1、第 2 讲 函数的单调性与最值【2013 年高考会这样考】1考查求函数单调性和最值的基本方法2利用函数的单调性求单调区间3利用函数的单调性求最值和参数的取值范围【复习指导】本讲复习首先回扣课本，从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，复习中重点掌握：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数最值的各种基本方法；对常见题型的解法要熟练掌握基础梳理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x 2定义当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，那么就说函数 f(x)在
2、区间 D 上是增函数当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，那么就说函数 f (x )在区间 D 上是减函数图象描述自左向右图象是上升的 自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 f(x)的单调区间2函数的最值前提设函数 yf(x )的定义域为 I，如果存在实数 M满足对于任意 xI，都有 f(x)M ；对于任意 xI，都有f(x)M；条件. 存在 x0I，使得f(x0)M存在 x0I，使得 f(x0)M.结论 M 为最大值 M 为最小值一个防范函数的单调性是对某个区间而
3、言的，所以要受到区间的限制例如函数 y 分1x别在( ，0)，(0，) 内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(， 0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(， 0)和(0，)，不能用 “”连接两种形式设任意 x1，x 2a，b 且 x1x 2，那么 0f(x)在a，b上是增函数； 0f(x)在a，b上是fx1 fx2x1 x2 fx1 fx2x1 x2减函数(x 1x 2)f(x1)f(x 2)0f(x )在a，b上是增函数； (x1x 2)f(x1)f (x2)0f( x)在a ，b 上是减函数两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时
4、最值一定在端点取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小) 值四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数(3)导数法：利用导数研究函数的单调性(4)图象法：利用图象研究函数的单调性双基自测1设 f(x)为奇函数，且在 (，0)内是减函数，f(2)0，则 xf(x)0 的解集为( )A( 2,0) (2，) B(，2)(0,2)C(，2)(2 ，) D(2,0)(0,2)答案 C2(2011湖南 )已知函数 f(x)e x1，g(x)x 24x3.若有 f(a)g(b)，则 b的取值范围为(
5、 ) A2 ，2 B(2 ，2 )2 2 2 2C1,3 D(1,3)解析 函数 f(x)的值域是(1，)，要使得 f(a)g(b)，必须使得x 24x31.即 x24x20，解得 2 x2 .2 2答案 B3(2012保定一中质检 )已知 f(x)为 R 上的减函数，则满足 1，不等式等价于Error!解得10 时，f (x1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在( 1,1)上递减；当 a0)在(2 ，)上递增，求实数 a 的取值范x2 ax围审题视点 求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性解 法一 设 2a 恒成立又x2 x1x1x2 x1x2 ax1x2x1x24，则 05，则 m5.法二 设 g(x)x 2mx 4当 ，即 m3 时，m2 32g(x)g(2)82m，当 ，即 m3 时，m2 32g(x)g(1)5m由已知条件可得：Error!或Error!解得 m5答案 (，5
