1、第十六章 勒让德常数1. 勒让德方程： 2110dyxly2. 勒让德方程级数形式为： （若 为偶数，2 202!lk lkl lkkPxxl l；若 为奇数， ）2ll12l3. 勒让德多项式的表达式： 0Px1Px2213Px33152Px4. 勒让德多项式的微分形式（罗德里格斯表示式）： 21!lllldxx5. 勒让德多项式的积分形式（拉普拉斯积分表示式）：利用积分，可以证明 2011cosllPxxd lP,证明： 222220 0 01(1)cossinol l ll i xdxcd 1d6. 勒让德多项式的生成函数： 20,1lGrxrPxr1r1201, llGrxPr17.
2、奇偶性： 当 为偶数时， 是偶数；当 为奇数时，llPxllPxl是奇函数。lx特殊值： ， ； 1l1ll当 为奇数时， ，当 为偶数时， l0lPl221!0lllP或 ， 210kP221!()kk其中 ， ()!64AA!21531kAA8. 正交性： 其中， ， ； ，12,nlnlxdN ,nl()l,0nl()l证明：因为 210l lPx1nnxPd上述两式相减，并且在 区域上对 x 积分，得：,12 211nll ndPxPxxdd 1lnl因为上面等式左边的积分值为 2 10nllnxPxx所以，当 时，nl10lnPd当 时，21l lxN补充例题：证明当 时，mmn证明
3、： 01xcPxcPx11mn mnx 011 ncxcxc=0+0+0=09. 模： 122llNPdl10.勒让德多项式的递推公式：（1） 11llllxxx(2) 2l llP(3) 1lllPxx例题： ，则2f 2012fcxcPx因为 ，是偶函数，所以 。于是2fx10c202xcPx再将 的具体形式代入上式lP20231xA然后比较 x 的同次幂的系数，即 ， ，解得 ，021c2c23c01补充例题1. 以勒让德多项式为基，在 区间上把 展开为广义傅里叶级数。,34fx解： 是三次多项式，设它表示为fx33 23010 12435nf cPxcxcxAA2302135c比较同次
4、幂得： ， ， ， ，0415c2034c则 32xPxPx2. 将函数 展开为勒让德多项式 的形式coscosn解：用直接展开法，令 ，则由sx22cos1x已知 ，01Px2213P可设 ，考虑到勒让德函数的奇偶性，显然偶函数，201cxc，则 ，比较系数得： ，1c2xA243c01所以 2024os2133Pxx11.连带勒让德方程：221 0dymlyx1x12.因为当 是正整数时，勒让德方程的通解为l 12llycPQ所以连带勒让德方程的通解应为 ，其中mllxx，第一类连带勒让德函数21mml ldPxPxl，第二类连带勒让德函数21mml ldQxQxml13.球谐函数方程：
5、21sin10isiYlY14.球谐函数： 2!,1cos4()mm mil llYPe15.应用例题 1.半径为 a 的球面上电势分布为 ，确定球内空间的电势 u.2csfA解：定解问题为： 0,ura2orauf定解问题有轴对称性，相应的半通解为 10cslllBrP球内解要求 有界，半通解化为0,u0oslluA由边界条件得： 20llAxaPx根据完备性： ,得12kkkd02,3Aa最终得所求问题的通解为 1202l klurPxAxa221cosra例题 2. 半径为 a 的球面上电势分布为 ，确定球外空间的电势 u.2fA解：定解问题为： 0,uracosrau定解问题有轴对称性
6、，相应的半通解为 10cslllBrP球外解要求 有界，半通解化为0,u10ollu由边界条件得： 210llAxBaPx根据完备性： ，得 ,12kk kd 3012,3AaAaBB最终：31221cosAaurr例题 3.一空心圆球区域，内半径为 a，外半径为 b，内球面上电势为 ，外球面上cosf电势为零，确定区域内电势 u.解：定解问题为： 0,urcos,0rarbu定解问题有轴对称性，相应的半通解为 10coslllABP由边界条件得： 10lllxAaBPx 10lllbx根据完备性： 1,1lll10llb223113,aABba10llAB特解为2233cosurr例题 4. 半径为 a 的导体球面附近电场分布为 ，确定球外空间的电势 u.cosfA解：定解问题为： 0,urarau定解问题有轴对称性，相应的半通解为 10coslllBrP球外解要求 有界，半通解化为0,u10llu由边界条件得： 20(1)llAxBaPx根据完备性： 311,2lB特解化为： cosuar
