1、离散数学及算法（曹晓东，原旭版）课后作业题答案第一章 命题逻辑1第 7 页第 3 题（1）解：逆命题：如果我去公园，则天不下雨；反命题：如果天下雨，则我不去公园；逆反命题：如果我不去公园，则天下雨了。（2）解：（此题注意：P 仅当 Q 翻译成 ）P逆命题：如果你去，那么我逗留。反命题：如果我不逗留，那么你没去。逆反命题：如果你没去，那么我不逗留。（3）解：逆命题：如果方程 无整数解，那么 n 是大于 2 的正整数。nnxyz反命题：如果 n 不是大于 2 的正整数，那么方程 有整数解。nxyz逆反命题：如果方程 有整数解，那么 n 不是大于 2 的正整数。nz（4）解：逆命题：如果我不完成任务
2、，那么我不获得更多的帮助。反命题：如果我获得了更多的帮助，那么我能完成任务。逆反命题：如果我能完成任务，那么我获得了更多的帮助。2第 15 页第 1 题（4）解： ()PQT()()PQ（重言式）(（9）解： （重言式）F（10）解： （可满足式）PQTQ3第 16 页第 5 题（2）证明： ()P()PQF因此， ，得证。()PQF（4）证明： ()P()PF因此， ，得证。()()F4第 16 页第 6 题（1） PQ证明：设 为真，那么 P 为真，并且 Q 为真，因此 为真。所以P。（2） ()()()PQRR证明：设 为假，于是 为真， 为假。得 P 为真，Q 为PPQR真，R 为假。
3、于是得 为假，由 P 为真可得， 为假。因此，()。得证。()()()PQR（5） Q证明： ()()PTRQ因此， ，得证。()()PQR5补充：试证明()()()ACPCAPC证明： ()()QACP()()C()(PAQC因此， ，得证。()()()APAPQC6第 21 页第 1 题（2）解： ()()()PQQ()()0PP7第 21 页第 2 题（只求主析取范式）（4）解： ()()QSR()()(5,710)PRPPQSRPQSR8第 25 页第 3 题证明：（1） P 规则B（2） P 规则()AC（3） T 规则，(1)(2)（4） P 规则()（5） T 规则,(1)(4)
4、（6） T 规则(5)A（7） T 规则(3)()C（8） T 规则(6)(7)（9） T 规则(8)()AC因此， 是题目的有效结论， 不是。A9第 26 页第 7 题（a） (),PQRP证明：（1） P 规则（2） P 规则（3） T 规则（1） （2）（4） P 规则()PQ（5） T 规则（4）（6） T 规则（3） （5）（b） (),RS证明：（1） P 规则（2） P 规则（3） T 规则（1） （2）（4） P 规则()PQ（5） T 规则（3） （4）（6） T 规则（5）（c） (),PQRSP证明：（题目有问题）10第 26 页第 8 题（a） ,S证明： （1） P
5、P 规则（假设前提）（2） P 规则Q（3） Q T 规则（1） （2）（4） P 规则R（5） R T 规则（3） （4）（6） P 规则S（7） S T 规则（5） （6）（8） CP 规则（1） （7）P（b） ()PQP证明： （1） P P 规则（假设前提）（2） P 规则（3） Q T 规则（1） （2）（4） T 规则（1） （3）（5） CP 规则（1） （4）()P（c） ()R证明： （1） P 规则（假设前提）Q（2） P T 规则（1）（3） Q T 规则（1）（4） T 规则（2） （3）（5） P 规则()R（6） R T 规则（4） （5）（7） CP 规则（1）
6、 （6 ）()PQ11第 26 页第 9 题（a） (),SP证明： （1） P 规则（假设前提）（2） P T 规则（1）（3） P 规则Q（4） Q T 规则（2） （3）（5） P 规则S（6） T 规则（4） （5）（7） P 规则R（8） R T 规则（6） （7）（9） P 规则Q（10） T 规则（8） （9）（11） T 规则（4） （10）（12） F 规则（1） （11）P（b） ,SQRSP证明： （1） P 规则（假设前提）P（2） P T 规则（1）（3） P 规则Q（4） Q T 规则（2） （3）（5） P 规则S（6） T 规则（4） （5）（7） P 规则R（
7、8） R T 规则（6） （7）（9） P 规则（10） T 规则（8） （9）（11） F 规则（1） （10）P（c） ()(),(),QSRQ证明： （1） R P 规则（2） P 规则()（3） T 规则（1） （2）P（4） T 规则（1）RS（5） P 规则()()QRS（6） T 规则（4） （5）（7） T 规则（6）P（8） T 规则（3） （7）()()QP（9） T 规则（8）第二章 谓词逻辑1第 39 页第 1 题（b） ()()()()xAxBxABx证明： ()()()()xxAB（还可以用推理的方法证明）证明： （1） P（假设前提）()()xABx（2） T（3
8、） T()()xx（4） TAB（5） T()x（6） T（7） P()()xAxB（8） T（5） （7）（9） ES（6）()a（10） US（8）B（11） T（9） （10）()（12） F（1） （11）()xAx（d） ()(),(),()() BCxxA证明： （1） PxC（2） US（1）()（3） P()xBx（4） US（3）()C（5） T（2） （4）x（6） P()()AB（7） US（6）x（8） T（5） （7）()（9） UG（8）xA2第 39 页 2（a） ()()()(xPQxPxQx证明： （1） P（假设前提）（2） US（1）()x（3） P()P
9、Qx（4） US（3）()x（5） T（2） （4）（6） UG（5）()xQ（7） CP（1） （ 6）()Px（b） ()()xQx证明：由于 ()()(xPx因此，原题等价于证明 () ()(Px（1） P（假设前提）xQ（2） US（1）()（3） P()xPx（4） US（3）()Q（5） T（2） （4）x（6） UG（5 ）()P（7） CP（1） （6）()(xQxP3第 39 页第 3 题（a）所有的有理数是实数，某些有理数是整数，因此某些实数是整数。解：首先定义如下谓词：是有理数():Px是实数R是整数():Ix于是问题符号化为： (),()()()PRxPIxRxI推理如
10、下：（1） P（2） ES（1）()aI（3） P()xPRx（4） US（3）()（5） T（2）a（6） T（2）()I（7） T（4） （5）R（8） T（6） （7）()aI（9） EG（8）()xx（b）任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车，有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行。解：首先定义如下谓词：是人():Px喜欢步行F喜欢乘汽车():Cx 喜欢骑自行车B于是问题符号化为：()()(),()(),PFCxPCxBBF推理如下：（1） P()()x（2） ES（1）Pa（3） T（2）()Pa（4） T（2）B（5） P()()xCxB（
11、6） US（5）Paa（7） T（3） （6）()（8） T（4） （7）（9） P()()()xPFxC（10） US（9）aa（11） T（8） （10）()(（12） T（11）PF（13） T（3） （12）()a（14） T（3） （13）（15） EG（14）()()xPFx（c）每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而且聪明的科学工作者在他的事业中都将获得成功。华为是科学工作者并且他是聪明的，所以，华为在他的事业中将获得成功。解：首先定义如下谓词：是科学工作者():Px是刻苦钻研的Q是聪明的():R在他的事业中将获得成功Sx定义个体 a：华为于是命题符号化为：()(),()(
12、)(,PQxPxRSxRS推理如下：（1） P()()xPQx（2） US（1）a（3） P()R（4） T（3）P（5） T（3）()a（6） T（2） （4）Q（7） P()()()xPxRSx（8） US（7）aa（9） T（3） （6）()()（10） T（8） （9）S（d）每位资深名士或是中科院院士或是国务院参事，所有的资深名士都是政协委员。张伟是资深名士，但他不是中科院院士。因此，有的政协委员是国务院参事。解：首先定义如下谓词：是资深名士():Px是中科院院士Q是国务院参事():R是政协委员Sx定义个体 a：张伟于是命题符号化为：()(),()(),PQxRxPSxS推理如下：（
13、1） P()()a（2） T（1）P（3） T（1）()Q（4） P()xSx（5） US（4）()PaS（6） T（2） （5）（7） P()()xQxR（8） US（7）Paa（9） T（2） （8）()（10） T（3） （9）R（11） T（6） （10）()Sa（12） EG（11）()xx（e）每一个自然数不是奇数就是偶数，自然数是偶数当且仅当它能被 2 整除。并不是所有的自然数都能被 2 所整除。因此，有的自然数是奇数。解：首先定义如下谓词：是自然数():Nx是奇数Q是偶数():O能被 2 整除Px于是命题符号化为：()()(,)()(),NxOxNOxPPQ推理如下：（1） P
14、()()（2） T（1）xx（3） ES（2）()()NaP（4） T（3）（5） T（3）()（6） P()()xOx（7） US（6）()()NaOPa（8） T（4） （7）（9） T（5） （8）()（10） P()(xQx（11） US（10）()NaOa（12） T（4） （11）（13） T（9） （12）()（14） T（4） （13）aQ（15） EG（14）()()xNx（f）如果一个人怕困难，那麽他就不会获得成功。每个人或者获得成功或者失败过。有些人未曾失败过，所以，有些人不怕困难。解：首先定义如下谓词：是人():Px怕困难Q曾获得成功():R曾获得失败Sx于是命题符号化
15、为：()()(),()()(,PxRxPRxSSQ推理如下：（1） P()()（2） ES（1）PaS（3） T（2）()（4） T（2）（5） P()()(xPRxS（6） US（5）()()PaRSa（7） T（3） （6）（8） T（4） （7）()（9） P()()xPQxR（10） US（9）()aa（11） T（8） （10）()（12） T（11）P（13） T（3） （12）()Qa（14） T（3） （13）（15） EG（14）()()xPx4第 40 页第 5 题解：错误，第 2 行的 y 是泛指，第 4 行的 y 是特制更改如下：（1） P()xP（2） ES（1）y（
16、3） P()()xQx（4） US（3）Py（5） T（2） （4）()（6） EG（5）xQ5第 40 页第 6 题（a） ()()()(),PxR,xyy证明：(1)()2 ,(1)3(4) ,35()()()6 ,15(7) 68() ,(2)9 78(10)(),xPPaESQbxxQxRPTaRaUSRbb() (4)2 ,10(3) 9214()(,(3)5)4PQTayRyEGx（b） ()()()xPQxPQx证明： （1） P)（2） T（1）()(xx（3） T（2）)PQ（4） T（3）()(xx（5） T（4）)6第 42 页第 1 题（a） ()()xPyQ解： ()
17、()xyy（b） ()(),(,)(,)zPxzuQxy解：()(),(,)(,),(,()()()()xyzPxyzuQxyzuPz（c） ,(,(,)xyAxyByAxBy解： ()(,)(),),(),()()()xyxyyxyAuvBzAu),(,(,(,)Bzzv7第 42 页第 2 题（b） ()(),),xPyQxzRxy解：前束析取范式 ,(,()()(),)()()(,)xyzxyxPQuRz,),(,xyzuxzx由于 是基本和，因此前束合取范式与前束析取范式一样：()(,)()PR,(),()()(xyzQxzRxyuPu（d） ,)()(,yQz解：前束析取范式： ()
18、(,)(,)(), ,()()(,)(,xxyyPQPzyQxxuzu),yz前束合取范式：()(,)()(),()(,)()()(),xPQxyPyzQzuuxPyuzzQx(,)uz第三章 集合论1第 46 页第 3 题给出集合 、 和 的例子，使得 ， 而 。ABCABCA解： ,abc2第 46 页第 6 题（2） 1,3解：设 2,A则 (),（5）解：(),3第 46 页第 9 题（1）解：子集个数 102（2）解：元素的奇数的子集个数为102（3）解：不会有 102 个元素的子集。4第 46 页第 10 题解：把 17 化为二进制，是 00010001， ；1748,Ba把 31
19、 化为二进制，是 00011111， 35678,，编码为 01000110，为267,a70，编码为 10000001，为18,a129B5第 53 页第 5 题（1） ()()ABC证明：()()ABC上面是一种简单的方法，还可以利用文字叙述，任取 x 属于 ，。证明。()ABC还有一种方法，就是利用第五章的特征函数证明，下面给出过程 ()()*)*(1)(ABCCABCABC(*)(1)CABCBAB所以， ()CAB从而可得， 。)C（2） (证明：()()ABCACB（3） ()()()C证明： ()()()()()ACBACABC因此， ()()()ABC6第 53 页第 9 题（
20、1） ()()AB解：由于 ，因此必有 且 。也就是ACA并且 。C（2） ()()AB解：由于 ，因此必有 且 。也就是 并ABCAB且 。（3） ()()ABC解：()()()ABC因此， 意味着()ABC（4） ()()ABC解：()()()()()ACBABC两种可能，第一种 ，即 B=C；第二种， 或者()B因此，此题答案为 。()ACB或 者 或 者7第 53 页第 11 题（1） ()()()ABC证明：()()()()(ACBABACBC因此， 。()()()ABAC（2） 注意：这个题目本身不正确，举例如下：全集为1，2，3，A=1，B=2,C=3则 ， ，不相等。()1,2
21、3C()()2,3B8第 57 页第 3 题解：设 A，B，C 分别表示骑木马、坐滑行轨道和乘宇宙飞船的儿童集合。由公园的总收入知， |70/.514|20|5BCABC因此，|3|52|409ABCABBCA没有坐过任何一种的儿童总数为 |75(|)14092)ABCABCABC答：一共 10 个儿童没有坐过其中任何一种游乐设备。9第 57 页第 5 题解：设 A，B，C 分别是学习数学、物理、生物的大一学生集合。由题意可知，|67,|4,|9,286|27,|50BC0|2(|)674952678+)5AABCA解方程，得|=ABC因此，一共有 22 人三门功课都学。数学物理生物E2 24
22、653 51 46 45 010第 59 页第 1 题（1） AB解： =,121,2（2）解 ,0,0,12,01,2AB（3） 2()解： 1,0,2,12() 0,0,2,10,2,1,2,1BA111第 60 页第 2 题解： 表示在在笛卡尔坐标系中， 且 的矩形区域内的点集。XY32x0y12第 60 页第 3 题（1） ()()()()ABCDABD证明：任取 ,有,xy()()()(),xAByCxDy由 取值的任意性知， 。,x()()()()ABACB（2）当且仅当才，才有 C证明： 当 时， ，于是 。C()()()()ABC当 时，()()AB任取 ，可知 ，由 知 ，x
23、xABC()()ABC()x于是得到 。所以， 。xAC13第 60 页第 5 题（这种题目也可以不推理，只要举出反例即可）（1） ()()()()BDBD解：任取 ,有,xy()()()()( (), )(ACxByDxByCDxByyAC选择 A=1，B=2，C=a，D=b则 ()()1,2,BababD因此该等式不成立。（2） ()()()()ACABD解：任取 ,有,xy()(),()()()()xAByCDxxyy选择 A=1，2，B=1，C=a，b，D=a()()2,ABCDb1,2,ab因此，该等式不成立。（3） ()()()()ABACBD解：设 A=1，2，B=2，C=3，4
24、，D=4则 ()()1,3ABCD4,2因此，该等式不成立。（4） ()()()ABC解：取 ,有,xy(),)(),),(xAByCxyxyBAC因此，该等式成立。（5） ()()()B解：任取取 ,有,xyB,()()()()()()(,ACxyCxByCxAyCxyBAAyxyC因此，该等式成立。第四章 二元关系1第 63 页第 2 题解： 1,4,31,42R12(),D24R1(),321(),4DR22第 63 页第 3 题解： 1,1,62,32,66L,2,3,3,6,D116263第 63 页第 4 题证明：设 D(R)=A, D(S)=B。（1）任取 ，则分为两种情况， 或
25、 。当 时，由 R 是自反的，xABxABxA知 ，于是 ；当 时，由 S 是自反的，知,R,xRS，于是 。因此不管任何情况， ，S ()B， 是自反的。,x（2）任取 ，则 且 。由 R 和 S 都是自反的，知 并ABxB,xR且 ，于是 。因此 是自反的。,S,4第 63 页第 5 题证明：设 D(R)=A, D(S)=B。（1）任取 ，则 且 。由 R 和 S 都是自反的，知 并xABxB,xR且 ，于是 。因此 是自反的。,S,（2）任取 ，则 并且 。由 R 和 S 是对称的，yR,y,xy知 并且 ，于是 。因此， 是对称的。,x,xS,S（3）任取 ， ，可得 ，,zR,并且
26、， 。由 R 是可传递的，知 ；,yzR,y ,xzR由 S 是可传递的，知 。于是 。因此， 是可传递的。xzS,xzSS5第 63 页第 7 题解：任取 ，除 5 外， ，但 ，因此 R 是不自反的；若,R5,，即 ，可得 ，知 R 是对称的；,xyR10xy10yxy， ，但 ，可得 R 是不可传递的。37,3,3综上，R 是不自反的、对称的、不可传递的。6第 63 页第 8 题解：（1）R 是集合 A 上的二元关系，A 为空集。（2）R 是集合 A 上的二元关系， ， 。1,2,1（3）R 是集合 A 上的二元关系，A 为空集。（4）R 是集合 A 上的二元关系， ， ， ,3,2,1
27、R,17第 69 页第 1 题解：0321123031RM 8第 69 页第 2 题解：设 ，X 中的二元关系有 个。,23519第 69 页第 3 题证明：集合 X 中的每个二元关系都是 的子集， 有 个元素， 有 个元素，XnX2n有 个元素，每一个元素都是 的一个子集，也是一种二元关系，因而，()2n在 中有 个不同的二元关系。210第 69 页第 4 题（仅说明关系的性质）（a）自反的、不对称的、不可传递的；（b）不自反的、反对称的、不可传递的；（c）自反的、对称的、可传递的；（d）自反的、不对称的、不可传递的；（e）不自反的、不对称的、不可传递的；（f）不自反的、对称的、不可传递的；
28、（g）自反的、反对称的、可传递的；（h）自反的、不对称的、不可传递的；（i）不自反的、对称的、可传递的；（j）自反的、反对称的、不可传递的；（k）自反的、反对称的、可传递的；（l）不自反的、反对称的、可传递的。11第 70 页第 5 题解： ，10,2,30,2,1R21（1） ,（2） 1023,R（3） 2,1（4） 1,0,1,2,2,3（5） 32R12第 70 页第 6 题（1）证明：任取 ，由于 和 是自反的，因此 ， ，xX1R2 1,xR2,x可得 ，由 x 取值的任意性可知， 是自反的。12,12（2）设 ，则 ，不是反2,3,3,12,自反的。（3）设 ，则12,1,3XR
29、R，不是对称的。123R（4）设 ，则12,23,1,，不是反对称的。12（5）设 1 2,345,35,4,3XRR，则 ，不可传递。3,2113第 70 页第 7 题证明：（1）任取 ，则一定存在某一个 ，使得 ，13,xzRyX1,xyR，由 知，3,y21323(),),yzxzR根据 取值的任意性，问题得证， 。,1323R（2）任取 ，则一定存在某一个 ，使得 ，31xzyX3,xyR，由 知，1,yR23122(),),yzRxz根据 取值的任意性，问题得证， 。, 3132R14第 75 页第 4 题证明：设 R 是 A 上的二元关系，（1）若 R 是自反的，则 ，由于 的转置
30、仍是 ，因此， ，故 是自反AIRAIAIAIR的；（2）若 R 是反自反的，则 。把 和 R 都取转置，由于 的转置仍是 ，AAI因此， ，故 是反自反的；AIA（3）若 R 是对称的，任取 ，则 ，由 R 的对称性可知，,yx,xy，于是 。由 x，y 取值的任意性知， 是对称的；,yxRA（4）若 R 是反对称的，任取 ，则 ，由 R 的反对称性可知，A,，于是 。由 x，y 取值的任意性知， 是反对称的；,xy（5）若 R 是可传递得，任取 ，则 ，,Rz,yx，由 R 的可传递性，可知 ，于是 。故 是可传递,zyAzR的。15第 75 页第 5 题解：R 的关系矩阵上，主对角线有多
31、少个非零值， 的关系矩阵中就有多少非零记入AR值。16第 79 页第 2 题（画图略去）解：（a） (),rabsR()t（b） ,raba()sR,t（c）（图中假设 b 与 c 的连线箭头方向指向 c）(),raabcasR(),tRabcacbac17第 85 页第 2 题解：1112nnnC18第 85 页第 5 题（改为判断这两个关系是否是等价关系）解：左侧的关系不是等价关系，因为不满足可传递性；右侧的关系是等价关系。19第 85 页第 7 题证明：（1）当 R 是个等价关系时，由等价关系的定义知，等价关系满足自反性，即 R 是自反的。任取 ， ，由 R 的可传递性，知 ，再,xyz
32、X,xyRz,xz由 R 的对称性，知 。根据 x，y，z 取值的任意性，知 R 是循环的。（2）当 R 是自反的，可知对任意 ， 。任取 ，使得X,yX，因为 R 是循环的，故当 ， 时，,xy,x。由 x，y 取值的任意性知，R 是对称的；任取 ，z，由 R 的循环性知， ，因为 R 是对称的，因此,z,z，由 x，y，z 取值的任意性，知 R 是可传递的。因为 R 是自反的、对称的和xz可传递的，因此 R 是一个等价关系。20第 86 页第 8 题证明：设等价关系 造成的集合 X 的划分为 ，等价关系 造成1112,mC 2的集合 X 的划分为 22,nC（1） 当 中的每一个等价类都包含于 的某一个等价类之中时，任取 中的一个等价1 2 1C类 ，则必包含在 的一个等价类里，设包含在 中， 。任取 中i 2 2j2ij1i两元素 x，y，由等价类的性质知， 。由 ，可知若 ，1xRy1ijC,xyR则 ，即 。由 i,j,x,y 取值的任意性知， 。2,R2 12（2） 如果 ，那么对任意的 永真，11,等价于 x,y 落入 的某个等价类 中， 等价于 x,y,xy1Ci 2xyR落入 的某个等价类 中，即若 ，则 ，由 x,y 的任意性2C2j 1,ixy,jC
