1、1第一章 金属自由电子气体模型习题及答案1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ 解答 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？解答 费米能级，3/22)(nmEoF其中 n 单位体积内的价电子数目。晶
2、体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。3 为什么温度升高，费米能反而降低？ 解答 当 时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能KT0级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。4 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？解答 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，
3、这是金属中的价电子遵从费米狄拉克统计分布的必然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动3/120)(nkF能就越大。这一点从 和 式看得更清楚。电子的平均动能3/220)(nmEF 3/22)(1035nmEoF正比于费米能 ，而费米能又正比于电子浓度 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就Eo 32l越大。5 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？解答 两块同种金属，温度分别为 和 ，且 。在这种情况下，温度为 的金属高于费米1T221T1
4、T能 的电子数目，多于温度为 的金属高于费米能 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的oFE2oFE能量要取最小值，温度为 的金属高于 的部分电子将流向温度为 的金属。温度未达到相等前，1oF2这种流动一直持续，期间，温度为 的金属失去电子，带正电；温度为 的金属得到电子，带负电，1TT两者出现电势差。26 为什么价电子的浓度越高，电导率越大？解答 电导 是金属通流能力的量度。通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数。但并不是所有价电子对导电都有贡献，对导电有贡献的是费米面附近的电子。费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多。费米球的大小取决于费米半径 。 可见电子浓度 越高，费米球越3/1
5、2)(nkFn大，对导电有贡献的电子数目就越多，该金属的电导率就越高。7 一金属体积为 ，价电子总数为 ，以自由电子气模型，VN（1）在绝热条件下导出电子气体的压强为： ，其中电子气体的基态能量VUP320 0053FNEU（2）证明电子气体的体积弹性模量 。pK915)/(0解答 (1) 在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功 等于系统内能的增加 ，即 WdUPdVdU式中 P 是电子气的压强。由上式可得 在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由 3/2200 )(53VNmNEF由此可得到 UVUP3)()3(20/53/20 （2） 体积弹性模量 与压强 P 和体积 的关系为 ，将KV
6、KP203/83/22 91)(5)(53NmV代入体积弹性模量 与压强 P 和体积 的关系式，得到VUK9108 每个原子占据的体积为 ，绝对零度时价电子的费米半径为 ，计算每个原子的价3a akF3/120)6(电子数目。解答 在绝对零度时导电电子的费米半径 。3/120)(nkF现已知一金属导电电子的费米半径 ，所以，该金属中导电电子的密度3/120)6(a3。32an是一个原子占据的体积，由此可知，该金属的原子具有两个价电子。 3a9 求出绝对零度时费米能 、电子浓度 、能态密度 及电子比热 与费米半径 的关系。0FEn)(0FENeVC0Fk解答绝对零度时电子的费米半径 。3/120
7、)(nkF电子浓度 与费米半径的关系是n。230)(F绝对零度时电子的费米能与费米半径的关系为mknEFF2)()3(203/20自由电子的能态密度是)()(2/1/32EVNc由此可得022/10/320)()( FcmFcF kVE平均一个电子对热容量的贡献为BFvkTC)(20因为BBFmkE)(200所以一个电子的热容与费米半径的关系为TkCFv20)(10 经典理论认为，所有价电子都参与导电，电流密度 与所有电子的飘移速度 的关系是j ddnej已知铜的电子浓度 ，329/10mn ，试比较费米速度 和飘移速度24/105mAjF4d解答是费米面上电子的动量，电子的费米速度则为Fkm
8、nkF3/12)(将漂移速度nejd与费米速度比较，得3/12)(jFd将， ， ， ，Ce19062.gmk310.9sJ34105. 29/10mn4/5Aj代入上式，得到 12087.Fd可见如果认为所有价电子都参与导电，则价电子的飘移速度将远小于费米面上电子的速度。这一点也不难理解，因为量子理论认为，参与导电的电子只是费米面附近的少数电子。如果把费米面附近的电子对电流的贡献也粗略地写成 Fenj由于 ，所以 。n dF第二章 晶体的结构习题及答案1晶面指数为（123）的晶面 ABC 是离原点 O 最近的晶面，0A ，0B 和 0C 分别与基矢 ， 和 重1a23合，除 0 点外，0A
9、，0B ，和 0C 上是否有格点？若 ABC 面的指数为（234） ，情况又如何？ 解答 晶面家族（123）截 ， ，和 分别为 1，2，3 等份，ABC 面是离原点 0 最近的晶面，0A1a23a的长度等于 长度，0B 的长度等于 的长度的 1/2 ， 0C 的长度等于 的长度的 1/3 ，所以只有 A 点1a 3a是格点。若 ABC 面的指数为（234）的晶面族，则 A、B、和 C 都不是格点。 2在结晶学中，晶胞是按晶体的什么特性选取的？解答 在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。3. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？解答 晶体中原子间距的数量级
10、为 米，要使105原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于 米。但可见光的波长为 7.6 米,是晶10 710.4体中原子间距的 1000 倍。因此，在晶体衍射中，不能用可见光。4温度升高时，衍射角如何变化？X 光波长变化时，衍射角如何变化？解答 温度升高时，由于热膨胀，面间距 逐渐变大，由布拉格反射公式 hkld可知，对应同一级衍射，当 X 光波长不变时，面间距 逐渐变大，衍射角 逐渐变小。ndhklsi2 l 所以温度升高，衍射角变小。当温度不变，X 光波长变大时，对于同一晶面族，衍射角 随之变大。5以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度（一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积
11、的比值称为结构的致密度）分别为：（1）简立方， ； （2）体心立方， ；6 83（3）面心立方， ； （4）金刚石结构， 。2 16解答 该想晶体是由刚性原子球堆积而成。一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度。 设 为一个晶胞中刚性原子球数， 表示刚性原子球半径， 表示nrV晶胞体积，则致密度Vn34（1） 对简立方晶体，任一个原子有 6 个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 2.1 所示，中心在 1，2，3，4 处的原子球将依次相切。因为 ， ，晶胞内包含 1 个原子，所以 。ra23aV 6)2(34a（2） 对体心立方晶体，任一个原子有 8 个最近邻，若原子以刚性球
12、堆积，如图 2.2 所示，体心位置 O 的原子与处在 8 个角顶位置的原子球相切。因为晶胞空间对角线的长度为 ， ，晶胞ra433V内包含 2 个原子，所以 。83)4(3a（3）对面心立方晶体，任一个原子有 12 个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 2.3 所示，中心位于角顶的原子与相邻的 3 个面心原子相切。因为 ， ，1 个晶胞内包含 4 个r423aV图 2.1 简 立 方 晶 胞 图 2. 体 心 立 方 晶 胞 图 2.3 面 心 立 方 晶 胞 6原子，所以。62)4(33a（4）对金刚石结构，任一个原子有 4 个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 2.4 所示，中心在空间对角线四
13、分之一处的 O 原子与中心在 1，2，3，4 处的面心原子相切，因为ra8晶胞体积3V1 个晶胞内包含 8 个原子，所以。163)8(34a6 在立方晶胞中，画出（101） ， （021）晶面。解答图 2.5 (a) (10)面 , (b) (021)面 图 2.5 中虚线标出的面即是所求的晶面。7. 六角晶胞的基矢 , ， 。求其倒格基矢。jai23jai23ck解答 晶胞体积为 。cackjaijicb 23)(23()( 其倒格矢为。)3(2)(23(2* jiackjaicba 。)(3)() 2* jijik 。kcajaijaibac )()23(2 2* 图 2.4 金 刚 石
14、结 构 78 证明以下结构晶面族的面间距： （1）立方晶系： ；2/12lkhadkl（2）正交晶系： ；2/12)()(cbhkl解答（1）设沿立方晶系晶轴 的单位矢量分别为 ， ， ，则正a,ijk格子基矢为 ， ， ，iajbakc倒格子基矢为 ， ， ia2* jab2*。kac2*与晶面族（ ）正交的倒格矢 。 hl*lckbhaKkl 由晶面间距 与倒格矢 的关系式 hkldhkl hklkld2得 。22lahkl （2）对于正交晶系，晶胞基矢 ， ， 相互垂直，但晶格常数 ，设沿晶轴 ， ， 的单位abccbaabc矢量分别为 ， ， ， 则正格子基矢为 ， ， ，ijkaij
15、bk倒格子基矢为 ， ， 。ia2*j2*c2*与晶面族（ ）正交的倒格矢 。hkl*lkbhaKkl 由晶面间距 与倒格矢 的关系式 hkldhkl hklkld2得 。2/12)()(cbadhkl9求晶格常数为 的面心立方和体心立方晶体晶面族 的面间距。a )(321h解答 面心立方正格子的原胞基矢为 ， ， )(21kja)(2ik)(23jia图 2.6 立 方 晶 胞 图 2.7 正 交 晶 胞 8由 ， ， ，231ab213ab2213ab可得其倒格子基矢为， ， ，)(1kjia)(2kjia)(3kjia倒格矢 31bhKh根据式 ，得面心立方晶体晶面族 的面间距hhd23
16、21)(321。2/1321231231 )()()(321 hhhaKhh 体心立方正格子原胞基矢可取为， ， 。)(1kjia)(2kjia)(3kjia其倒格子基矢为 ， ， 。(21jb2ib23jib则晶面族 的面间距为)(321h。2/11232 )()()(2321 hhaKdhh 10 试证三角晶系的倒格子也属于三角晶系。解答 对于三角晶系，其三个基矢量的大小相等，且它们相互间的夹角也相等，即， 。acaba321 利用正倒格子的关系，得 ，babsin2231i2132。 （1）baabsin2213设 与 的交角为 ， 与 的交角为 , 与 的交角为 ,则有1b212323
17、b131（2）)cos(4)()(4 ()(4cos 222132312 321131 aaa a9由（1）和（2）式得 。 cos1cos1)(sincocos 2212 由 和 可得 ， 。32b1 c2331可见倒格基矢 与 的交角， 与 的交角, 与 的交角都相等。这表明三个倒格基矢的长度不仅相22b33b1等，且它们之间的夹角也相等，所以三角晶系的倒格子也属于三角晶系。第三章 能带论习题和答案2 波矢空间与倒格空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？解答 波矢空间与倒格空间处于统一空间，倒格空间的基矢分别为 ， ， ，而波矢空间的基矢1b23分别为 ， ， ； ， ， 分
18、别是沿正格基矢 ， ， 方向晶体1/Nb2/3/Nb123N1a23的原胞数目。倒格空间中一个倒格点对应的体积为 ，*321)(b波矢空间中一个波矢点对应的体积为 NN321即波矢空间中一个波矢点对应的体积，是倒格空间中一个倒格点对应的体积的 。由于 是晶N/1体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。也就是说， 波矢点在倒格空间看是极其稠密的。因此，在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。3与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？解答 当电子的波矢 满足关系式 时，与布里渊区边界平行且垂直于 的晶面k
19、0)2(nnKk nK族对波矢为 的电子具有强烈的散射作用。此时，电子的波矢很大，波矢的末端落在了布里渊区边界上，垂直于布里渊区边界的分量的模等于 。k /n4一维周期势函数的付里叶级数 中，指数函数的形式是由什么条件决定的？nnxaieVx2)(解答 周期势函数 付里叶级数的通式为 。上式必须满足势场的周期性，即)(xVnxine)( nxinxinaxi nain eVea )()()(显然 。1aine10要满足上式， 必为倒格矢 。可见周期势函数 的付里叶级数中指数函数的形式是由其nna2)(xV周期性决定的。5在布里渊区边界上电子的能带有何特点？解答 电子的能带依赖于波矢的方向，在任
20、一方向上，在布里渊区边界上，近自由电子的能带一般会出现禁带。若电子所处的边界与倒格矢 正交，边界是 的中垂面，则禁带的宽度 ，nKn )(2ngKVE是周期势场的付里叶级数的系数。)(nKV不论何种电子，在布里渊区边界上，其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零，即电子的等能面与布里渊区边界正交。6紧束缚模型电子的能量是正值还是负值？解答 紧束缚模型电子在原子附近的几率大，远离原子的几率很小，在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近。因此，紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近。孤立原子中电子的能量是一负值，所以紧束缚模型电子的能量是负值。 态电子能量表达式snRikmi eJk)
21、()0()(即是例证。其中孤立原子中电子的能量 是主项，是一负值， 和 是小量，也是负值。i )0()(mJ7紧束缚模型下内层电子的能带与外层电子的能带相比较，哪一个宽？为什么？解答 以 态电子为例，紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分 的大小，而积分s drRrVrRJ mimatim )()()()(* 的大小又取决于 与相邻格点的 的交叠程度。紧束缚模型下，内层电子的 与riiR)(ri交叠程度小，外层电子的 与 交叠程度大。因此，紧束缚模型下，内层电子)(mir)(ri )mi的能带与外层电子的能带相比，外层电子的能带宽。8晶格常数为 的一维晶体中，电子的波函数为a（1） ， （2） ，f 是某一函数 ，xixk3cos)(lklaxf)()(求电子在以上状态中的波矢。解答 由式 可知，在一维周期势场中运动的电子的波函数满足)()(reRrkirnkn。)(xeaxki由此得 （1） )()()3cos( )3cosxexai aiikiakk
