1、1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15 分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。因此对这个问题我们假设 ：（1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在 A、B、C、D
2、 处，A、B,C、D 的初始位置在与 x 轴平行，再假设有一条在 x 轴上的线ab,则 ab 也与 A、B，C、D 平行。当方桌绕中心 0 旋转时，对角线 ab 与 x 轴的夹角记为 。容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 为 A、B 离地距离之和，()f为 C、D 离地距离之和，它们的值由 唯一确定。由假设()g（1） ， , 均为 的连续函数。又由假设（ 3） ，三条腿总能同时着地， 故 =0 必成f() ()fg立（ ） 。不妨设 , g（若 也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转） ，0f()0()于是问题归结为：已知 , 均为 的连
3、续函数， , 且对任意 有 ，求证存()fg()f()0()fg在某一 ，使 。00)(f证明：当 = 时，AB 与 CD 互换位置，故 ， 。作 ，显然，()0f()g()()hf也是 的连续函数， 而 ，由连续函数的取()h()h0fg零值定理，存在 ， ，使得 ，即 。又由于 ，000()00()0()fg故必有 ，证毕。 ()fg2.学校共 1000 名学生，235 人住在 A 宿舍，333 人住在 B 宿舍，432 人住在 C 宿舍。学生 们要组织一个10 人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。 （15 分）解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员
4、数为 x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为 z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进 1，其余取整数部分。则x+y+z=10；x/10=235/1000；y/10=333/1000；z/10=432/1000；0 x 100 y 10 ，x,y,z 为正整数；0 z 10解得：x=3y=3z=43.一饲养场每天投入 5 元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头 80 公斤重的生猪每 天增加 2 公斤。目前生猪出售的市场价格为每公斤 8 元，但是预测每天会降低 0.1 元，问该场应该什么时候出售这样的生猪可以获得最大利润。 （15 分）解：设在第 t 天出售这样的生猪（
5、初始重 80 公斤的猪）可以获得的利润为 z 元。每头猪投入：5t 元产出：（8-0.1t） （80+2t）元利润：Z = 5t +（8-0.1t） （80+2t）=-0.2 t2 + 13t +640=-0.2（t2-65t+4225/4）+3405/4当 t=32 或 t=33 时，Zmax=851.25(元)因此，应该在第 32 天过后卖出这样的生猪，可以获得最大利润。4. 一奶制品加工厂用牛奶生产 A1，A2 两种奶制品，1 桶牛奶可以在设备甲上用 12 小时加工成 3 公斤A1，或者在设备乙上用 8 小时加工成 4 公斤 A2。根据市场需求，生产的 A1，A2 全部能售出，且每公斤
6、A1获利 24 元，每公斤 A2 获利 16 元。现在加工厂每天能得到 50 桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480 小时，并且设备甲每天至多能加工 100 公斤 A1，设备乙的加工能力没有限制。 （1）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。 （2）33 元可买到 1 桶牛奶，买吗？（3）若买，每天最多买多少?（4）可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? (5)A1 的获利增加到 30 元/公斤，应否改变生产计划？（15分）解：设：每天生产将 x 桶牛奶加工成 A1，y 桶牛奶加工成 A2，所获得的收益为 Z 元。 加工每桶牛奶的信息表:产品 A1 A2所需时间 12 小时 8
7、小时产量 3 公斤 4 公斤获利/公斤 24 元 16 元(1) x+y0则，牛奶 33 元/桶 可以买。(3)若不限定牛奶的供应量，则其优化条件变为：12x 8y 4800 3x 100y 0W=39x+31y解得，当 x=0，y=60 时 ， Wmax=1860 元则最多购买 60 桶牛奶。(4) 若将全部的利润用来支付工人工资，设工资最高为 n 元。n=Wmax/480=3.875（元）(5)若 A1 的获利为 30 元，则其优化条件不变。Z1=90x+64y解得， 当 x=0，y=60 时，Z1max=3840（元）因此，不必改变生产计划。 5. 在冷却过程中，物体的温度在任何时刻变化
8、的速率大致正比于它的温度与周围介质温度之差，这一结论称为牛顿冷却定律，该定律同样用于加热过程。一个煮硬了的鸡蛋有 98，将它放在 18的水池里，5 分钟后，鸡蛋的温度为 38，假定没有感到水变热，问鸡蛋达到 20，还需多长时间?（15 分）解：题意没有感到水变热，即池水中水温不变。设:鸡蛋的温度为 T，温度变化率就是 dT/dt 其中 t 为时间，水的温度为 T1，则鸡蛋与水温差为 T-T1由题意有：T- T1=kdT/dt (其中 k 为比例常数) (1)方程(1)化为 ： dt=kdT/（T- T1） （2）对（2）两边同时积分之后并整理一下就得到：t=k*ln（T- T1）+C则 k*l
9、n（98-18）+ C=05=k*ln（38-18）+ck 5ln20 ln80t1=k*ln(20-18)+c-k*ln(38-18)+c=8.3（min）所以，还需 8.3（min） 。6. 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。报童如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。 （15 分）解：设：报纸具有时效性每份报纸进价 b 元，卖出价 a 元，卖不完退回份报纸
10、 c 元。设每日的订购量为 n，如果订购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。为了获得最大效益，现在要确定最优订购量 n。n 的意义。n 是每天购进报纸的数量，确定 n 一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入，另一方面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。所以，笔者认为 n 的意义是双重的。本题就是让我们根据 a、b、c 及 r 来确定每日进购数 n。基本假设1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量 n。2、假设报纸每日的需求量是 r，但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟，毫无经验，无法掌握需求量 r 的分布函数,只知道每
11、份报纸的进价 b、售价 a 及退回价 c。3、假设每日的定购量是 n。4、报童的目的是尽可能的多赚钱。建立模型应该根据需求量 r 确定需求量 n，而需求量 r 是随机的，所以这是一个风险决策问题。而报童却因为自身的局限，无法掌握每日需求量的分布规律，已确定优化模型的目标函数。但是要得到 n 值，我们可以从卖报纸的结果入手，结合 r 与 n 的量化关系，从实际出发最终确定 n 值。由常识可以知道卖报纸只有赚钱、不赚钱不赔钱、赔钱会有三种结果。现在用简单的数学式表示这三种结果。1、赚钱。赚钱又可分为两种情况:rn，则最终收益为(a-b)n (1)r0 整理得：r/n(b-c)/(a-c) (2)2
12、、由(2)式容易得出不赚钱不赔钱。r/n=(b-c)/(a-c) (3)3、赔钱。r/nbc,可得 a-ca-b，而(a-b)恰好是卖一份报纸赚得的钱。然后采用放缩法，把(2)式中的(a-c)换成(a-b)，得到r/n(b-c)/(a-b) (5)不等式依然成立。由(5)式再结合(1)式可知收益与 n 正相关，所以要想使订购数 n 的份数越多，报童每份报纸赔钱(b-c)与赚钱(a-b)的比值就应越小。当报社与报童签订的合同使报童每份报纸赔钱与赚钱之比越小，订购数就应越多。7. 谈谈你对数学建模的认识，你认为数学建模过程中哪些步骤是关键的。 （10 分）简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学
13、表述。具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决“实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模的几个过程1 模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。2 模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。3 模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）4 模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。5 模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。6 模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。
