1、8.4 直线、平面平行的判定和性质,高考文数 (北京市专用),考点 直线、平面平行的判定和性质 1.(2012北京,16,14分)如图1,在RtABC中,C=90,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上 的一点.将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如图2. (1)求证:DE平面A1CB; (2)求证:A1FBE; (3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C平面DEQ?说明理由.,A组 自主命题北京卷题组,五年高考,解析 (1)证明:因为D,E分别为AC,AB的中点, 所以DEBC. 又因为DE平面A1CB, 所以DE平面A1CB. (2)证明:由已知得ACBC且DEBC,
2、所以DEAC. 所以DEA1D,DECD. 因为A1DCD=D,所以DE平面A1DC. 而A1F平面A1DC, 所以DEA1F. 又因为A1FCD,CDDE=D, 所以A1F平面BCDE. 所以A1FBE. (3)线段A1B上存在点Q,使A1C平面DEQ.理由如下:,如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,连接PQ,则PQBC. 又因为DEBC, 所以DEPQ. 所以平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知,DE平面A1DC, 所以DEA1C. 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点, 所以A1CDP. 所以A1C平面DEP. 即A1C平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q,使得A1C平面D
3、EQ.,评析 本题的前两问属容易题,第(3)问是创新式问法,可以先猜后证,此题对于知识掌握不牢 靠的学生而言,可能不能顺利解答.,2.(2015北京,18,14分,0.89)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形, ACBC且AC=BC= ,O,M分别为AB,VA的中点. (1)求证:VB平面MOC; (2)求证:平面MOC平面VAB; (3)求三棱锥V-ABC的体积.,解析 (1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点, 所以OMVB. 又因为VB平面MOC, 所以VB平面MOC. (2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点, 所以OCAB. 又因为平面VAB平
4、面ABC,平面VAB平面ABC=AB,且OC平面ABC, 所以OC平面VAB. 因为OC平面MOC, 所以平面MOC平面VAB. (3)解法一:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC= , 所以AB=2,OC=1. 所以等边三角形VAB的面积SVAB= . 又因为OC平面VAB,思路分析 (1)在ABV中,利用中位线定理有OMVB,由此证明VB平面MOC. (2)先证OCAB,再由平面VAB平面ABC证得OC平面VAB,由此证明平面MOC平面VAB. (3)解法一:通过三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,计算求解.解法二:直接求解V -ABC的体积.,评析 本题主要考查直线与平面
5、、平面与平面的位置关系的判定,以及几何体体积的求解,考 查学生空间想象能力和逻辑推理能力.,3.(2014北京,17,14分,0.86)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2, BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点. (1)求证:平面ABE平面B1BCC1; (2)求证:C1F平面ABE; (3)求三棱锥E-ABC的体积.,解析 (1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC. 所以BB1AB. 又因为ABBC,BB1BC=B, 所以AB平面B1BCC1.又因为AB平面ABE, 所以平面ABE平面B1BCC1. (2)证明:取AB的
6、中点G,连接EG,FG. 因为E,F分别是A1C1,BC的中点, 所以FGAC,且FG= AC. 因为ACA1C1,且AC=A1C1, 所以FGEC1,且FG=EC1.,所以四边形FGEC1为平行四边形. 所以C1FEG. 又因为EG平面ABE,C1F平面ABE, 所以C1F平面ABE. (3)因为AA1=AC=2,BC=1,ABBC, 所以AB= = , 所以SABC= 1 = . 所以三棱锥E-ABC的体积 V= SABCAA1= 2= .,思路分析 (1)欲证平面ABE平面B1BCC1,利用判定定理,只需证明平面ABE内的直线AB与平 面B1BCC1垂直,即只需证明AB与平面B1BCC1
7、内的两条相交直线垂直,利用直棱柱的性质和直角 三角形可证. (2)欲证C1F平面ABE,只需在平面ABE内找到一条直线与C1F平行即可,取AB的中点G,利用平 行四边形可证明C1FEG. (3)在直角三角形中求出边AB的长,进而得到ABC的面积,易求三棱锥E-ABC的体积.,易错警示 在证明C1F平面ABE时,易出现不写“EG平面ABE,C1F平面ABE”的错误,从 而失分.,评析 本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系及其判定定理与性质定理的应用,考查 空间几何体的体积的计算,考查考生的空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力.判定线面 平行的关键是构造线线平行或面面平行.,考点 直线、平
8、面平行的判定和性质 1.(2017课标全国,6,5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在 棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是 ( ),B组 统一命题、省(区、市)卷题组,答案 A 解法一:B选项中,ABMQ,且AB平面MNQ,MQ平面MNQ,则AB平面MNQ;C 选项中,ABMQ,且AB平面MNQ,MQ平面MNQ,则AB平面MNQ;D选项中,ABNQ,且AB 平面MNQ,NQ平面MNQ,则AB平面MNQ.故选A. 解法二:A选项中(如图),连接CB交MN于D,连接DQ,则平面MNQ与平面ABC的交线为DQ,在 ABC中,Q为AC的中点
9、,而点D为CB的四等分点,所以AB与DQ不平行,从而可知AB与平面MNQ 不平行,故选A.,2.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是 ( ) A.若m,n,则mn B.若m,n,则mn C.若m,mn,则n D.若m,mn,则n,答案 B 若m,n,则m与n可能平行、相交或异面,故A错误;B正确;若m,mn,则n 或n,故C错误;若m,mn,则n与可能平行、相交或n,故D错误.因此选B.,3.(2018课标全国,19,12分)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧 所在平面垂直,M是 上异 于C,D的点. (1)证明:平面AMD平面BMC; (2)在线段
10、AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理由.,解析 本题考查平面与平面垂直的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质. (1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面 CMD,故BCDM. 因为M为 上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM. 又BCCM=C,所以DM平面BMC. 而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC. (2)当P为AM的中点时,MC平面PBD. 证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所 以MCOP. MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.,易错
11、警示 使用判定定理和性质定理进行推理证明时要使条件完备.,4.(2018江苏,15,14分)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1. 求证:(1)AB平面A1B1C; (2)平面ABB1A1平面A1BC.,证明 本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象 能力和推理论证能力. (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1. 因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C, 所以AB平面A1B1C. (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1=AB,所以四边形ABB
12、1A1为菱形, 所以AB1A1B. 因为AB1B1C1,BCB1C1, 所以AB1BC. 又因为A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC, 所以AB1平面A1BC, 又因为AB1平面ABB1A1, 所以平面ABB1A1平面A1BC.,5.(2016课标,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA= BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点. (1)证明MN平面PAB; (2)求四面体N-BCM的体积.,解析 (1)证明:由已知得AM= AD=2, 取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TN=
13、 BC=2. (3分)又ADBC,故TNAM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT. 因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB. (6分) (2)因为PA平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为 PA. (9分) 取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AEBC,AE= = . 由AMBC得M到BC的距离为 ,6.(2016山东,18,12分)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EFDB. (1)已知AB=BC,AE=EC,求证:ACFB; (2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH平面ABC.,故SBCM= 4 =2 . 所以四面体N-BC
14、M的体积VN-BCM= SBCM = . (12分),评析 本题考查了线面平行的判定,考查了三棱锥的体积,考查了空间想象能力.线段的中点问 题一般应用三角形的中位线求解.,证明 (1)因为EFDB, 所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE. 因为AE=EC,D为AC的中点,所以DEAC. 同理可得BDAC. 又BDDE=D,所以AC平面BDEF, 因为FB平面BDEF,所以ACFB. (2)设FC的中点为I.连接GI,HI. 在CEF中,因为G是CE的中点, 所以GIEF.又EFDB,所以GIDB.,在CFB中,因为H是FB的中点,所以HIBC. 又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.
15、因为GH平面GHI,所以GH平面ABC.,思路分析 第(1)问连接DE,利用等腰三角形的性质得ACDE,ACDB,从而得线面垂直,利用 线面垂直的性质得结论;第(2)问取FC的中点I,连接GI,HI,利用三角形的中位线得线线平行,从 而证面面平行,再利用面面平行的性质得出结论.,评析 本题主要考查线面垂直的判定与性质以及线面平行的判定与性质,考查学生的空间想 象能力和逻辑思维能力,同时考查转化与化归思想的应用.,7.(2016四川,17,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PACD,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD = AD. (1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM平面PAB,
16、并说明理由; (2)证明:平面PAB平面PBD.,解析 (1)取棱AD的中点M(M平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下: 连接CM.因为ADBC,BC= AD, 所以BCAM,且BC=AM. 所以四边形AMCB是平行四边形,从而CMAB. 又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM平面PAB. (说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明:连接BM,由已知,PAAB,PACD, 因为ADBC,BC= AD,所以直线AB与CD相交, 所以PA平面ABCD.从而PABD.,因为ADBC,BC= AD, 所以BCMD,且BC=MD. 所以四边形BCDM是平行四边形
17、. 所以BM=CD= AD,所以BDAB. 又ABAP=A,所以BD平面PAB. 又BD平面PBD,所以平面PAB平面PBD.,思路分析 (1)要得到CM平面PAB,可以先猜出M点所在位置再证明. (2)由已知的线线垂直想到线面垂直,再证面面垂直.,评析 本题考查了直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定和性质及面面垂直的判定, 熟练掌握线面平行与线面垂直的判定与性质是解题的关键.,8.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4, AB=6,BC=3. (1)证明:BC平面PDA; (2)证明:BCPD; (3)求点C到平面PDA
18、的距离.,解析 (1)证明:因为四边形ABCD是长方形, 所以ADBC. 又因为AD平面PDA,BC平面PDA, 所以BC平面PDA. (2)证明:取CD的中点,记为E,连接PE, 因为PD=PC,所以PEDC. 又因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCD=DC,PE平面PDC,所以PE平面 ABCD. 又BC平面ABCD,所以PEBC. 因为四边形ABCD为长方形,所以BCDC. 又因为PEDC=E,所以BC平面PDC. 而PD平面PDC,所以BCPD. (3)连接AC.由(2)知,BCPD,又因为ADBC,所以ADPD,所以SPDA= ADPD= 34=6. 在RtPDE中,PE
19、= = = .,SADC= ADDC= 36=9. 由(2)知,PE平面ABCD,则PE为三棱锥P-ADC的高. 设点C到平面PDA的距离为d, 由VC-PDA=VP-ADC,即 dSPDA= PESADC, 亦即 6d= 9,得d= . 故点C到平面PDA的距离为 .,评析 本题考查了线面平行、线线垂直的判定以及体积和距离的计算方法;考查了空间想象 能力和逻辑推理能力.利用平面与平面垂直的性质定理是求解的关键.,9.(2014山东,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,AP平面PCD,ADBC,AB=BC= AD,E,F分别 为线段AD,PC的中点. (1)求证:AP平面BEF; (2)
20、求证:BE平面PAC.,证明 (1)设ACBE=O,连接OF,EC. 由于E为AD的中点, AB=BC= AD,ADBC, 所以AEBC,AE=AB=BC, 因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点. 又F为PC的中点,因此在PAC中,可得APOF. 又OF平面BEF,AP平面BEF,所以AP平面BEF. (2)由题意知EDBC,ED=BC, 所以四边形BCDE为平行四边形, 因此BECD.又AP平面PCD,所以APCD, 因此APBE.因为四边形ABCE为菱形,所以BEAC. 又APAC=A,AP,AC平面PAC, 所以BE平面PAC.,考点 直线、平面平行的判定和性质 1.(2016课
21、标,11,5分)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD= m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为 ( ) A. B. C. D.,C组 教师专用题组,答案 A 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.将正方体ABCD-A1B1C1D1补成棱长为2a的正方 体,如图所示.正六边形EFGPQR所在的平面即为平面.点A为这个大正方体的中心,直线GR为 m,直线EP为n.显然m与n所成的角为60.所以m,n所成角的正弦值为 .故选A.,疑难突破 通过补体,利用正方体的性质,再根据线面平行的判定和性质画出平面,进而找到 直线m和n是解题的突破口.
22、评析 本题考查了直线与平面的平行和平面与平面的平行的判定和性质,考查了空间想象能 力.通过补体,利用正方体的性质找到直线m和n是求解的关键.,2.(2014安徽,19,13分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2 , 点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH平面ABCD,BC平面GEFH. (1)证明:GHEF; (2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.,解析 (1)证明:因为BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH,所以GH BC.同理可证EFBC,因此GHEF. (2)连接AC,BD交于点O,BD交EF
23、于点K,连接OP,GK.因为PA=PC,O是AC的中点,所以POAC,同理可得POBD. 又BDAC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD,且 PO平面GEFH, 所以PO平面GEFH.,因为平面PBD平面GEFH=GK, 所以POGK,且GK底面ABCD, 从而GKEF. 所以GK是梯形GEFH的高. 由AB=8,EB=2得EBAB=KBDB=14, 从而KB= DB= OB,即K为OB的中点. 再由POGK得GK= PO,即G是PB的中点,且GH= BC=4. 由已知可得OB=4 ,PO= = =6, 所以GK=3. 故四边形GEFH的面积S=
24、GK= 3=18.评析 本题考查线面平行与垂直关系的转化,同时考查空间想象能力和逻辑推理能力,解题时 要有较强的分析问题、解决问题的能力.,3.(2017浙江,19,15分)如图,已知四棱锥P-ABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC AD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点. (1)证明:CE平面PAB; (2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.,解析 本题主要考查空间点、线、面的位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查 空间想象能力和运算求解能力. (1)证明:如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EFAD且EF
25、= AD. 又因为BCAD,BC= AD,所以EFBC且EF=BC, 即四边形BCEF为平行四边形,所以CEBF, 因此CE平面PAB.(2)分别取BC,AD的中点为M,N. 连接PN交EF于点Q,连接MQ.,考点 直线、平面平行的判定和性质 1.(2016北京朝阳期末,11)给出四个命题: 平行于同一平面的两个不重合的平面平行; 平行于同一直线的两个不重合的平面平行; 垂直于同一平面的两个不重合的平面平行; 垂直于同一直线的两个不重合的平面平行. 其中真命题的序号是 .,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,答案 ,解析 若,则,即平行于同一平面的两个不重合的平面平行,故正确;
26、 若a,a,则与平行或相交,故错误; 若,则平面与平行或相交,故错误; 若a,a,则与平行,故正确. 故真命题为.,2.(2018北京海淀期末,18)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1底面ABC,ACAB,AC=AB= AA1=2,AA1B1=60,E,F分别为棱A1B1,BC的中点. (1)求证:ACAE; (2)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积; (3)在直线AA1上是否存在一点P,使得CP平面AEF?若存在,求出AP的长;若不存在,说明理由.,解析 (1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧面ABB1A1底面ABC,ACAB, 又因为侧面ABB1A1底面ABC=
27、AB,AC底面ABC, 所以AC平面ABB1A1,又因为AE平面ABB1A1, 所以ACAE. (2)连接AB1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=AB, 因为AB=AA1=2,所以A1B1=AA1=2. 又因为AA1B1=60, 所以AA1B1是边长为2的正三角形. 因为E是棱A1B1的中点,所以AEA1B1, 又因为AEAC,A1C1AC,所以AEA1C1. 因为A1C1A1B1=A1,A1C1,A1B1底面A1B1C1, 所以AE底面A1B1C1. 所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积,V= AE= A1B1A1C1AE= 22 =2 . (3)在直线AA1上存在点P,使得CP平
28、面AEF. 证明如下:连接BE并延长,与AA1的延长线相交,设交点为P.连接CP. 因为BB1AA1,所以A1PEB1BE, 故 = = . 因为E为棱A1B1的中点,所以EA1=EB1,故有A1P=B1B. 又E为棱A1B1的中点,F为BC的中点, 故EF为BCP的中位线,所以EFCP. 又EF平面AEF,CP平面AEF, 所以CP平面AEF. 故在直线AA1上存在点P,使得CP平面AEF. 此时A1P=BB1=2,AP=2AA1=4.,试题分析 (1)根据侧面ABB1A1底面ABC,ACAB可证得结论;(2)由条件可证AE底面A1B1 C1,则V= AE=2 ;(3)连接BE并延长,与AA
29、1的延长线相交,设交点为P,证线线平行,进而得 到线面平行.,3.(2018北京东城期末,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,PAD是等边三角形,E为AD的中点,四边 形ABCD为直角梯形,ABCD,ABAD,ABAP,CD=AD=2AB=2. (1)求证:平面PAB平面PAD; (2)求四棱锥P-ABCD的体积; (3)在棱PB上是否存在点M,使得EM平面PCD?说明理由.,解析 (1)因为ABAD,ABAP,ADAP=A, 所以AB平面PAD.因为AB平面PAB, 所以平面PAB平面PAD. (2)连接PE. 因为PAD为等边三角形,E为AD的中点,所以PEAD. 因为AB平面PAD,所以
30、ABPE. 因为ABAD=A,所以PE平面ABCD. 所以VP-ABCD= S梯形ABCDPE. 在等边PAD中,PE=PAsin 60= , S梯形ABCD= =3, 所以VP-ABCD= S梯形ABCDPE= 3 = . (3)棱PB上存在点M,使得EM平面PCD,此时点M为PB的中点. 取BC的中点F,连接 MF,ME,EF. 因为E为AD的中点,所以EFCD.,因为EF平面PCD,CD平面PCD, 所以EF平面PCD. 因为M为PB的中点, 所以MFPC. 因为MF平面PCD,PC平面PCD, 所以MF平面PCD. 因为MFEF=F, 所以平面MEF平面PCD. 因为ME平面MEF,所
31、以ME平面PCD.,试题分析 (1)已知ABAD,ABAP,根据线面垂直的判定定理可证明AB平面PAD,再利用 面面垂直的判定定理可得结论;(2)连接PE,因为PAD为等边三角形,E为AD的中点,所以PE AD.因为AB平面PAD,所以ABPE,由线面垂直的判定定理可得PE平面ABCD,即PE是四 棱锥P-ABCD的高,算出底面面积,利用棱锥的体积公式可得结果;(3)棱PB上存在点M,使得EM 平面PCD.利用线面平行的判定、面面平行的判定及性质可得结论.,4.(2018北京海淀二模,17)如图1,已知菱形AECD的对角线AC,DE交于点F,点E为AB的中点.将 三角形ADE沿线段DE折起到P
32、DE的位置,如图2所示. (1)求证:DE平面PCF; (2)求证:平面PBC平面PCF; (3)在线段PD,BC上是否分别存在点M,N,使得平面CFM平面PEN?若存在,请指出点M,N的位 置,并证明;若不存在,请说明理由.,5.(2018北京房山二模,18)如图,正六边形ABCDEF的边长为2,O为中心,G为AB的中点.现将四 边形DEFC沿CF折起到四边形D1E1FC的位置,使得平面ABCF平面D1E1FC,如图. (1)证明:D1F平面E1OG; (2)求几何体E1-OFAG的体积; (3)在直线AB上是否存在点H,使得D1H平面E1OG?如果存在,求出AH的长;如果不存在,请说 明理
33、由.图 图,解析 (1)证明:折叠前,连接OG.则OGCF, 折叠后,OGCF, 平面CD1E1F平面ABCF,平面CD1E1F平面ABCF=CF, OG平面CD1E1F. D1F平面CD1E1F,OGD1F. 连接OD1. 又O为CF的中点,OFD1E1, 又E1D1=E1F, 四边形E1D1OF为菱形. D1FOE1. OGOE1=O, D1F平面E1OG. (5分) (2)过E1作E1MFO,垂足为M.,6.(2017北京丰台一模,17)如图1,平行四边形ABCD中,ACBC,BC=AC=1,现将DAC沿AC折 起,得到三棱锥D-ABC(如图2),且DABC,点E为侧棱DC的中点. (1
34、)求证:平面ABE平面DBC; (2)求三棱锥E-ABC的体积; (3)在ACB的平分线上是否存在点F,使得DF平面ABE?若存在,求DF的长;若不存在,请说明 理由.,解析 (1)证明:在平行四边形ABCD中,AD=BC=AC,ADBC,因为ACBC,所以DAC=90.因 为E为侧棱DC的中点,所以AECD. 又因为ACBC,ADBC,且ACAD=A,所以BC平面ACD. 又因为AE平面ACD,所以AEBC. 因为BCCD=C,所以AE平面BCD, 又因为AE平面ABE,所以平面ABE平面BCD. (2)因为VE-ABC=VB-ACE,BC平面ACD,所以BC是三棱锥B-ACE的高, 故VB
35、-ACE= BCSACE. 因为BC=1,CD= ,AE= , 所以SACE= AE CD= = , 所以VE-ABC=VB-ACE= 1 = . (3)在ACB的平分线上存在点F,使得DE平面ABE. 取AB的中点O,连接CO并延长至点F,使CO=OF,连接AF,DF,BF,OE.,因为BC=AC,所以CO是ACB的平分线. 又因为点E是CD的中点,所以OEDF, 因为OE平面ABE,DF平面ABE, 所以DF平面ABE. 因为AB、FC互相平分, 所以四边形ACBF为平行四边形,BCAF. 又因为DABC,所以AFAD, 又因为AF=AD=1,故DF= .,思路分析 (1)由平面几何知识先
36、证AECD,再由线面垂直的判定定理可得BC平面ACD,从 而得AE平面BCD,最后由面面垂直的判定定理可得结论; (2)由等体积变换可得VB-ACE= BCSACE,进而可得结果; (3)取AB的中点O,连接CO并延长至点F,使CO=OF,连AF,DF,BF,OE,先证四边形ACBF为平行四 边形,则有BCAF,利用平面几何知识可得结果.,7.(2017北京朝阳二模,18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,ACB=90,AC=BC=1, AA1=2,D是棱AA1的中点. (1)求证:B1C1平面BCD; (2)求三棱锥B-C1CD的体积; (3)在线段BD上是否存在点Q,
37、使得CQBC1?请说明理由.,考点 直线、平面平行的判定和性质 1.(2018北京东城一模,18)如图,四边形ABCD为菱形,DAB=60,ED平面ABCD,ED=AD=2EF =2,EFAB,M为BC的中点. (1)求证:FM平面BDE; (2)求证:ACBE; (3)若G为线段BE上的点,当三棱锥G-BCD的体积为 时,求 的值.,B组 20162018年高考模拟综合题组,解析 (1)证明:设ACBD=O,连接EO,MO. 因为M,O分别是BC,BD的中点. 所以OMAB,且OM= AB, 又因为EFAB,且EF= AB, 所以EFOM,且EF=OM. 所以四边形EOMF为平行四边形. 所
38、以FMEO. 又因为EO平面BDE,FM平面BDE, 所以FM平面BDE. (5分) (2)证明:因为四边形ABCD为菱形, 所以ACBD. 因为ED平面ABCD, 所以EDAC. 因为BDED=D,2.(2018北京朝阳二模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,PBC是等腰三角形,且PB=PC=3.四边形 ABCD是直角梯形,ABDC,ADDC,AB=5,AD=4,DC=3. (1)求证:AB平面PDC; (2)当平面PBC平面ABCD时,求四棱锥P-ABCD的体积; (3)请在图中所给的五个点P,A,B,C,D中找出两个点,使得这两点所在直线与直线BC垂直,并给 出证明.,3.(2017北
39、京西城一模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA底面ABCD,PA= AC.过点A的平面与棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G(E,F,G三点均不在棱的端点处). (1)求证:平面PAB平面PBC; (2)若PC平面AEFG,求 的值; (3)直线AE是否能与平面PCD平行?证明你的结论.,解析 (1)证明:因为PA平面ABCD,所以PABC. 因为四边形ABCD为正方形,所以ABBC, 因为ABPA=A,所以BC平面PAB. 因为BC平面PBC,所以平面PAB平面PBC. (2)连接AF.因为PC平面AEFG,所以PCAF. 又因为PA=AC, 所以F是PC的中点
40、. 所以 = .,(3)直线AE与平面PCD不可能平行. 理由如下: 假设AE平面PCD. 因为ABCD,AB平面PCD,CD平面PCD, 所以AB平面PCD. 而AE,AB平面PAB,且ABAE=A, 所以平面PAB平面PCD,这显然矛盾. 所以假设不成立,即直线AE与平面PCD不可能平行.,思路分析 (1)根据面面垂直的判定定理易证. (2)根据线面垂直的性质及等腰三角形的性质可求 . (3)反证法:假设AE平面PCD,推出AB平面PCD,进而推出平面PAB平面PCD,得到矛盾.故 得证.,解后反思 本题考查了空间中的垂直与平行关系,熟练掌握相关定理是解题关键.,4.(2017北京朝阳一模
41、,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB平面ABCD,ADBC,PAAB, CDAD,BC=CD= AD,E为AD的中点. (1)求证:PACD; (2)求证:平面PBD平面PAB; (3)在平面PAB内是否存在M,使得直线CM平面PBE?请说明理由.,解析 (1)证明:因为平面PAB平面ABCD, 平面PAB平面ABCD=AB, 又因为PAAB,所以PA平面ABCD.则PACD. (2)证明:由题意知,BCED,且BC=ED, 所以四边形BCDE是平行四边形, 又CDAD,BC=CD,所以四边形BCDE是正方形, 连接CE,所以BDCE. 又因为BCAE,BC=AE, 所以四边形AB
42、CE是平行四边形. 所以CEAB,则BDAB. 由(1)知PA平面ABCD,所以PABD, 又因为PAAB=A,所以BD平面PAB, 又BD平面PBD,所以平面PBD平面PAB.,(3)在梯形ABCD中,AB与CD不平行,延长AB,DC,相交于点M(M平面PAB),点M即为所求的一 个点. 理由如下:由(2)知, 四边形BCDE是正方形,所以CDEB,即CMEB, 又EB平面PBE,CM平面PBE,所以CM平面PBE.,思路分析 (1)由平面PAB平面ABCD可得PA平面ABCD,即可证得PACD. (2)连接CE,由已知条件易证BDAB且PABD,从而得到BD平面PAB,即可证得平面PBD 平面PAB. (3)延长AB,DC,相交于点M,可证得CMEB,进而可证得CM平面PBE.,解后反思 本题考查点、直线、平面的位置关系,在证明过程中要根据相关定理的条件规范 表达.,5.(2016北京东城期末,18)如图,在四棱锥E-ABCD中,AEDE,CD平面ADE,AB平面ADE, CD=3AB. (1)求证:平面ACE平面CDE; (2)在线段DE上是否存在一点F,使AF平面BCE?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.,
