1、第 7 章 离 散 时 间 系 统 的 Z 域 分 析7.1 学习要求（1）深刻理解 z 变换的定义、收敛域及基本性质，会根据 z 变换的定义和性质求解一些常用序列的 z 变换，能求解 z 反变换，深刻理解 z 变换与拉普拉斯变换得关系；（2）正确理解 z 变换的应用条件；（3）能用 z 域分析分析系统，求离散系统的零状态响应、零输入响应、完全响应、单位样值响应；（4）深刻理解系统的单位样值响应与系统函数 H(z)之间的关系，并能用系统函数 H(z)求解频率响应函数，能用系统函数的分析系统的稳定性、因果性。7.2 本章重点（1）z 变换（定义、收敛域、性质、反变换、应用） ；（2）z 域分析（
2、求解分析系统） ；（3）系统的频率响应函数。7.3 本章的知识结构系统的 Z 域分析Z 变换定义 、 收敛域Z 反变换的求解系统的频响因果稳定系统系统函数基本序列的 z 变换基本性质与拉氏 、 傅氏变换的关系序列的傅立叶变换7.4 本章的内容摘要7.4.1 Z 变换（1）定义表示为： 。nnzxzX)()( )(zXnxZ（2）收敛域1.有限长序列 12(),0xn其 他（1）当 时， 始终为正，收敛条件为 ；,210z（2）当 时， 始终为负，收敛条件为 ；（3）当 时， 既取正值，又取负值，收敛条件为 。0,21n z2.右边序列 1(),x（1）当 时， 始终为正，由阿贝尔定理可知，其收
3、敛域为 ， 为最01n 1xRz小收敛半径；（2）当 时， 分解为两项级数的和，第一项为有限长序列，其收敛域为1)(zX；第二项为 z 的负幂次级数，由阿贝尔定理可知，其收敛域为 ；取其交集z 1xz得到该右边序列的收敛域为 。zRx13左边序列 2(),0xn其 他（1）当 ， 始终为负，收敛域为 ， 为最大收敛半径； 22xRz（2）当 ， 可分解为两项级数的和，第一项为 z 的正幂次级数，根据阿贝n)(zX尔定理,其收敛域为 ， 为最大收敛半径；第二项为有限长序列，其收敛域为2xR；取其交集，该左边序列的收敛域为 。0z 20xRz4双边序列双边序列指 为任意值时, 皆有值的序列，即左边
4、序列和右边序列之和。其 变换：n)(nx z01)()()()(nnnn zxzxzzX双边序列的收敛域为一环形区域 。21xxR下表列出了序列的形式与 变换收敛域的关系。z（3）常用序列的 Z 变换表 7.11、 收敛域为整个 Z 平面。2、)(nx1)(0ZnZ()()nau，收敛域为 。azzX1 az3、 )()(nx，收敛域为 。azaz1az注释1因果序列的收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。2左边序列的收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。3对照例 2.2 和 2.3 不难发现，不同的序列可得到相同的 Z 变换表达式，因此一个 Z变换表达式不唯一对应一个序列，而需要和收敛域一起确定
5、一个序列。（4）Z 反变换1.部分分式法当 的表达式为有理分式时可采用部分分式展开法求其反变换。有理分式是指含字)(zX符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。 部分分式法是把 x 的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有或 的形式 ，其中 是实数范围内的不可约多项式，kAxa)(kBb)(2BAx2而且 k 是正整数。这时称各分式称为原分式的“部分分式”。通常，X(z)可表成有理分式形式：因此，X(z)可以展成以下部分分式形式：iNiMiizabzABX10)( rkkirNkMn zCzAB1110 )()(其中，MN 时，才存在 ；Z k 为
6、 X(z)的各单极点，Z i 为 X(z)的一个 阶极点。而系数rAk，C k 分别为： rkzrikrkzikxdrCXsA2,1)()!(1)Re分别求出各部分分式的 z 反变换，然后相加即得 X(z)的 z 反变换。2.幂级数展开法(长除法) 由Z 变换的定义可知，x (n)的 Z 变换为 Z-1 的幂级数，即所以在给定的收 2102 )()()(1()()( zxzxzxnzX敛域内，把 X(z)展为幂级数，其系数就是序列 x(n)。（1）若收敛域为|z|R x+， x(n)为右边序列，则 X(z)主要展成 Z 的负幂级数。（2）若收敛域|Z|1.62 是其收敛区域。零极点图略。 21
7、2121)()(2 azazazH两020121nnzaza6. ,6. )()(212aunh式 中所 以由于 的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。)(zH(3) 若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆,因此选 的)(zH收敛区域为 ，即 ，则12az62.1.0z2121)(H中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。02121)( nnnzazaz所 以)(62.()1()6.(47.0)( 212 nuunhn则 有从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。分析：Y(z) yn,)( ,)(zHnhzXnx则 ，/ZY要求收敛域必须知道零点、极点 。收敛域为 Z
8、平面某个圆以外，则为因果系统（不一定稳定） ，收敛域若包括单位圆，则为稳定系统（不一定因果） 。7.13 研究一个输入为 和输出为 的时域线性离散移不变系统，已知它满足：)(nx)(ny)(1(310nx并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。解：解： 对给定的差分方程两边作 Z 变换，得：)31( 01 )()()(310)(1zzzXzYHzXz则 ：，31, 21z极 点 为为了使它是稳定的，收敛区域必须包括但单位圆，故取 。 3|/1z3/1,)(.721a两两即可求得 )()(8nununh分析：在 Z 变换域中求出 ，/zXYzH然后和 7.12（3）一样分解成部分分式分别求 Z
9、反变换。7.14 研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统，该系统不限定为因果、稳定系统。利用方程的零极点图，试求系统单位抽样响应的三种可能选择方案。 )(1()251( nxyny解：(1) 按 7.12 题结果(此处 z1=2, z2=1/2),可知当收敛区域为 ,则系统是非稳定的，但是因果的。其单位抽样响应为： )(1)(22nuzznhn)(23nun(2) 同样，当收敛区域为 ，则系统是稳定的但是非因果的。其单位抽样响应为： )()1(1)( 22 nuzuznhn)()(3n |)|12z(其中 )21z(3) 类似 , 当收敛区域为 时，则统是非稳定的，又是非因果的。其单位抽样响
10、应为： )1()1(1)( 22 nuznuznh )1()2(3nun(其中 ),17.15 对于下列差分方程所表示的离散系统 )(1()nxyn（1） 求系统函数 及单位样值响应 ，并说明系统的稳定性。)(zHh（2） 若系统的起始状态为零，如果 ，求系统的响应。)(0)(ux解：（1）对差分方程两边求 Z 变换，得系统函数：11zXYzH对系统函数求逆变换，可得单位样值响应 ：nhnu1根据 判断，可知系统是因果的。而 只有一个一阶极点 ，在单位圆上，所nhzHz以系统是临界稳定的。（2）若系统起始的状态为 0，则系统响应为零状态响应，若 ，则：)(10)(nux10zX1510 zzH
11、Yzsnunyzs)(57.16 求以下序列 的频谱xjeX（1） （2）)(0 )(nuea（3） （4）)(nuej )cos0解：先求序列的 z 变换，两求频率响应，即频率响应为单位圆上的 z 变换。（1） )(000njezj nXeznxzj（2） )(uanjaezjanXezzj 11（3） )(0nujjjezj jj eXezzj 11（4） )cos()0nuanajajjezj aeeXe zzzj 2010cos21s 7.17 求下列序列的傅里叶变换（1） （2）(3)n()nu（3） （4）1()22n3)解： njnjnj jnjj eaeuaeX03)2(1当
12、时，10ajj1当 时，序列的傅立叶变换不存在。 3636 33333 120120 2311 1)4( 2113jj jjjjjjj njnjnjnj njnjj jjnjnj ee eeee euuXee 7.18 已知序列 和 的傅里叶变换分别为 和 ，利用序列傅里叶变换()xny()jX()jYe性质求下列序列的傅里叶变换。（1） （2）()m*()xn（3） （4）xny（5） （6）()y()x（7） （8）2x2n（9） (/)0n为 偶 数为 奇 数解：（1） ()xmjmjnnjjeXexxFT mnn 两两 ,（2） *()xnjnnjnj eXexeFT （3） ()xjnnjnnjeXexxFTn两两 ,（4） ()*y jj mjmkmkjmjkn njeYX exeykyxyxFTe 两两,（5） ()xny jj njjnjnj jnjjnnjeYX deXYdxeeyxFT 2121（6） ()nxdeXnxnxFTnxjFTejdeXjjnjjnjj 两两两,（7） (2) 22 22 221112,jj nnjjnjn njnjnnjeXeexx exexFTx两两两两（8） ，利用上面第 5 题的结果。2()xn deXeYXFT jjjj 211（9） (/2)0xnn为 偶 数为 奇 数22,jnnjnnjeXexxFTn两两
