课堂授课专题2：复变函数的计算机仿真.ppt

1、数学物理建模与计算机辅助设计,专题2：复变函数的计算机仿真,Page 2,本专题主要内容与参考资料,主要内容 复数和复数运算 复变函数的图形 复变函数的极限与导数 解析函数的图形 复变函数的积分 留数和级数的计算 复变函数的变换和逆变换 参考资料 杨华军, 数学物理方法, 电子工业出版社 薛定宇, 高等应用数学问题的Matlab求解, 清华大学出版社,Page 3,复数和复数运算,MATLAB中复数的表示方法 代数表示法 z = x + iy z=a+b*i三角表示法 z = r (cos+ i sin) z= r*(cos(theta)+i*sin(theta)指数表示法 z = r ei

2、z= r*exp(i*theta),z=1+2i z =1.0000 + 2.0000i,z=2*(cos(pi/4)+i*sin(pi/4) z =1.4142 + 1.4142i,z=2*exp(i*pi/4) z =1.4142 + 1.4142i,Page 4,复数和复数运算,创建复数矩阵 直接输入小矩阵，M文件输入大矩阵,A=3+5i, -2+3i; 9*exp(6i), 23*exp(33i); A = 3.0000 + 5.0000i -2.0000 + 3.0000i8.6415 - 2.5147i -0.3054 +22.9980i,Page 5,复数和复数运算,用复数的实部

3、矩阵和虚部矩阵构造 re=rand(3,2); im=rand(3,2); com=re+i*im com= 0.9501 + 0.4565i 0.4860 + 0.4447i0.2311 + 0.0185i 0.8913 + 0.6154i0.6068 + 0.8214i 0.7621 + 0.7919i 用复数的模矩阵和辐角矩阵构造 r=rand(3,2); theta=rand(3,2); com=r.*exp(i*theta) com= 0.8529 + 0.4188i 0.4387 + 0.2091i0.2311 + 0.0043i 0.7278 + 0.5146i0.4134 +

4、0.4443i 0.5353 + 0.5424i,Page 6,复数和复数运算,复数的实部和虚部的计算 real(x) 返回复数的实部 imag(x) 返回复数的虚部,com= 0.8529 + 0.4188i 0.4387 + 0.2091i0.2311 + 0.0043i 0.7278 + 0.5146i0.4134 + 0.4443i 0.5353 + 0.5424i,real(com) ans = 0.8529 0.43870.2311 0.72780.4134 0.5353,imag(com) ans = 0.4188 0.20910.0043 0.51460.4443 0.5424

5、,Page 7,复数和复数运算,复数的模和辐角的计算 abs(x) 返回复数的模 angle(x) 返回复数的辅角 angle(0) ans = 0angle(exp(i*pi);angle(exp(-i*pi) ans = 3.1416-3.1416,复数0的辐角系统默认为0,系统返回的辐角为辐角主值，主值区间为- +,Page 8,复数和复数运算,共轭复数的计算 conj(x) 返回复数(矩阵)的共轭 复数的除法 * 和 / 注意：()/5i= ()/(5*i) 复数的幂 z = sym(a+i*b); collect(z2) ans = a2+2*i*a*b-b2 %collect用于符

6、号表达式的展开运算,Page 9,复数和复数运算,复数的平方根 sqrt(x) 返回x的平方根 z=1+2i; rst = sqrt(z) rst = 1.2720 + 0.7862i 复数的模和辐角 abs(z) =2.2361； angle(z) = 1.1071； abs(rst)=1.4953； angle(rst)= 0.5536. 系统求平方根默认返回模开方，辐角直接除2的那一个根,Page 10,复数和复数运算,怎么求所有根？,solve(x3+8=0) ans = -21+i*3(1/2)1-i*3(1/2),Page 11,复数和复数运算,复数的指数和对数运算 exp(x)

7、返回复数的以e为底的指数的值 log(x) 返回复数的以e为底的对数的值复数的三角运算 计算方法为利用欧拉公式和复数的指数求法 形式上和实数的三角运算类似,exp(3+4i) ans = -13.1288 -15.2008i,log(-3+4i) ans = 1.6094 + 2.2143i,求对数时系统默认返回对数函数主值分支,Page 12,复变函数图形的绘制步骤,第一步： 用CPLXGRID构建极坐标的复数数据网络 Z=CPLXGRID(m) 创建(m+1)(2m+1)个网格点的复数极坐标系下的网格,%cplxgrid.m function z = cplxgrid(m) r = (0:

8、m)/m; theta = pi*(-m:m)/m; z = r * exp(i*theta);,Page 13,复变函数图形的绘制步骤,第二步： 用CPLXMAP绘制复变函数图形 CPLXMAP(z, f(z), (optional bound) optional bound为选择变量的范围,%cplxmap.m function cplxmap(z,w,B) blue = 0.2; x = real(z); y = imag(z); u = real(w); v = imag(w); M = max(max(u); m = min(min(u); axis(-1 1 -1 1 m M);

9、caxis(-1 1); s = ones(size(z); mesh(x,y,m*s,blue*s); hold on surf(x,y,u,v); hold off colormap(hsv(64),Page 14,复变函数图形的绘制步骤,CPLXROOT 画复数n次根的函数曲面 CPLXROOT(n, m) 以mm网格画复数的n次方根 不指定m值则缺省为m=20 既不指定m值、也不指定n值，则n值缺省为3,%cplxroot.m function cplxroot(n,m) r = (0:m)/m; theta = pi*(-n*m:n*m)/m; z = r * exp(i*theta

10、); s = r.(1/n) * exp(i*theta/n); surf(real(z),imag(z),real(s),imag(s);,Page 15,常见复变函数的图形,绘制幂函数z, z3, z1/2 , z1/3的图形,z=cplxgrid(30); cplxmap(z, z) colorbar(vert) title(z),cplxmap(z, z.3) title(z3),z=cplxgrid(30); cplxroot(2) colorbar(vert) title(z1/2),z=cplxgrid(30); cplxroot(3) colorbar(vert) title(

11、z1/3),Page 16,常见复变函数的图形,绘制复变函数1/z的图像,z=5*cplxgrid(30);z(find(z=0)=NaN; cplxmap(z, 1./z, 5*pi) colorbar(vert) title(1/z),泰勒级数展开定理与罗朗级数展开定理,Page 17,泰勒级数展开定理：函数 f(z)在圆域D内 内解析，则在区域D内可展开得泰勒级数：,其中，,罗朗级数展开定理：函数 f(z)在环域D内 内解析，则在区域D内可展开得罗朗级数：,其中，,Page 18,常见复变函数的图像,绘制 f (z)=1/(1-z)的图像,并验证泰勒展开和罗朗展开函数,z1=z; z1(

12、abs(z1)=1)=NaN; %令z1的模大于等于1的所有点为非数值值，即只计算z1的模小于1的情况 w1=1; u1=1; for k=1:100 %利用一个循环求泰勒级数前100项的和函数u1=u1.*z1;w1=w1+u1; end figure cplxmap(z1,w1) %绘制出泰勒级数的图像 axis(-2,2,-2,2,-20,20),（1）当|z|1时，将 f (z)展开为泰勒级数,Page 19,常见复变函数的图像,当|z|1时，将 f (z)展开为泰勒级数的图像,Page 20,常见复变函数的图像,z2=z; z2(abs(z2)=1)=NaN; %令z2的模小于等于1

13、的所有点为非数值值，即只计算z1的模大于1的情况 w2=1./z2; u2=1./z2; for k=1:100 %利用一个循环求罗朗级数前100项的和函数u2=u2./z2;w2=w2+u2; end figure cplxmap(z2,-w2) %绘制出罗朗级数的图像 axis(-2,2,-2,2,-20,20),（2）当1|z|+ 时，将 f (z)展开为罗朗级数,Page 21,常见复变函数的图形,当 1|z|+ 时，将 f (z)展开为罗朗级数的图像,常见复变函数的图像,Page 22,z=2*cplxgrid(30); z(find(z=1)=NaN; %令z=1的点为非数值值，即

14、计算除奇点外的整个复平面 figure cplxmap(z,1./(1-z) colorbar(vert) title(1/(1-z) view(60,30),（3）去掉奇点z=1，绘制复变函数 f (z)的图像,常见复变函数的图像,Page 23,去掉奇点z=1后，绘制函数 f (z) 的图像,当 时，,当 时，,Page 24,常见复变函数的图形,绘制指数函数ez的图形和其泰勒展开的图形,figure(1) z=5*cplxgrid(30); cplxmap(z,exp(z); view(60, 30) figure(2) w=1; u=1; for k=1:5u=u.*z./k;w=w+

15、u; end cplxmap(z, w) view(60, 30),Page 25,常见复变函数的图形,绘制对数函数lnz的图形,z=cplxgrid(20); w=log(z+eps*(abs(z)=0); w(abs(w)4)=NaN; for k=0:3subplot(2,2,k+1)w=w+i*2*pi;surf(real(z), imag(z), real(w), imag(w);caxis(0, 8*pi);title(ln z) end,以z轴为实部，颜色为虚部，自变量,Page 26,常见复变函数的图形,绘制对数函数lnz的图形,z=cplxgrid(20); w=log(z)

16、; for k=0:3w=w+i*2*pi;surf(real(z), imag(z), imag(w), real(w);hold ontitle(ln z) end,Page 27,常见复变函数的图形,三角函数图形 sin,z=5*cplxgrid(30); cplxmap(z,sin(z); colorbar(vert); title(sin(z),Page 28,常见复变函数的图形,三角函数图形 cos,z=5*cplxgrid(30); cplxmap(z,cos(z); colorbar(vert); title(cos(z),Page 29,复变函数的极限与导数,复变函数的极限

17、极限存在条件：实部和虚部同时存在极限 求法： limit(F, x, a),f=sym(sin(z)/z); L1=limit(f, z, 0) L1 = 1 L2=limit(f, z, 1+i); double(L2) ans = 0.9667 - 0.3317i,f=sym(1+1/(i*x)(i*x); limit(f,x,+inf) ans = exp(1),Page 30,复变函数的极限与导数,复变函数的导数 diff(f, z, N),f1=sym(log(1+sin(z); f2=sym(sqrt(z-1)*(z-2); df1=diff(f1,z) df1 = cos(z)/

18、(1+sin(z) df2=diff(f2,z) df2 = 1/2/(z-1)*(z-2)(1/2)*(2*z-3) vdf1=subs(df1,z,i/2) vdf1 = 0.8868 - 0.4621i vdf2=subs(df2,z,3+i/2); vdf2 = 1.0409 - 0.0339i,Page 31,解析函数的仿真,物理意义：静电场的复势,例1：已知平面电场的复电势是 ，并设电势对应复电势的实部，试作出它的电力线和等势线。,抛物线族,抛物线族,Page 32,解析函数的仿真,解法2：计算机仿真,z=cplxgrid(20); f=i*sqrt(z); u=real(f);v

19、=imag(f); x=real(z);y=imag(z); contour(x,y,u,-); %画电势 hold on contour(x,y,v,:) hold off,绘制复电势的实部和虚部,Page 33,解析函数的仿真,绘制电力线和等势线,x,y=meshgrid(-1:0.1:1); z=x+i*y; f=i*sqrt(z); u=real(f);Ex,Ey=gradient(-u); %求电势的梯度电力线 x=real(z);y=imag(z); contour(x,y,u,-); hold on quiver(x,y,Ex,Ey,1.0) %画电力线的箭头 hold off,

20、Page 34,Page 35,解析函数的仿真,例2：研究电偶极子所产生的电势和电场强度。设在(a,b)处有电荷+q，在(-a,-b)处有电荷-q，则在电荷所在平面上任何一点的电势为 其中：,clear;clf; q=2e-6;k=9e9;a=1.5;b=-1.5;x=-6:0.6:6; X,Y=meshgrid(x); rp=sqrt(X-a).2+(Y-b).2); rm=sqrt(X+a).2+(Y+b).2); V=q*k*(1./rp-1./rm); %计算电势 Ex,Ey=gradient(-V); AE=sqrt(Ex.2+Ey.2); Ex=Ex./AE; Ey=Ey./AE;

21、 cv=linspace(min(V(:),max(V(:),49); contour(X,Y,V,cv,k-) %绘制电势 axis square title(fontname宋体fontsize18电偶极子的场和等势线); hold on,Page 36,解析函数的仿真,quiver(X,Y,Ex,Ey,0.7) plot(a,b,wo,a,b,w+) plot(-a,-b,wo,-a,-b,w-) xlabel(x); ylabel(y); hold off,Page 37,复变函数的积分与留数定理,非闭合路径的积分计算 利用int积分函数求解,syms z; x1=int(cosh(3

22、*z),z,pi/6*i,0) x1 = -1/3*i x2=int(z-1)*exp(-z),z,0,i) x2 = -i/exp(i),Page 38,复变函数的积分与留数定理,闭合路径的积分计算 留数的定义：设z0为函数f(z)的孤立奇点， f(z)在z0处的留数为：其中，C为去心领域0|z-z0|内任意一条绕z的正方向简单曲线。（1）若z0为函数f(z)的一阶极点，则 （2）若z0为函数f(z)的m阶极点，则,Page 39,复变函数的积分与留数定理,求孤立奇点的留数的MATLAB程序：R=limit(F*(z-z0),z,z0) %单奇点R=limit(diff(F*(z-z0)m,

23、z,m-1)/prod(1:m-1),z,z0) %m重奇点,syms z f=sin(z+pi/3)*exp(-2*z)/(z3*(z-1); R1=limit(diff(f*z3,z,2)/prod(1:2),z,0) %三重奇点的仿真结果为：R1=1/2 - 3(1/2)/4 R2=limit(f*(z-1),z,1) %单奇点的仿真结果为：R2= sin(pi/3+1)/exp(2),z=0是三重奇点,z=1是单奇点,例：求函数 的孤立奇点处的留数,Page 40,复变函数的积分与留数定理,对于有理函数的留数计算，在MATLB中调用格式：R, P, K=residue(B, A)向量B

24、为f(z)的分子系数；向量A为f(z)的分母系数；向量R为留数；向量P为奇点位置；向量K为直接项，即为没有奇点的项，如：,Page 41,复变函数的积分与留数定理,R, P, K=residue(1 0 1, 1 1) R = 2 P = -1 K = 1 -1,方法1：分子系数B=1 0 1，分母的系数A= 1 1,故在奇点z=-1处的留数为2。,方法2：求单奇点的留数的MATLAB程序： syms z f=(z2+1)/(z+1); R=limit(f*(z+1),z,-1),运行结果： R=2,例：求函数 在奇点处的留数,Page 42,复变函数的积分与留数定理,利用留数定理计算闭合路径

25、积分 留数定理：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1, z2, , zn外处处解析，C为D内包围所有奇点的一条正向简单闭曲线，则,例： 计算积分 的值，其中C为正向圆周 。,Page 43,复变函数的积分与留数定理,方法1：先求被积函数的留数,再利用留数定理求积分,R, P, K=residue(1 0, 1 0 0 0 -1) S=2*pi*i*sum(R)仿真结果为：R = 0.2500 0.2500 -0.2500 - 0.0000i-0.2500 + 0.0000i,P = -1.0000 1.0000 -0.0000 + 1.0000i-0.0000 - 1.0000iK =

26、 S=0,方法2：参量法,clear syms t z z=2*cos(t)+i*2*sin(t); f=z/(z4-1); inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi),复变函数的积分与留数定理,【解】仿真程序为： clear syms t z z=2*cos(t)+i*2*sin(t); f=1/(z+i)10/(z-1)/ (z-3); inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi) 仿真结果为:inc=779/78125000*i*pi+237/312500000*pi为了直观显示，若只输出位有效数值，可使用语句：vpa(inc,6)仿真结果为:ans= .23825

27、8e-5+ .313254e-4*i,Page 44,例 仿真计算积分 的值。,Page 45,复变函数的级数展开,比值法：,根值法：如果 ，则有,求幂级数 的收敛半径R：,Page 46,复变函数的级数展开,复数列的收敛性： 用求极限的方法判断幂级数的收敛半径：用比值法或根值法 例：求下列幂级数的收敛半径,f1=sym(1+i*n)/(1-i*n); L=limit(f1,n,Inf) L = -1,C1=sym(exp(i*pi/n); C2=sym(1/(i*n)n); R1=abs(limit(C1(-1/n),n,Inf) R1 = 1 %收敛半径为1 R2=abs(limit(C2

28、(-1/n),n,Inf) R2 = Inf %收敛半径为,例：判断数列 的收敛性,Page 47,复变函数的级数展开,单变量函数的泰勒级数展开 函数f(z)在点z0的泰勒级数展开式如下：taylor(f) %返回函数f的五次幂多项式近似 taylor(f, n) %返回n-1次幂多项式（n可以是任意自然数） taylor(f, a) %返回a点附近的幂多项式近似 taylor(f, x, n) %按x=0进行泰勒幂级数展开，并返回n-1次幂多项式 taylor(f, a, n) %按x=a进行泰勒幂级数展开，并返回n-1次幂多项式,Page 48,复变函数的级数展开,例：求下列函数在指定点的

29、泰勒级数展开表达式：,syms z taylor(1/z2,-1) ans = 3+2*z+3*(z+1)2+4*(z+1)3+5*(z+1)4+6*(z+1)5taylor(tan(z),pi/4,4) ans = 1+2*z-1/2*pi+2*(z-1/4*pi)2+8/3*(z-1/4*pi)3,Page 49,复变函数的级数展开,x0=-2*pi:0.01:2*pi; y0=sin(x0); syms x;y=sin(x); plot(x0,y0); axis(-2*pi 2*pi -1.5 1.5); hold on for n=8:2:16 p=taylor(y,x,n); y1=

30、subs(p,x,x0); plot(x0,y1); end hold off,例：对正弦函数进行幂级数展开，观察不同阶次的图形。,Page 50,傅里叶变换及其逆变换,常用函数 F=fourier(Fun,v,u); 将函数Fun做以v和u为共轭变量的变换 f=ifourier(Fun,u,v);将函数Fun做以v和u为共轭变量的反变换,%用符号运算做 syms t f=exp(-t2); F=fourier(f) %运行结果 F = pi(1/2)*exp(-1/4*w2) ezplot(F) %绘图,Page 51,本专题小结,复数和复数运算 复变函数的图形 复变函数的极限与导数 解析函数的图形 复变函数的积分 留数和级数的计算 复变函数的变换和逆变换,