1、排列与组合概念辨析1加法原理中， “完成一件事，有 n 类办法” ，是说每种办法“互斥” ，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏乘法原理中， “完成一件事，需要分成 n 个步骤” ，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同两个原理的公式是N= m1+ m2+mn，N= m1m2mn这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步强调知识的综合是近年的一种可取的现象两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比2对于
2、排列的定义要抓住两个要点，即（1） “从 n 个不同元素中任选 m 个” ；（2）“按着一定的顺序排成一列” 这里， “按着一定的顺序排成一列” ，可能是 m 个元素笔直地排在一条直线上，也可能是排在曲线上，或者排在几条线上，甚至于根本不成列重要的不在于成排成列，而在于将 m 个元素放在 m 个不同位置上这样，两个要点就可以简称为“一元素，二位置” 排列与组合的区别表明人类对顺序的注意排列与组合，都涉及对某一集合的子集个数的研究，但是，排列与顺序有关，组合则与顺序无关例如，在直角坐标系中（2，3）与（3，2）是两个不同的点，是 2 和 3 的不同排列，但从组合角度来说，它们都是由 2 和3 构
3、成的同一组合3两个公式是指 .)!()1()2(1mnPmnnPm .)!(!)(Cmn n,N对于 的推导，重要的是抓住根本，先理解 ，即先理解从 n 个元素中取 1 个，nP1n放在第一个位置的方法数是多少（是 n ） 其余情况，只是类似地从 n1 个元素中取 1 个放在第二个位置，从 n2 个位置取 1 个放在第三个位置，最后，从 nm+1 个元素中取 1 个放在第 m 个位置而已递推，是数学中重要思考问题的方法， 的推导可以从递推的角度思考：欲求mnP可以分两步走，第一步放第一个位置，第二步放其余位置第一步，有 种方法，第mnP 1nP二步，则转化为求 于是，得到一个递推关系 由此，递
4、推下去，即1mnP1mnn可得到所求公式走分类的路子，还可以这样想：从 n 元素中取出 m 个元素的排列，可以分成两类，某元素在某位置的，与某元素不在某位置的两类分别有 和（n1） 种依加法P1mn原理有 = +（n1） 显然，这也是一个递推公式由此，也可以得到所求mnP1mnP公式从中可以看出，数学中解决问题的思路常常不唯一，因此，思维应该活跃，努力寻求多种解决问题的方法 当然，思路是有优劣的，应该根据自己的情况进行辨别推导组合数公式，关键是抓住“化归”思想的运用把求组合问题转化为已经会求的排列问题为此，需要找到联结新与旧的桥梁桥梁何处找？自然要从排列与组合的关系中去找从局部看，一个含 m
5、个元素的组合，可以派生出 个排列；反之，含同样 m 个mP元素的 个排列，在组合中只算一个组合示意地，可以表示为mP一个组合= 个排列m从整体看，要想得到全部 个排列，可以分两步走：“先分组，后排队” ，即先作mnP出从 n 个元素中每次取 m 个的全部组合，后对每个组中的 m 个元素进行全排列第一步，可以得到组合 个；第二步，由上述局部关系知道，每一个组合可以派生 个排列由nC mP乘法原理可知 = 变形，可得 = mnPmnCP顺便，从组合公式中还可以看出，除以 具有除去顺序的作用对此，人们简称为“去序”作用对于公式的学习，还应该注意几点：一是，要注意对公式结构的掌握由于排列组合部分的公式
6、较多，这一点显得更加突出，如 中，右边，)1()2(1mnnPm有 m 个因式；最大的因式是 n；因数依次小 1； 最后一个因式是 nm +1二要熟悉公式的各种变形，如， 等等三!1PCPnmnrnm是要努力追究公式各种变形的实际背景因为，公式的“形”与“实”是相互呼应、相互统一的4两个性质两个性质，这里是指，定理 1 ；定理 2 mnC11mnmnC定理 1，从式子及实际意义两个方面的推证都不难应该从中体会更深刻的“补集思想”和“对应思想”才是定理 2，可以更明确地引用集合的观点，并适当使用 与 等符号去予以解释，以01便了解公式中包含的思维过程 的意义是从 n+1 个元素中取 m 个元素的
7、组合数设被mnC1取的 n+1 个元素的集合为 把它分成两个子集： A= 与 B=2,a 1a.从 n+1 个元素中取 m 个元素的组合有且仅有两类：一类含 ，另一类不132,a含 含 的一类，可以分两个步骤得到：从 A 中选 1 个元素，从 B 中选 m1 个元1素前者，有 种方法，后者，有 种方法依乘法原理，含有含 的组合有1C1mnC1aC（即 ）种不含 的一类，从 A 中选 0 个元素，从 B 中选 m 个元素，有1mnn1a 01种根据加法原理，两类相加得 ，即 前11mnmnC1nn式整齐而意义更加明显：其每一项下标的和均为 n+1，是被取元素有 n+1 个的标志；其每一项的上标的和均为 m 是所取元素有 m 个的体现在上述解释中，如果不是分成只含 与不含 的两个集合，而是分成含有某 r 个元素1a1与不含有这 r 个元素的两个集合，会有什么结果？如果不是分成两个集合，又会如何？这些问题，都可以引导学生思考
