1、行星运动（一）开普勒三定律以及万有引力定律二. 知识要点：（一）开普勒有关行星运动的三大规律：1. 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。2. 对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等。3. 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。其表达式为： kTR23，其中 R 是椭圆的轨道的半长轴， T 是行星绕太阳公转的周期，k 是一个与行星无关的常量。（二）万有引力定律：1. 内容：自然界中任何两个物体都是互相吸引的。两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。2. 公式： 21rmGF。其中 21/
2、067.kgmN，称为万有引力恒量。3. 万有引力定律的适用条件：万有引力定律适用于计算质点间的引力，具体有以下三种情况：（1）两个物体间的距离远远大于物体本身的尺度，两物体可视为质点，例如：行星绕太阳的旋转（2）两个均匀的球体间，其距离为两球心的距离（3）一个均匀的球体与一个形状、大小均可忽略不计的物体即质点之间，其距离为质点与球心的距离。4. 发现万有引力定律的重要意义：它把地面上物体的运动和天体运动的规律统一起来，第一次揭示了自然界中一种基本的相互作用力，使人们解放了思想，树立了认识宇宙自然规律的信心。（三）引力常量的测定：卡文迪许扭秤实验（四）万有引力和重力：重力是万有引力产生的，由于
3、地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要的向心力。重力实际上是万有引力的一个分力。另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力 向F不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度 g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大。通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即 212RmGg，21RGmg常用来计算星球表面重力加速度的大小。在地球的同一纬度处， 随物体离地面高度的增大而减小，即 21)(hRGmg。在赤道处，物体的万有引力分解的两个分力 向F和gm2刚好在一条直线上，则有： gmF2向 所以RmGF2212
4、自向 因地球自转角速度很小，RmG221自所以212Rg。（五）对万有引力定律的理解：1. 万有引力的普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量物体之间的基本的相互作用之一，任何客观存在的两部分有质量的物体之间都存在着这种相互作用力。2. 万有引力的相互性：两个物体相互作用的引力，是一对作用力和反作用力。它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。3. 万有引力的特殊性：两个物体间的万有引力，只与他们本身的质量和距离有关，和所在的空间的性质无关，和周围有无其它物体的存在无关。三. 疑难辨析： 1. 既然任何两个物体间都存在引力，为什么当放在水平地面上的木块 A 和木块 B 很接近时，它们并
5、没有吸在一起？答：由于木块的质量相对于地球的质量而言非常小，因此两木块很接近时尽管距离不大，但它们间的引力相对于地球对木块 A 和地球对木块 B 的引力而言是微乎其微的，不足以克服地面对木块的最大静摩擦力，两木块不能吸在一起。2. 由万有引力定律公式 21rmGF可知，当 0r时， F。这个结论对吗？答：这个结论不对！万有引力定律公式 21r只适用于求两个质点（或两个物体均可视为质点）之间的万有引力（若两个物体不能视为质点，则要将它们分割成许多小块（质点） ，然后用此式去计算每一对小块间的引力，最后将其中一个物体所受的各个引力进行矢量合成） 。既然 0r，就不能将两个物体视为质点了！我们不能将
6、物理问题纯数学化！3. 图 1 中，A、B 均为匀质实心球，质量分别为 Am和 B，半径分别为 Ar、 B，两球面的最近距离为 r， 虽大于 Ar和 B，但两球半径均不可忽略，怎样求 A、B 两球间万有引力的大小？（引力常量为 G）图 1答：两个匀质实心球间的万有引力等效于把两球体的质量分别集中于各自的球心的质点间的万有引力。A、B 间万有引力的大小为 2)(BArmGF。4. 一质量分布均匀、粗细均匀、半径为 、质量为 的细圆环竖直放置。若在环心 O 的正上方挖一小缺口（对应的弧长为 l） ，如图 2 所示，则其余部分对置于环心 O 处的质量为 m的质点的引力是多大？方向如何？（引力常量为
7、G）.r图 2答：若是完整的细圆环（不挖小缺口） ，因为同一直径两端处的关于 O 对称的两小段圆弧对置于 O 处的质点的引力等大反向，所以整个圆环对置于 O 处的质点的引力为零。显然，在环心 O 的正上方挖去一小缺口（对应的弧长为 l，对应的质量为 m）后，圆环的剩余部分对置于 O 处的质点的引力方向竖直向下，大小为 322)(rmlGrlmrGF。5. 在地球表面的物体所受的重力是否等于地球对该物体的引力？答：严格地讲，除在两极外，地球表面的物体所受的重力不等于地球对该物体的引力，因为地球在不停地自转，除在两极外，地面上的一切物体随地球做圆周运动，这些圆周平面垂直于地轴而和纬线相合。某物体随
8、地球做圆周运动所需的向心力由地球对该物体引力的一个分力来提供，地球对该物体引力的另一个分力等于该物体所受的重力。例如图 3 中放在 P 处的物体所受的重力 重G等于地球对它的引力 引F与它随地球自转所需向心力 向F的矢量差（说明：若物体在赤道上，则 向引重 ，由于 向 与 引 同向，且 向引 ） 。图 3需要指出，某物体所受的重力与地球对该物体的引力的差值是很小的。以需要向心力最大的赤道上的物体为例，通过有关计算表明，该物体需要的向心力仅为地球对它的引力的 0.34%，即重力为引力的 99.66%。同学们可以计算一下。有兴趣的同学还可想象，假如地球自转的角速度增大，大到某一数值，使赤道上某物体
9、需要的 向F等于 引 ，那么该物体将要 “漂浮”起来！【典型例题】1. 计算物体间的万有引力例 1 一个物体在地球表面所受的重力为 0G，则在距地面高度为地球半径的 2 倍时，所受的引力为（ ）A. 20GB. 30C. 40D. 90解析：当物体在地球表面时有： 20RmMG当物体在距地面高度为地球半径的 2 倍时有： 2)3(由、解得： 90G故正确的选项为 D。例 2 如图所示，一个半径为 R、质量为 M 的均匀球体，紧贴球的边缘挖去一个半径为2R的球形空穴后，对位于球心和空虚中心连线上、于球心相距 d的质点 m的引力是多大？解析：完整的均匀球体对球外质点 m的引力为 2dMGF，这个引
10、力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力 1F，与半径为 2R的小球对质点的引力 2F之和，即21F。设半径为R的小球质量为 M，则834)2(MR222 )(8)(RdmGdF所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点 m的引力：222221 )(87)( Rd点评：有的同学认为，应先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，引用万有引力公式求解，事实上这是不正确的。因为计算万有引力的公式 21rmGF，只能适用于两个质点或均匀的球体，挖去球穴后的剩余部分已不再是均匀球了，所以不能直接使用公式 21rmGF计算引力。本题巧妙地利用了“填补法”将万有引力的计算转化，使它符
11、合公式的适用条件。2. 计算地球（或星球）表面的重力加速度 例 3 设地球表面的重力加速度为 0g，物体在距地心 04R（ 是地球半径）处，由于地球的作用而产生的重力加速度 ，则： 0为（ ）A. 1 B. 9 C. 41D. 6解析：由 2rmMGg得： 2rg所以：16)4(200RGMg，故正确的选项为D。3. 计算物体对地球表面的压力例 4 地球质量 kg241098.5，半径 m6137.，试计算 kg0.1的物体分别在地球的北极及赤道地面上时对地面的压力。解析：由于北极在地球的自转轴上，物体在此处不需要向心力，所以地面对物体的支持力 1NF等于地球对物体的万有引力。故NRMmG83
12、.9)1037.6(98.5.26421 根据牛顿第三定律，物体对地面的压力 NF与地面对物体的支持力 1F大小相等，方向相反。即 FN8.91，方向沿半径之向地球的球心。由于地球的自转，在赤道上的物体需要有一个向心力，而这个向心力是由于物体受到的合外力来提供，而物体在赤道上受到万有引力 F 和地面对物体的支持力 2N作用，由RTmFN224得：RTmMGFN2224，代入数值，计算得到 83.92F79.03.，所以，在赤道上物体对地面的压力大小为 79.，方向沿半径指向地球球心。 4. 计算地球（或星球）的质量或平均密度例 5 地核的体积约为整个地球体积的 16%，地核的质量约为地球质量的
13、 34%，经估算，地核的平均密度为 kg/m3。 （结果取两位有效数字，引力常量21/07.6kgmNG，地球半径 mR6104.）解析：题目中将地核的体积和质量联系起来，本身就对解题思路做了明显的提示，即先求地球的密度，再求地核的密度，由于此题是估算，可以利用地球表面的重力加速度与地球的质量、半径的关系求出地球的质量，进而确定地球的密度，由 2rmMGg的地球的平均密度为RGgVM432，代入数据得 3/105.mkg，据题设得34.01，16.，由 Vm得：34.21，则地核的平均密度为31/2.kg。【模拟试题】1. 人们对天体运动的认识有“地心说”和“日心说”两种，下列叙述中正确的是（
14、 ）A. 太阳东升西落的现实，说明 “地心说”是有科学道理的B. “日心说”否定了“地心说 ”是科学的，因此“日心说”是完美的学说C. “日心说”是人类认识自然过程中的又一进步，但也存在一定的缺陷D. 以上说法均不正确2. 下列事例中，不是由万有引力起决定作用的物理现象是（ ）A. 月亮总是在不停地绕着地球转动B. 地球周围包围着稠密的大气层，它们不会散发到太空去C. 潮汐D. 把许多碎铅块压紧，就成一块铅块3. 好多科学家认为，在冥王星的外面存在太阳系的第十颗行星，假如第十颗行星真的存在，关于第十颗行星的下列判断，肯定正确的是（ ）A. 自转周期一定比地球大B. 公转周期一定比地球大C. 质
15、量一定比地球大D. 密度一定比地球大4. 已知下面哪组数据可以计算出地球的质量 地M（引力常数 G 为已知） （ ）A. 月球绕地球运动的周期 1T及月球到地球中心的距离 1RB. 地球“同步卫星”离地面的高度 hC. 地球绕太阳运行的周期 2及地球到太阳中心的距离 2D. 人造地球卫星在地面附近的远行速度 v和运行周期 3T5. 下列说法中正确的是（ ）A. 总结出关于行星运动三条定律的科学家是开普勒B. 总结出万有引力定律的物理学家是伽俐略C. 总结出万有引力定律的物理学家是牛顿D. 第一次测量出万有引力常量的物理学家是卡文迪许6. 对万有引力定律表达式 21rmGF，下列说法正确的是（
16、）A. 公式中 F 应理解为 1、 所受引力之和B. 公式中 G 为引力常量，它是由实验测得的C. 当 r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大D. 1m、 2受到的引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力7. 假设地球自转加快，则仍静止在赤道附近的物体变大的物理量是（ ）A. 地球的万有引力 B. 自转向心力C. 地面的支持力 D. 重力8. 设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，月球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比（ ）A. 地球与月球间的万有引力将变大B. 地球与月球间的万有引力将变小C. 月球绕地球运动的周期将变长D. 月球
17、绕地球运动的周期将变短9. 某天体半径是地球半径的 K 倍，密度是地球的 P 倍，则该天体表面的重力加速度是地球表面重力加速度的（ ）A. 2PK倍 B. 倍 C. 倍 D. 2倍10. 假设火星和地球都是球体，火星的质量 火M与地球质量 地 之比pM地火；火星的半径 火R与地球的半径 地R之比qP地火，那么火星表面的重力加速度 火g与地球表面处的重力加速度 地g之比 地火为（ ）A. 2qpB. 2q C. pD. q11. 在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说” ，这种学说认为万有引力常量 G 在缓慢地减小。根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比（
18、 ）A. 公转半径 r较大 B. 公转周期 T 较小C. 公转速率 v较大 D. 公转角速度 较小12. 两个质量都为 kg1的小球，当它们相距 m1时，它们之间的万有引力为 N。13. 某行星的半径是地球半径的 4 倍，质量是地球的 48 倍，那么该行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的 倍。14. 如果地球自转速度加快可以使赤道上的物体克服地球引力而脱离地面飘浮起来，这时地球自转的最大周期 T= （地球半径为 R，地面重力加速度为 g） 。15. 地球表面重力加速度为 g，在离地面高 h处的重力加速度 g（已知地球半径为 R）16. 已知火星的半径是地球半径的 21，火星的质量是地球质
19、量的 10。如果地球上质量为kg60的人到火星上去，则可知，此人在火星表面的质量为 kg，重力是 N；在火星表面由于火星的引力产生的加速度大小为 m/s2，在地面上可举质量 kg6杠铃的人，到火星上用同样的力可举的质量为 kg。 （地球表面重力加速度为 2/10sm）17. 中子星是由密集的中子组成的星体，具有极大的密度。通过观察已知某中子星的自转速度 srad/60，该中子星并没有因为自转而解体，根据这些事实人们可以推知中子星的密度。试写出中子星的密度最小值的表达式为 ，计算出该中子星的密度至少为 kg/m3。 （假设中子通过万有引力结合成球状星体，保留 2 位有效数字）18. 在某星球上，
20、宇航员用弹簧称得质量为 m的砝码重为 F，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行，测得其环绕周期是 T。根据上述数据，试求该星球的质量。19. 一行星与地球运动情况相似，此行星一昼夜为 hT6，若弹簧秤在其赤道上比两极处测同一物体的重力时读数小了 10%，则此行星的平均密度多大？（ 21/067.kgNG）【试题答案】1. C 2. D 3. B 4. AD 5. ACD 6. B 7. B 8. BD 9. C10. A 11. BC 12. 1067. 13. 3 14. gR/2 15. 2)(h16. 60，240，4，150 17. G432， 14. 18. 3416GmTFM19. 3/10.3mkg
