等可能事件的概率求法，即用频率估计概率的方法。 通过对比初中、小学的学习目标，我们可以感受到：初 中的部分学习内容是在小学基础上进一步加深与扩充，在教学时，对于学生已有知识不适宜作为新课讲解，要抓住中小学的区别，创设合适的情境，使学生在复习的基础上巩固深化，加深对知识的理解以及增强应用意识。 还有一些内容，是初中新增内容，重点体现在增加了数据表示的方法以及分析的方法，再有概率部分对随机性的理解要求加强了。其中的大部分概念，学生理解不是特别困难，但对于这两部分 蕴涵的统计思想和概率观点， 学生在学习的过程中会感到困难。 了解了以上的中小学差异，教学设计时就可以建立在学生已有知识水平的基
19、础上，增强针对性，否则容易出现教学设计低于学生认知水平或远远高于学生能力的现象。 例如关于“确定事件与不确定事件”的教学，有的教师采用实验的方法，设计一个情境：“某大型游乐园，有一个摸奖的娱乐项目。摸奖的规则是：每一位持有游乐园门票的游人，都有一次摸奖机会。在装有十个红球的盒子、装有十个白球的盒子以及装有五个红球五个白球的盒子中任选一个，摸到红球有奖，摸到白球没有奖。如果你手持门票参与游戏，你一定能获奖吗？”呈现问题后让全班讨论，哪一个盒子一定能摸到红球？之后请三位同学分别到讲台前参与游戏，其他学生展开想象，他们可能摸到红球吗？用“一定”“不可能”“可能”来描述摸球试验的结论，继而举出生活中的
20、例子。在此基础上进一步体会感知事件的发生是“一定”、“不可能”、还是“可能”。接着给出想一想，判断下列事件哪些是确定的？哪些是不确定的？（ 1）太阳每天从东边升起；（ 2）明天一定下雨；（ 3）掷硬币一定国徽面朝上等等。最终给出定义：必然事件：有些事情我们事先能肯定它一定会发生（一定发生）。不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生（不可能发生）。必然事件、不可能事件称为确定事件。不确定事件：有些事情我们事先无法肯定它会不会发生（不一定发生）。 事实上，这堂课学生最终学会的是什么。一是必然事件发生了，二是不可能事件没有发生，三是可能性事件不一定发生。我认为这样的教学设计的效率比较低。关于
21、什么叫必然事件，什么叫不可能事件，什么叫随机事件，特别是必然、不可能事件，对于学生来说，应该是没有太大的困难的。花这么长的时间来讲必然事件，忽视了小学生都已经能够懂得，在全是白球的盒里摸，肯定不能中奖；全是红的肯定中奖，在中学花一堂课来讲，效率就比较低了。一旦效率比较低的话，学生就没有学习的兴趣了，因为他很早就知道答案了。这时的动手操作没有太大的挑战性，中学生的数学兴趣没有被真正激发起来。一开始强调在相同条件下的必然事件，不可能事件和随机事件是什么要告诉学生，但是用不着花这么多的时间来区分这些事件。重要的应讲清什么是随机事件。一定是在相同条件下，可以重复实验下，可能发生可能不发生的。可以设计一
22、些问题来让学生区分，不是在相同条件下的情形不确定的事件；不能重复实验的情形等等。 造成课堂教学效率低下的原因，可能是新增内容的教学资源比较缺乏。我们应将重点放在通过更多的例子，让学生来区分这种偶然性，随机性是什么。如果把必然事件，不可能事件和随机事件放在同等重要地位的话，就没有突出这堂课的重点。整堂课上下来之后，学生就会没有觉得很多的新知，没有挑战，容易产生乏味，没有兴趣。事实上，初中学生的能力水平，可以讲得更多一些，突出统计和概率所研究的随机现象的这种偶然性，它是怎么发生的，这个随机性具有什么样的特征。应该把整堂课的教学的重点放在这个可能性事件，怎么去刻画和描述上。 例如：邮递员投信的问题。
23、就是人们写信后，忘了在信封上写地址，就把信投到信筒里了。但是，刚扔进去，就立刻警觉了。等着那个开信箱的邮递员来。邮递员来开信箱后，发现这种信封中有信，而信封上没写地址的不止一个。不能区分哪个是你所投的那个。后来，人们发现这种现象有很强的频率稳定性，它大概稳定在百万分之二十七左右。一个数据是俄国数学家统计的，从 1906 年到 1910 年五年期间，这五年中有三年是百万分之二十五，两年是百万分之二十七。这样一个许多人觉得没有任何规律的东西，它也能出现频率的稳定性。 多举一些这样的例子，让学生认识到随机现象稳定性的特征，比起仅让学生讨论比如说，太阳升起、明天是否会下雨等太过简单的例子，更有深刻性、
24、更突出所要学习的统计与概率的本质。教学的重点，应该是随机现象的理解上。 另外，在中学统计与概率的学习过程中，不要让学生去背一些像定义一样的东西。比如说，像必然事件，不可能事件，学生能理解，它又不是一个非常严格的数学上的定义。学生只要了解它，就行了。没有必要把学生都懂的东西，一定要把它用一个定义的情形来描述一下。数学定义要求总要用另一个词来定义它，这是一个没完没了的东西，过分追求定义的严谨性就不好了。学生用已有的一些朴素概念，可以很明白地进一步学习。如果用抽象的定义来学习，学生反而更糊涂了。像现在概率教材里，有时候对实验下定义。什么叫实验，条件出现一次叫做条件实现一次，叫做一次实验。那么这比实验
25、还难懂。什么叫条件，什么叫实验一次。这就是我们一定要定义，反而使学生感到更困惑了。所以，朴素的概念只要学生理解，不失科学性，不失真实性，我们还是尽量让学生从更自然的角度上去接受，这样更有助于进一步的学习。 （二）使学生在统计活动的过程中学习统计 学生的生活经验中，潜在地存在统计意识。比如每年的联欢会在采购前，生活委员一定会调查同学的喜好，然后结合大多数同学的爱好进行采购。我们教学的重点是帮助学生挖掘这种潜意识，注重培养学生有意识的从统计的角度思考有关问题，也就是当遇到有关问题时能想到去收集数据和分析数据。 观念的建立需要人们亲身的经历。要使学生逐步建立统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统
26、计活动的全过程中去：提出问题，收集数据，整理数据，分析数据，做出决策，进行交流、评价与改进。 在参与活动中学会 统计方法，渗透统计思想。 从另一个角度看，数学的发展往往也经历了这样一个过程，首先是问题的提出，然后是收集与这个问题相关的信息并进行整理，再根据这些信息做出一些判断以解释或解决开始提出的问题。提出问题这点特别重要，没有目的的问题，比如老师让学生来数一数有班里有几个人，年级有几位教师等，这样的统计活动在学生心里会留下什么？问题的提出，要考虑学生的兴趣，使他乐于参与，而且应该有利于教师的学科寓教。 例如，我们可以开展丰富多彩的问题调查活动，如调查初中生的最喜爱的课外活动、最爱看的书、最喜
27、欢的人物、最喜欢的科目等等，也可以调查现阶段学生的理想等。此外，调查的问题还可以从报刊杂志、电视广播、网络等多方面寻找素材，但是要引导学生注意以上渠道提供的数据，其来源是否可靠、合理？利用合理的调查素材，使学生在运用统计知识的同时，将统计作为了解社会的一个重要手段，提高他们分析问题解决问题的能力，更好的认识现实社会，同时能理智的看待新闻媒介、广告等公布的数据，对现实世界中的许多事情形成自己的看法。 爱因斯坦说过：“纯逻辑的思维不可能告诉我们任何经验世界的知识，现实世界的一切知识是始于经验并终于经验的。”经验性的观察积累了数据，然后从数据做出某种判断，这种活动将有利于发展学生的发现能力和创新精神
28、。 例如，在“数据的收集与整理”一节课的设计中，有的教师结合 2008 年北京奥运会在班中开展了关于金牌数目猜想的调查，没想到学生的积极性特别的高，学生以小组为单位，查阅历史资料，不仅查阅了历届各国金牌的数目，居然还对可能获金牌的选手的近况进行分析，调查的对象涉及家人、同学、教师等，然后将收集的数据选用合适的统计图表示出来，在此基础上对 08 年中国奥运金牌数进行预测。在这个过程中，可以看出初中教材中许多统计的内容是不需要教师讲的，而是学生在实际问题的解决中根据需要自己很容易获得的，而且这种根据自身需要获得的知识是不容易遗忘的。所以，在这部分教学中，教师一定要给学生展示的机会，在学生最需要教师
29、的地方，我们再扶他们一把，千万不能把学生已会的和不会的一股脑当做新知教给他们，这样将会扼杀学生学习的积极性和创造力。 总之，统计的教学中，一定要注意让学生经历活动的全过程。不仅要收集数据、填写统计表，绘制统计图、计算数据，而且感受统计图表的作用，并从中得出相关的结论。 （三）创设合理的现实情境，使学生在其中体会统计对决策的影响 要培养学生从统计的角度思考问题的意识，重要的途径就是要在教学中结合生活实例展示统计的广泛应用，使学生在亲身经历解决实际问题的过程中体会统计对决策的作用。 例如：“极差、方差和标准差”教学设计 教师引言：刚刚结束的 08 北京奥运会我国取得了骄人的成绩，以 51 金荣登奥
30、运金牌榜首这包含了奥运健儿的血与汗，同时，我们也不得不佩服我国的教练，是他们慧眼识英才，选出了每个项目的精英。就拿射击冠军杜丽来说吧，队里有很多人也很有实力，可教练凭什么选中她呢？除了个人素质外，还要经过层层比赛进行选拔，下表是杜丽与队友武柳希的一次预赛射击成绩。 ( 播放图片，同时教师提出问题 ) 顺序环数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杜丽 85 100 108 99 100 100 100 103 102 103 武柳希 90 107 92 100 106 94 105 108 100 98 通过表中数据，你能运用学过的统计知识说明她们的教练 王跃舫 选择杜丽上场的原因吗 ?
31、 学生借助计算器，利用已学统计量 (平均数、众数、中位数 )进行分析。可以得到： 平均数 众数 中位数 杜丽 100 100 100 武柳希 100 100 100 从这三个量来看，她们的成绩一样这可怎么办呢？教练是以什么为依据选拔的？今天我们来共同揭开谜底。 请大家继续观察表中数据，提出；我们还能从哪些方面来说明这两个人射击成绩的差异呢？启发学生借助图象直观地比较学生很快地能够想到初一学过的刻画数据波动的折线统计图 ,让学生动手画图。 借助图象直观的观察，感到二人 10 次成绩均呈现上下波动，且感觉杜丽的波动较小些 ,那么如何刻画它们的波动大小呢？以什么量为参照进行分析更合理呢？ 引导学生分
32、析出，由于关注的是所有数据的波动情况，而平均数是与所有数据有关的量，表示所有数据的平均水平，所以选取平均数为参照更合适。要求学生在折线图上画出一条表示平均数的水平直线，再观察，你是否有新的发现？借助图象可以直观的感受每组数据与平均数的偏差有大有小。 那么如何从数量上得到两组数据的差异 ? 学生思考后，进行小组交流。有人提出 :算出他们每个人的成绩偏离平均数的差的平均数。让学生动笔，得到 0，为什么会这样呢？请学生阐述原因（正负抵消）。 那么，有什么办法克服正负抵消呢？联系以前学过的知识思考一下，学生由数据偏离平均数的距离，联想到绝对值，让他们动笔操作计算，利用绝对值进行比较。 计算结果说明什么
33、呢？ 因为 0 320 52，所以杜丽的成绩偏离平均数的平均距离较小，也就是波动小，成绩相对稳定。 教师质疑，为什么要取距离的平均数，只求和行不行？学生思考，并请他们举例说明（当比较的两组数据个数不同时利用总和进行比较就不合理了）。从而得到数据偏离平均数的平均距离：即每个数据与平均数的差的绝对值的平均数。 数据偏离平均数的平均距离的作用：反映数据波动的大小。 而平均距离与每一个数据有关，更全面地反映了数据的波动大小，但计算时要取绝对值，在以后的公式变形时不方便，所以统计中少用。 那么，还有什么办法可以避免正负抵消呢？ 联想已学的两个非负数，除绝对值外还有平方数，请学生尝试用平方替代绝对值计算：
34、 学生独立完成后，组内交流，并请一名学生板书过程。并阐述分析结果。 因为 0 3120 378，所以杜丽的成绩偏离平均数的平均波动较小，也就是成绩相对稳定，所以比较后应选杜丽。 请学生观察式子运算特征： 1.先求平均数； 2.再求数据与平均数差的平方和； 4.求平方和的平均数。 你能结合这个例子，完成下面的问题吗？ 设 是 n 个数据 x 1， x n 的平均数，各个数据与平均数之差的平方的平均数，叫做这 n 个数据的方差 (variance)，用“ s 2 ” 表示。 你能写出 s 2 ” 的计算公式吗？要求学生独立完成。学生由特殊到一般归纳得到： 分析方差公式的构成。并请学生说出方差的作用
35、：描述一组数据波动大小（离散程度）。即：方差的值越小，数据波动越小；方差的值越大，数据波动越大。也用他来描述数据偏离平均数的情况，即刻画离散程度。 请学生将新知识与已学平均数等统计量进行比较，得到：平均数、众数、中位数是描述数据的集中趋势，方差表示数据的波动大小。 注：这里应强调，比较两组数据的波动大小时，一般以两组数据的平均数相等或比较接近为前提。 请学生小试牛刀，感受新知的应用。略。 这是一节极差、方差的概念形成课，教师注重从实际问题引入，让学生站在问题的前沿，引发他们的认知冲突，激发他们的探究欲望。整个设计中，学生积极参与并深入到知识的发生、发展、形成过程中，由教师设置的问题链引导学生进
36、行自主探究、合作交流，不仅从 “形 ”的角度获得感性认识，而且从 “数 ”的角度获得理性认识，在 “数 ”与 “形 ”的有机结合中形成概念，突出本节课的重点。学生在解决问题的过程中学会观察、学会思考，同时获得研究问题的方法，从而提高分析问题、解决问题的能力，从中体会收获的喜悦，更重要的是体会到统计在决策中的重要性。 此外，我们可以让学生统计商店一个月内几种商品的销售情况，并对这个商店的进货提出你的建议；全球水资源的匮乏的事实众所周知，请学生对自家或学校的用水情况进行统计，并提出节水的合理化建议等等，让学生对身边他们感兴趣的事情展开调查，并能够结合所得数据解释统计结果，根据结果进行简单的判断与预
37、测，清晰的表达自己的观点，能够和同伴交流，在解决问题的过程中，认识统计的作用，逐步树立从统计的角度思考问题。 三、 学生常见错误与问题的分析与解决的策略方法（一）统计就是套公式计算吗？ 学习统计的核心目标就是发展学生的统计观念。而在学生对统计有怎样的印象的调查中， 不少学生回答：“ 统计不就是套公式计算吗！ ” 说明什么？说明对统计知识的教学出现了偏差。我们的教学重视知识点的传授，对统计知识的考核也局限在知识点的考核。因此， 不少教师在统计教学中重结果轻过程，认为考试只考公式的应用，所以只要背熟公式，会计算就可以了。 重点放在有关数据的计算上，学生没有经历统计过程，难以形成正确的统计观念。 事
38、实上，各个概念的计算方法和计算公式，不是初中统计学习的重点，因为有关的计算，基本上涉及到就是四则运算，加、减、乘、除，还有乘方，开方，这些计算方法在小学已经学习过，学生都已经掌握，重要的是要让学生理解，每一个概念的意义是什么。每一个概念在实际使用过程当中，有什么优势，有什么局限性。教学时要 淡化统计量的计算技巧，突出统计量的特征和作用。 不应过多地关注计算，特别是花大量的时间教学生一些简便算法，比如说同加一个数同减一个数，最后算出来的方差是不变的，什么同乘一个数或同除一个数，算完了以后，比如有小数点，先同乘 100，然后把小数点没了最后再除过去什么，在这个算的技巧上下功夫下得太多，学生的注意力
39、容易转移，也偏离了教学的重点。其实这些内容不是重点，特别是有了计算器以后，这些内容都不重要，重要的是 注意让学生弄清每个统计量的含义及作用。 作为概念课的教学，“概念产生背景的合理性和应用性”是激发学生自主学习新概念的突破口。 所以要设置合理的问题情境，使每一个概念来源于生活，反之应用于生活，学生才能有比较深刻的体会 。比如极差，是一组数据里最大的减最小的形成的，它与方差相比，用的数据比较少，只用到两个极端的数据，所以它所提供的信息，一般来说就没有方差提供得好，因为它把中间那些数据都给舍掉了。但它的好处就是简单、快，比如我们要了解一天之内的温差，用极差一下就把一组数据的范围就确定下来了。所以，
40、我们要关注的这些数学概念的意义差别，它们的适用范围，缺点，局限性，而不是在计算上，下太大功夫。这样也就不会出现“ 统计就是套公式计算”这种对统计错误的认识啦！ 弄清统计量的意义的好处还体现在考试中，举个例子： 2011 年北京市中考题第 7 题： 10 名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，它们的身高 ( 单位： cm) 如下表所示： 题目要求比较二人的平均数及方差。对于平均数，由于学生小学就非常熟悉，而且这是一个生活中常用的概念，所以学生采用估值法或是直接计算等方法都很容易得到相等的结论，而对于方差的比较，有的学生想用方差公式计算，但忘了公式或代入公式后计算有误。实质上，只要明确方差的作用是刻画
41、数据的波动状态，认真分析两组数据，就很容易得到乙队的数据波动较大，所以选 B 选项，根本不需要计算，省时、省力、还不容易出错。由此可见教学中要让学生弄清统计量的意义很重要。 （二）这样抽样合理吗？ 前面提到过，数理统计学的一个非常重要的环节，就是要做抽样，要用样本来反映整体的情况。但是如何抽样才能达到调查的目的，这是不少学生感觉困难的问题。比如 某校要了解初中学生课余体育锻炼的时间，以便改进集中体育活动的时间，请学生做调查。有的学生只在本班同学中逐一调查；有的同学到操场上对部分同学进行调查；有的只调查了各年级自己认识的 40 多个同学 他们抽样的结果能作为学校改进活动时间的依据吗？显然有失偏颇
42、，有的老师要求学生调查居住小区内人们锻炼情况，学生只考虑调查同龄人，或者只调查晨练的老年人等等，肯定也不合理，那么抽样的注意事项是什么呢？还以这个问题为例： 首先要根据学校的学生总数，确定样本容量，容量太小，不具有代表性，容量太大，费时费力；其次，要选择调查的地点，应尽可能涉及到各类学生，比如图书馆、运动场等，仅在一个地方调查，很容易缺乏代表性，比如只选择运动场，一定会得出结论，学生的每天运动时间过长，反之，只在图书馆做调查，一定会得到锻炼时间严重不足的结论。此外，还要考虑到各年级的学业负担不同而导致业余时间不同，因此应分年级调查等，可见，在抽样的过程中，要考虑的因素非常多，也比较复杂。初中阶
43、段让学生明确取样时要结合调查的目的，确定调查对象以及调查方法，使之尽可能的具有代表性即可。 （三） 频率就是概率吗？ 教学中，经常听到学生 这样叙述：“ 频率就是概率。”或者 “实验次数越多，用频率估计概率越准确 ”。这样的叙述准确吗 ?严密吗？概率与频率之间到底是什么样的关系？学生理解起来很困难。 首先，频率不是概率，频率和概率是两个不同概念，频率与实验的次数有关 ,而频率的稳定性又说明了概率是一个客观存在的数 ,是随机事件自身的一个属性 , 它与实验次数无关。 虽然在概率计算中 ,我们一般用事件发生的频率去代替概率 , 但这并不代表频率就是概率。它们二者之间的关系可以借助下面的例子来体会：
44、我们每个人都有一个确定的高度，我们把它叫做“真实高度” ,但在同一时刻用不同的量具去测量 ,总会有误差 ,测得的数值总是稳定在你的“真实高度”的附近 ,而很难得到你的“真实高度”值。事实上 ,我们一般就用测量所得的近似值去代替你的“真实高度”。只不过根据实际要求选择精度不同的量具罢了。这里你的“真实高度”与测得数值之间的关系完全等同概率与频率之间的关系。 因此，频率既有随机性（每人每次实验都是变化的），又有规律性（也就是稳定性），即随机事件发生的频率的稳定值就是概率，人们也就把频率稳定的中心值作为事件发生的概率。于是我们可以说“频率是概率的估计”、“频率的稳定值就是概率”，但不能说“频率的稳定
45、值是概率估计值”。 频率的稳定性是概率论的理论基础。 对概率与频率的关系的认识可以分三个层次进行教学。 直观认识：概率描述事件发生的可能性大小，它是事件本身唯一确定的一个常数；频率反映在 n 次实验中，事件发生的频繁程度。一般地，如果一个事件的概率较大，频率也较大，概率较小，频率也较小。反之也对。 具体实验：通过大量重复实验，借助图形表示频率的稳定性规律：随着实验次数的增多，频率的波动越来越小，逐渐稳定在一个常数附近。但应该认识到频率的不确定性，即当实验次数较少时，频率的波动可能比较大。 精确刻画：以掷硬币为例，已知 “正面向上 ”的概率为 0 . 5 ，掷两次硬币，可能频率是 0 . 5 ，
46、用频率估计概率的误差为 0 ；而掷 100 次硬币，也可能频率为 0 . 2 ，误差为 0 . 3 。显然上面的叙述不严密，太绝对了。比较严格的叙述为： “当实验次数较少时，用频率估计概率误差较小的可能性较小，实验次数越多，用频率估计概率误差较小的可能性越大 ”。建议参看教材阅读材料： 历史上科学家掷币实验的记录 实验者 掷币次数 出现正面向上的次数 频率 徳 .摩根 2048 1061 05181 蒲丰 4040 2048 05069 徳 .摩根 4092 2048 05005 费勒 10000 4979 04979 皮尔逊 12000 6019 05016 皮尔逊 24000 12012
47、05005 罗曼诺夫斯基 80640 39699 04923 （四）抽签跟先后顺序有关吗？ 在生活中，经常有这样一个现象：利用抽签决定某件好事时，经常会出现大家争抢着抓签的现象，因为一部分人有这样的心理，认为先拿到签，获胜的机会就会多些，事实是这样吗？有的教辅材料中也给出抽签与先后顺序有关的解释。那么到底有没有关系呢 ?我们建议在教学中可以分两步澄清学生对这个问题的认识。 第一步，摸球实验：每组准备一个纸盒和三个球，其中一个红球，两个白球。摸到红球表示胜。要求甲、乙、丙三个学生依次去摸，记下每人摸到的球的颜色。然后，每组做大量的重复实验，再将全班的实验结果累加统计。看看每人摸到红球的可能性是不
48、是三分之一。通过这样的实验，一方面让学生知道频率与概率的关系，另一方面，让学生知道摸到红球的概率，甲、乙、丙都是一样的。让他们体会一下等可能的实验。这样的实验有一些针对性。 第二步，用列举法计算摸到红球的概率。 建立在实验基础上的计算，有利于学生理解抽签与顺序的关系，如果仅仅是理论上的计算，学生可能只会机械的模仿记忆，而不能深刻理解。我们可以通过数目不大的实验，多让学生做一做，在做实验的过程中，通过实实在在的数据，体会频率和概率的关系，加深对概念的理解，并纠正一些错误的认识。比方说，甲连续抓了五次，都是红色的，第六次是不是抓到蓝色可能性大了？这样能解决一些我们日常生活中，这种抽签的顺序与概率是
49、不是有关系的问题。 以上只是教学中感到比较突出的几个问题。我们不可能讲得面面俱到，还需要老师们在教学中展开研讨。 明确以上不同，可能有助于我们研究教材。除了上面提到的教学建议以外，我还想 对统计与概率教学再强调两点： （ 1 ）必要的操作实验不可省概率的统计规律性本身就是通过实验发现的，用样本推断总体的方法，可以认为是实验科学。在初中阶段，由于课时以及学生认知水平的限制，我们不可能也没有必要用严密的方法揭示一些稳定性规律，评价统计方法的优劣。设计恰当的实验，直观认识随机性规律、树立概率观点、理解统计思想是必要的，也是可行的。在一些具体问题中，可以通过实验纠正对概率判断上的错误观点，统一认识，消除争议。 （ 2）重视反例和极端特例的作用 在揭示数学概念的本质、探索数学定理成立的条件时，反例具有重要的作用。同样，在统计与概率的教学中，一些极端的特例有时会发挥意想不到的作用。 例：从包含 100 个学生的总体中，随机抽取 10 名学生作为样本，估计全体学生的平均身高。分别采用不放回抽样和有放回抽样，哪种抽样方式估计的更准确些？ 大多数人认为有放回抽样估计的更准确，实际上恰恰相反。要想说服他们，我们不可能用数理统计的一套理论作出判断。可以借助合适的例子加以说明。 以下两个极端特例都能说
