1、1高一数学学习单 姓名_任课教师_日期_集合第一课时（集合概念、元素的性质、集合的表示方法）引言：1、高中数学内容介绍：集合、简易逻辑、不等式、函数（导数） 、三角函数、向量、数列、解析几何、立体集合、二项式定理、概率统计、算法、复数2、第一学段学习内容：集合、简易逻辑、不等式3、集合在数学中的作用和地位：数学是一种语言，集合是作为语言被介绍的，集合语言是现代数学的基本语言，因而是学习其它知识的基础集合概念及其理论是近现代数学的重要基础，高等数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑学等都是建立在集合论的基础上那么，你在假期自学集合这一章节时，遇到哪些感到疑惑的问题？为了方
2、便大家寻找问题，请大家完成自我诊断一、自我诊断：1下面给出的五类对象中：某学校高一的阳光女生；某学校高一身高最高的同学；与 1 接近的实数的全体；平方后等于 的实数全体，倒数等于它本身的数；周长为 20cm 的三角形的全体其1中能构成集合的有_；构成的集合是有限集的有_；构成的集合是无限集的有_答案：；2用符号 或 填空：0_ ，0_ ，0_ ， _ ， _ 0NaQ答案： ， ， ， ，3用列举法表示下列集合： 2|8Axyxy且 |BN且 2|Cxyxy答案： ； 8，7，4 ； 0，1，20 81 7 4A且BC4设 、 ，集合1， ， =0， ， ，则 =_abRababa答案： ，
3、， ， 2二、问题讨论：1、请分别说说你怎么理解元素的确定性、互异性、无序性？参考：（1）哪些是不确定的说法：比如：漂亮的人，成绩好的学生，富裕的家庭等，不能组成集合（2）关于互异性，问：集合 是单元集合吗？问：数集0，1， 中的隐含条件240x2x是什么？2、同学们都知道集合的表示方法有：列举法、描述法、图像法、区间、特定字母法：N（ 或 ） ，*NZ，Q，R；请问同学们它们分别适合什么样的集合？2参考：列举法适合有限集或者有规律的无限集；描述法适合有元素共同特性的集合；列举法和描述法通常可以互相转化图像法主要的功能是描述集合之间的关系；区间是数集的特殊表示方法，适合表示连续的实数3、我们知
4、道描述法是集合的一种重要表示方法，是集合语言的集中体现，请问同学们描述法要关注哪些因素？参考：要关注代表元素的重要性和特征性质的重要性，同时要注意对字母的限制条件（1）元素的一般符号的重要性：它表明这个集合是什么样的元素组成（2）特征性质的重要性：它表明元素具备什么性质三、例题分析：例 1用适当的方法表示下列集合：（1）36 的所有正约数；（2）由 1，2，3 中的部分或全部组成的正整数（要求数字不重复）集合；（3）在平面直角坐标系中第三象限内的所有点；（4）函数 图象上的一切“正格点”（定义横纵坐标都是正整数的点为“正格点”） 20yx分析：（1）由于“ 的所有正约数”组成的集合中只包括 1
5、，2，3，4，6，9，12，18，36 这 9 个元素，36故可以用列举法表示又由于这个集合中元素的共同特征比较明显，便于描述，故也可以用描述法表示该集合；（2）我们分别写出由 1，2，3 中的 1 个、2 个、3 个数字形成的正整数共有 15 个，分别是1，2，3，12，13，23，21，31，32，123，132，213，231，312，321，故可用列举法表示该集合；（3）因为平面直角坐标系中第三象限内的点无穷多，但是它们都具有一个共同的特征：横坐标和纵坐标都为负数，故可以用描述法表示该集合；（4）结合二次函数的图象，让 由小到大分别取正整数检验可知， 只能取 1，2，3，相应的 取xx
6、y9，6，1，即“正格点” 只有 3 个，故可用列举法表示该集合解：（1）由 的所有正约数组成的集合用列举法可以表示为1，2，3，4，6，9，12，18，36 ；用描述法可表示为 是 36 的约数；xN（2）由 1，2，3 中的部分或全部组成的正整数（要求数字不重复）集合用列举法可表示为1，2，3，12 ，13，23，21，31，32，123 ，132，213，231，312，321 ；（3）在平面直角坐标系中第三象限内的所有点的集合用描述法可表示为或 ；0()|xy， ()|0yx， 且（4）函数 图象上的一切“正格点”集合用列举法可表示为 （1，9） ， （2，6） ， （3，1）210y
7、x例 2你能区分下述几种不同表述的不同含义吗？ ， ，|x 1|2xy3 ， ，12|xyx 2()|1xyx且 ， 02分析：注意在“形似” 中发现“不同”，从“列举法”和“ 描述法”的深层结构来思考与鉴别 解：表示方程 的实数解组成的集合；21x表示由二次函数 的所有函数值组成的集合（即值域） ；yx表示由二次函数 的所有自变量组成的集合（即定义域） ；2表示由抛物线 上的所有点组成的集合；1yx表示单元素集，这个集合中只有一个元素，这个元素是一元二次方程 ；210x表示单元素集，这个集合中只有一个元素，这个元素是一个二次函数 y评析：注意例 2 中与、与的区别，这里“|”和它前面的“代表
8、元素”是不能省略的！与的区别在于“|”前的“代表元素”不同，因此集合的含义就不同！在此，提醒同学们：表示一个集合的关键在于恰当而准确；同时，若给出一个集合，从其表示形式来理解集合所蕴含的本质含义，是我们学习集合的一项基本要求例 3集合 ， ， ，16MxmZ且 123nNxZ且 126pPxZ且则 M、N、P 之间的关系是（ B ）A B C DPMPNM解析： ， ，6132n16p四、巩固练习：1用描述法表示下列集合：（1）正偶数的集合； （2）不等式 的解集；210x（3）2，4，6，8； （4） ， ， ， ；34（5）抛物线 上的点组成的集合； （6）区间 2yx 6，答案：（1）
9、（2） （3） （4）kN且 1x2 1xkNk且（5） （6） 14xk且 2y且 6R2已知集合 ，试用列举法表示集合 2|6AxNA4答案：A=5，4，3，2，03已知集合 ， ，那么 等于_2PyxR且2QxyxR且QP答案： 五、课后练习：1设含有三个实数的集合既可以表示成 ，又可以表示成 ，则 1ba， ， 2 0ab， ， 2012ab解析： ， ，原式等于a0b2集合 A= ，B= ，C= 又 ，x2kZ且21xkZ且41xkZ且aAbB且则有（ B ）（A） A （B） B （C） C （D ） A、B、C 任一个abababb3已知函数 ， ，那么集合 中元素xfy且 2x
10、yfxaxy且的个数为（ ）（A） 1 （B）0 （C）1 或 0 （D） 1 或 2【错解】：不知题意，无从下手，蒙出答案 D【分析】：集合的代表元，决定集合的意义，这是集合语言的特征事实上， 、()xyf、 、 分别表示函数 定义域，值域，图象上的()yfx,)()yfx（ ()gfx)(f点的坐标，和不等式 的解集g【正解】：本题中集合的含义是两个图象的交点的个数从函数值的唯一性可知，两个集合的交中至多有一个交点即本题选 C4用适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集（1）被 5 除余 2 的所有整数的全体构成的集合；（2）函数 的定义域、值域、图象上的点集；1yx（3）
11、平面直角坐标系上第四象限的点组成的集合；（4）不等式 恒成立时， 的值组成的集合20aa（5）不等式 的解集1x答案：（1） （2） ， ， （3）5z1xy1yx1yx且（4） （5）0xy且 -2a5已知集合 A= ，集合 B= ，若 A，试判断21nN且 2bmN且x与 B 集合的关系；反过来呢？答案：B= ， A 可2bm且x以得到 B；反过来，1 B，当时 1 Ax56已知集合 2，3， +4 +2， B0 ，7， +4 -2，2- ，且 A B=3，7，求 值A2a2aa分析： A B=3，7 +4 +2=7 即 =1，或 =52至此不少学生认为大功告成，事实上，这只求出了集合 A
12、，集合 B 中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步检查当 =5 时，2 =7， 在 B 中重复出现，这与元素的互异性相矛盾，故aa应舍去 =5当 =1 时， B=0，7，3，1 且 A B=3，7 a =1 评注：集合元素的确定性，互异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差之毫厘则失之千里集合第二课时（空集，集合语言，集合的封闭性）一、自我诊断：1下面四个命题：零属于空集； 方程 的解集是空集； 方程 的解0532x 0962x集是单元素集； 不等式 的解集是无限集 062x其中正确命题的个数为（ C ）A1 B2 C3 D42当 满足什么条件时，集合 是有限集、无限集
13、、空集？ab， 0AxabxR，答案： ； 且 ； 且 00b3已知集合 2|1xaR， ，（1）若 中有且只有一个元素，求 的值；Aa（2）若 中至多有一个元素，求 的取值范围答案：（1） 或 ；（2） 或 0014若 、 是集合 的元素，试问 ， ， 与集合 A 的关mn3xbZb且 mn系？答案： ， 是 A 的元素； 不是 A 的元素mn二、问题讨论：1、空集与 0 的地位分析；空集有哪些性质？参考： ， ，空集是任何的子集，是任何非空集合的真子集空集常常被忽略，很受伤！2、集合元素还具备广泛性，只要是能够确定的对象都能构成集合请问集合是否可以做集合的元素？“集族”教材第 9 页比如、
14、设 A=0，1，且 B= ，则用列举法表示 B 为_xA6解析： 01 且3、集合是作为一种语言来介绍的，请同学们简单谈谈，集合作为一种语言，体现在哪些方面？参考：若集合 是空集，说明方程无解； 是值域；20xabca且 1yx是定义域；函数的单调区间；立体几何的点线面的关系；概率统计中的数据等1xy4、数集对某种运算的封闭性实数集对加减乘除是封闭的，也就是说，集合中的任意两个元素经过计算后还是集合的元素请同学们举出一个集合并说出它对什么运算是封闭的？还有不常见的运算封闭性： 或243xN6xN三、例题分析：例 1设集合 ， ，若 ，求实数 的范2|0A22|10BaABa围解析：本题主要是唤
15、醒学生对空集的重视A 由 B ，得 B ，或0 ，或4 ，或0，4|x244， A当 B 时， ，解得 ()a102a1当 B0时，由两根为 0 及韦达定理得 ，解得 2(当 B4时，由两根为 4 及韦达定理得 ，无解1862()a当 B0，4时，由韦达定理得 ，解得 4102()a综上知，所求实数 的范围为 (，例 2 （1）已知集合 是一个空集，求实数 的取值范围；2xaa（2）已知集合 是一个单元集合，求实数 的值；10（2）已知集合 是一个有限集合，求实数 的值2x解析：本题主要是训练学生的集合语言的理解（1） ，所以 ；40a1（2） 或 ；7（3） 即 如果空集是有限集则需加上0a
16、10a一定向学生说明空集在有的地方是算有限集，有的地方空集单独。例 3设 A= ，若 ， ，则 2xmnZ且 bA问：若 ， ， ，则 ？说明集合 A 对乘法封闭，对除法不封闭abA0ab例如 B= 对加减乘除都是封闭的请同学们再寻找类似的例子2xQ且四、巩固练习：1下列集合是有限集，还是无限集：方程 的解得全体构成的集合；平行四边形的全体构成的集合；2x 123xN答案：有限；无限；无限2集合 A=1，2，3，若 B= ，则 B=_xA答案： 13123且且3设 A= ，B= ，若 B A，求 的值20x6xaa答案： 或 或 0a64由实数构成的集合 满足条件：若 ， ，则 ，证明：A1a
17、（1）若 ，则集合 必还有另外两个元素，并求出这两个元素；2（2）非空集合 中至少有三个不同的元素答案：（1） ，1（2） ， ， 只需证明这三个数不可能相等即可aa五、课后练习：1已知集合 至多有一个元素，则 的取值范围 ；023|2xAa若至少有一个元素，则 的取值范围 a答案： 或 ； 或0a98982 已知集合 ，则 M=_6|5MNZa且分析： 是 6 的约数，即 1，2，3，6，所以 4，3，2， 5aa13 集合 ，且20xxR且 M ，求实数 的取值范围a8分析：说明 M 是非空集合 ， 40a14集合 ， ，若 ，求实数 的值2|6Ax|BxmBAm答案：A=2， ， ， ，
18、 30m1235集合 ，判断下列元素 和集合 A 的关系：xRabZ且 x（1） ； （2） ； （3）0112x（4） （其中 ， ） ； （5） （其中 ， ）12x1xA211x2答案：（1） ，当 ， ；（2） ， ；（3） ， ；（4） ；0abx3（5） 6元素为正整数的集合 满足条件“若 ，则 ”回答下列问题：SS8S（1）试写出只有一个元素的集合 ；（2）试写出含有 2 个元素的集合 的全部；（3）满足上述条件的集合 总共有多少个？S答案：（1）4（2）1，7，2，6 ，3，5 （3）组合：其中两个的并集有 6，其中三个的并集 4，四个的并集 1，故共 15集合第三课时（子集）
19、一、自我诊断：1下列四个命题： ； 空集没有子集；任何一个集合必有两个或两个以上的子集； 空0集是任何一个集合的子集； 元集合子集的个数是 ；若 A B，C B，则n2nA C B； A B，A C，A B C其中正确的是_答案： 2若 ， ，且 ，则（ A ）|1Mx|NxaMNA B C Da11a3若 ， ，B=0，1，2，3 ，C=0，2，4， 8，则满足上述条件的集合 A 有 答案： ，0，0，2，24判断下列集合之间的关系（“相等”、 “包含于”、 “真包含于”等）：（1） 三角形 ， 等腰三角形 ， 等边三角形 ；ABC9（2） ， ， ；2|0Ax|12Bx2|4Cxx（3）
20、， ， ；1|tR， |13（4） ， ，|2xkN， | xkN且，|1CZ， |21DZ，（5） ， | 24Axk， | 4Bxk，答案：（1） （2） （3） （4） （5）BCACBACDAB二、问题讨论1、能用三种语言表示子集、真子集、相等吗？集合之间还有什么关系？“A 不包含于 B”请举例说明“从属” 关系和“ 包含 ”关系子集具备什么性质？传递性；真子集也具备传递性吗？满足子集关系的两个集合的特征性质有什么逻辑关系？参考：让学生到黑板上写出三种语言，包括不包含关系从属关系是元素和集合，包含关系是集合与集合，但是要注意渗透 ， 子集和真子集都有传递性2、集合子集与集合元素的数量关
21、系？如何推导？参考教材：可以用不完全归纳法得 2n方法一： 0121nnnCC方法二：数学归纳法方法三（重点推荐）：乘法原理“在”或“ 不在”做一件事，完成它需要分成 个步骤，做第一步有 种不同的方法，做第二步有 不同的方法，1m2m，做第 步有 不同的方法那么完成这件事共有 N= 种不同的方法nnm12n3、请同学们简单说明如何去判断子集、真子集、相等？参考：要给学生渗透元素的任意性，子集、真子集的单向性，相等的双向性三、例题分析例 1已知 ， ，问：|814AxnZ， ， |2BxkZ且（1）数 2 与集合 的关系如何？（2）集合 与集合 的关系如何？ B分析：判断某对象是否为某集合中的元
22、素，关键看这一对象能否具有此集合元素的“共同特征”；而考察两个集合的关系，主要看是否包含，进一步看是否相等 本题的关键在于（1）中 与集合 的关系因2A为集合 为偶数集，而集合 中的元素都为偶数，所以 若 ，则存在 ，使AAB20mnZ，所以 可以写成 ，即 ；若 ，则由 知，02814mn2kZ00284kmnkB10BA解：（1）因为 ，且 ， ，所以 2814()2Z12A（也可以通过将 写成 或其它形式来说明 ） 53（2） 先证 ：AB任取 ，则 ， 、 ，0y0814mnZ所以 ，且 2(7)7n所以 ，即 814nAB再证 ：B任取 ，则 ， 0x02kZ由（1）的结论知 ，且
23、， ，8()14()k2Zk所以 ，即 2kA因为 且 ，B所以由集合相等的定义得 B评析：在证明两个集合相等时，对于元素个数较少的有限集，可以将集合中元素全部列举出来，说明两个集合中的元素完全相同，从而得到两个集合相等；对于无限集，只需说明两个集合具有相互包含关系，就可以得到两个集合相等例 2设集合 ， ，若 ，求实数 的取值范围25Ax12xmBAm分析：处理与不等式有关的集合问题通常可以借助数轴，本题需要对集合 是空集和非空集合进行分类讨论解; 若 ，则 ，此时有 ，解得 ；BA122若 ，欲使 ，结合数轴，得 ；125m233m综上可得 的取值范围 或 ，即 评析：空集是特殊的集合，也
24、是集合运算中非常活跃的一个集合，它是任何集合的子集，是任何非1x图 1-3511空集合的真子集当 时， 可能为空集易被忽视，所以在条件不明确时，要注意分类讨论运用BA数形结合的思想，将集合用数轴直观地表示出来，有利于列出不等式（组） 思考与探究 变题 1：设集合 ， ，若 ，求实数 的取值范围25x12BxmBAm变题 2：设集合 ， ，若 ，求实数 的取值范围A请你写出例 2 的其它一些变题，并求解例 3已知集合 ， ， 230PxbxR， 21340QxxxR（1）若 ，存在集合 使得 ，求出这样的集合 ；4bMPM（2） 能否成为 的一个子集？若能，求 的取值或取值范围；若不能，请说明理
25、由Q分析：问题（1）中要求的集合 有两个限制条件： 且 ，可用列举法表示集合 ；问题PM（2）的实质是一个存在性问题，解决这类问题的一般方法是先假设存在性成立，然后从已知条件出发，进行运算化简或推理论证，若出现矛盾，则存在性不成立，否则存在性成立解：解方程 得 21340xx4 1Q， ，（1）当 时，方程 的判别式 ，4bb23470故 P所以，原问题等价转化为求集合 的非空真子集 M用列举法可得这样的集合 共有 6 个，分别为：， ， ， ， ， ；4141， ， 1 ，（2）当 时，显然 ，此时方程 无解，即 ，解得 ；PQ230xb2(3)40b94当 时，假设 能成为 的一个子集，对
26、 中的元素逐一检验若 ，则有 是方程 的一个根，即 ，解得 ，此时44230xb2(4)28，因为 ，所以 ； 7P， QP若 ，则有 是方程 的一个根，即 ，解得 ，此时112x2(1)30b4，因为 ，所以 ； 4， 若 ，则有 是方程 的一个根，即 ，解得 ，此时 ，所以P230xb221 2P，12PQ所以当 时， 不能成为 的一个子集PQ综上可知，若 能成为 的一个子集，则 的取值范围是 b94b评析：处理与方程有关的集合问题时，不要忽略集合为空集即方程无解的情形四、巩固练习1设集合 P= ，Q= 对任意实数 x 恒成立 ，则下列关系中成立10mmR20x的是（ ）A B C DPQ
27、PQP分析：注意二次项系数的讨论 ； ，00m2已知集合 1，2， ， ，则集合 A，B，C 的关系是 A|BxA|x答案：B=1，2，C=1 ， 2，1 ，2， ，所以 A=B C3已知集合 ，且 为负实数 ，求实数 的取值范围2|10AxpxR， xp解析：A 集合是空集说明方程无解， ，即 ；A 集合非空说明方程有两个240p0p负根， ，即 所以 042p且0且4已知集合 ， ，且 ， ，求实数 的取|35x|14BxaBa值范围解析： ，所以： ，即 BA415a0五、课后练习：1已知 A ，B3xxa（1）若 B A，则 的取值范围是_；（2）若 A B，则 的取值范围是_aa答案
28、：（1） （2）2若 ， ， ，则|31nZ且|32BbnZ且|61CcnZ且A、B、C 的关系是 _13答案： CAB3设集合 A= ，B= ，且 A B，则实数 的取值范围是 23xx12kkk答案： ，21k1 2且4 已知三个集合 E= ，F= ，G= 问：同30x210xa230xb时满足 ， 的实数 a 和 b 是否存在？若存在，分别求出 a、b 所有值得集合，若不存在，请FEG说明理由分析：E= ，所以 F 有三种情况： 、 、 ；G 有四种情况： 、 、 、 所以：1 2且 121 2且、 或 注意空集！ab94集合第四课时（交并补）一、自我诊断1设集合 A= ，B= ，同时满
29、足下列条件：（）210.5xx且xab（） ，求 、 的值0AB3AB答案： ，a3b2设全集 ，集合 ， ，求 ， ， ，UR5xxABRAB， ， ， RRR答案： ；R； ；3 5且-3且3已知全集 1，2，3， 4，5 ，且 1，2， 4，5 ， ，求集合UUABUABAB和 AB答案：A=1，2，B=4 ，5二、问题讨论1、能用三种方式（符号、图形、集合）表示交、并、补吗？主要是 venn 图的应用参考：请学生上黑板写出交并补的三种语言2、请分别论述集合的常见性质 （用 venn 图来说明）（1） UUAB（2） （德摩根律） （通过自我诊断第 2 题能得出这两个结论）14（3） A
30、BA（4） （通过 venn 图来说明这两个性质）（5） CC（6） （集合交并的运算律教材第 29 页）ABA3、补集是两个集合的相对关系，补集还有哪些性质？参考：（A ） （A B）= ；（A ） （A B）=AUU三、例题分析例 1有 55 名学生，其中选修篮球的有 36 人，选修棒球的人比选修篮球的人多 4 个，另外这两种球类都选修的人数是都不选的人数的 4 倍求选修篮球又选修棒球的学生有多少人？解析：利用 venn 图寻找关系 x 4036 元元设两种球类都选修的人数是 x，则都不选的人数是 ，根据集合的性质可得：4x，解得： 36405x28例 2已知全集 ， ，如果 ，则这样的实
31、数 是否存在？31 Ux， ， 1 2Ax， 0UAx若存在，求出 ；若不存在，说明理由x分析：全集 中只有一个待定元素，依题意 ，所以 ，从而求得实数 032x解： ，0UCA ，且 ，即 ， 解得 ， ， 32x1x2132x当 时， ，与集合中元素的互异性矛盾；x12当 时， ，满足题意； 13x当 时， 满足题意xU这样的实数 存在，为 或 1x2评析：利用已知条件中的集合关系，构造关于 的方程，求出 后要代入集xx合中进行检验此题也可以根据题目提供的信息得到 且 ， ，即得方程组0UA315，解得 或 3201x1x2四、巩固练习1设 为全集，集合 ， ，且 ，则下列各式成立的是（
32、A ）UMUNA B C DNUMNUMN2已知 ， ， ，则 （ D ）R|0Ax|1BxABA B C D| |01x或3已知 ， 4，6，8 ， 1，5， 3()U()U()UAB，试求 ， ， *10xNx， ， AB解析： 1， 2，4，5，6，7，8，9 ，A 中有 3，1，5 无 4，6，8；B 中有 3，4，6，8 无()UAB1，5，所以 =2，7，94某班共 30 人，其中 15 人选修地理，10 人选修历史，8 人这两个学科都没有选修，求选修地理但是没有选修历史的学生人数解析：画出 venn 图，可知 12 人只选修地理 8 x 1015 元元五、课后练习1设 ，若 ，则
33、 =_IaAa2412， ， ， ， 1IAa分析： ，所以2a2有 50 名学生，参加了数学社的有 25 人，参加了物理社的有 32 人，求既参加数学社又参加物理社的人数的最大值和最小值解析：venn 图， 725x16x 3225 元元元元3025x3已知 U=1，2，3，4，5，6，7，8， 1，8， 2，6UABUAB=4，7，则集合 A= UAB解析：venn 图或 1，4，7，8 ， 2，4，6，7，故 A=1，3，5，8 UU4设集合 ， ，若 ，则 的取值范围_21xM0kxNMNk分析：M 是 N 的子集 k变式： ？ ， ？注意考察端点的情况0120x答案： ； k5 已知
34、全集 U=1，2，3，4，5，若 ， ， 1，2，试写出满足条件ABUUAB的 A、B 集合答案：画出 venn 图 1 2元元BA3，4，5 必在 B 集合中，其中至少有一个数在 A B 中A=1，2，3，B=3 ，4，5，或 A=1，2，4 ，B=3，4，5，或 A=1，2，5，B=3，4，5，或A=1，2，3，4，B=3 ，4， 5，或 A=1，2，3，5 ，B=3，4，5，或 A=1，2，4，5，B=3，4，5，或A=1，2，3，4，5，B=3 ， 4，5 集合第五课时（综合问题）一、自我诊断1、若 A、B、C 为三个集合， A B=B C，则一定有（ ）AA C BC A CA C
35、DA=17解析：A A B=B C C，所以选 A2定义集合 A B= ，若 A=1，3，5，7 ，B=2，3，5，则xB且（1）A B 的子集为_（2）A （A B）=_解析：（1）A B=1，7，子集是 ，1，7，1，7（2）A （A B）=3，53设集合 A= ，B= ，集合 C 中含有 3 个元素，且满足12x31xC B ，C （A B） Z，求集合 C解析：A B= ， （A B） Z= ， ，0，1，2，必有 ，所以 C= ， ，03x2221或 ， ，1或 ， ，2 或 ，0，1 或 ，0，2或 ，1，22121二、问题讨论1、创新试题中常常出现定义集合的新运算或者集合之间的新
36、关系请同学们列举出你见过的这些运算和关系参考：差集，理想配集 （教材第 46 页）设 1，2，3，4， 与 是 的子集，若 2，3，IABIAB则称 为一个“理想配集”，那么符合此条件的“ 理想配集 ”的个数是 （规定 与AB， ，是两个不同的“理想配集”），2、集合的关系与集合的运算常常混合在一起，我们需要突出集合语言，将问题转化为常见的关系请你举例说明你遇到的让你惊喜的转化参考： ，说明 ； ，说明 ABABAB三、例题分析例 1定义差集 A-B= x且（）A-B= ，则 A、B 之间是怎样的关系？（）A-（A-B）与集合 A B 是怎样的关系？（）A-（A-B）=B，则 A、B 之间是怎
37、样的关系？解析：（）A B；（）A-（A -B）=A B；（）B A例 2已知全集 1，2， 3，4，5 ， U2|540xUqxR，（1）若 ，求 的取值范围；q（2）若 中有四个元素，求 和 的值；UAUAq（3）若集合 中仅有两个元素，求 和 的值18分析：（1） 意味着 ，即方程 的无实数根或有实根但根不属于 ；UA2540xqU（2） 中有四个元素意味着集合 中有且只有一个元素，即A方程 有两个属于 的相等实根或有两个不相等实根且一个属于 两一个不属于 ；540xq（3）集合 中仅有两个元素意味着方程 有两个不相等实根，且都属于 2540xq解：（1） ， UA于是问题转化为：求 的
38、取值范围，使得方程 （*）无实数根，或有实数根时根q2x1，2，3，4，5x（i）若 ，即 时，方程 无实根，当然集合 中方程在全2()16045q2540qA集 中无实根U（ii）若 ，即 或 时，方程 有实根2(5)q2x将 代入方程（*）得 ，此时，方程（*）还有另一根 ；1x1q4将 代入方程 得 ，此时，方程（*）有且仅有一个实根 ；22540x5 2x将 代入方程（*）得 ，此时，方程（*）还有另一根 ；3x31q 3x将 代入方程（*）得 ，此时，方程（*）还有另一根 ；41将 代入方程（*）得 ，此时，方程（*）还有另一根 ，5x29545x综合（i） （ii）可得，使 的 的
39、取值范围是 且 UAq|qR3291 ， ， ，（2）因为 中有四个元素，所以集合 为单元素集合（有且只有一个元素的集合） ，即方程UA有两个属于 的相等实根或有两个不相等实根且一个属于 两一个不属于 540xq U由（1）知：当 时， ， 1，3，4，5 ；2UA当 时， ， 1，2，4，5 ；q315当 时， ， =1，2，3，4 29U（3）因为集合 中仅有两个元素，由（1）知 时， 1，4 ， 2，3，5A1qAU评析：顺利解决本题的关键是正确理解题意，等价转化问题同时要特别注意题中的全集为有限集四、巩固练习1定义集合运算：19AB ， A， B ，设集合 A=0，1 ，B= 2，3
40、，则集合 AB 的所有元素|zxyxy之和为_182设集合 M= ，N= ，且 M、N 都是 的子集，如果把34m3xn01x叫做集合 的“长度”，求集合 的长度的最小值baxab答案： 123设 A、B 是两个非空集合，定义集合 A+B= ，若 A=0，2，5，B=1，2，6，abAB且则 A+B 中元素的个数是 _解析：A+B=1，2，6，3，4，8，6，7，114设 A 是整数集的一个非空子集，对于 k，如果 1k且 ，那么 k是 A 的一个“孤立元”，给定 S=1， 2，3，4，5，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合是 答案：1，2，3；2，3，4；3，4，5
41、五、课后练习1设集合 I=1，2，3，4，5，A I，若把集合 M A=I 的集合 M 叫集合 A 的配集，则 A=1，2，4的配集是_解析：M 必有 3，5，其中 1，2，4 可任选，也可都不选3，5 ，3，5，1，3，5，2 ，3，5，4，3，5，1，2，3，5，1，4，3，5，2，4 ，3，5，1，2，42下列表述中错误的是（ C ）A若 ，则 B若 ，则BAABC D)()(UU3已知 ， ，求实数 的取值范围210xpxR且p剖析：集合 A 是方程 的解集，则由 ，可得两种情况：2AR（1）A= ，则由 ，得：404p（2）方程 无正实根则 或 （ ）210xpx220p120x于是 04设 A= | ， B= | ， A， C= | ， A且 BC=C，求实数x3ay310xz5x的取值范围a解析：B= ；C= ，因为 B C=C，所以 C B，所以 ，10y58za51830a解得 243a205设 ， ， ， ， 为自然数，A= ， ， ， ， ，B= ， ， ， ，1a234a51a234a
