1、2001 年数学分析一、求下列极限1） 设 求 ；),2(,43,01nannalim解：（这道题目没有什么好讲的吧）（1）利用数学归纳法：证明该数列单调递增且有界，小于 1（2）直接求出通项公式 12nna2） 求极限： 201limxyxye解：这道题目 ex总是比 x 大无穷阶，猜出答案来解决；1220 224120li li()()limli0liyxyx xyxyxyxyxxyxy yxy eee3） 设 试求,)(BbaACxfBbahdxfxf)(lim0解：lim 不能穿越积分符号，但是 f（x）可积，所以分开来积分再合起来,0 00(),(),()()()() ()limli
2、mlim(ABxababh hhafdFxffbFabFafxfdxf所 以 在 可 积4） 设 在 内可导，且 令 ，试证明)xf1, ),1(,|)(|xf )2(1nfn存在有限nli解：其实更简单的方法用 Cauchy 收敛准则，更为简洁。当时没有注意(1).,(0,)()()|()|121,|()|1maxN1 1|()|()|()| 2,xyfxyfxyfxyf pnMnfmnfpfffpn ，存 在 一 个 收 敛 的 子 列 ， 不 妨 设 收 敛 于根 据 的 任 意 性 得 知 ， 时二、设 令,1)0(,)()(2gCxg时当时当 0,cos)(xxf1） 讨论 处 的
3、连 续 性 ；在 0)(xf2） 求 .)(, 处 的 连 续 性在并 讨 论 f解： 应该是指二阶导函数连续吧，反复利用中值定理和 LHospital 法则(,)C00020cos()sin1)limlig()1() 1cos(mlig(0)2)()cos()sin()s0, ()s(0)()limxxxxggfgxgxxffx或 者当 时当 时 2202200 0 0()1()1coslimlim()1“22()sin()()1cosli()li l li()1“22x xxx x xgggggfxxgf 三、设 试证明对一切 ，成立 ,10,)(0,)(,)(10 xffCxf 1,0t
4、tt dxfdxf0320)()(证明：原来想用 Cauchy-Schwarz 定理的，后来发现方向反了。尝试含参量的积分，成功230030 000,(,1()()()()()2()1(t0t tt tttxffGfxdfxdfftfxfxdfxfdxGt首 先从 而 命 题 成 立 ， 似 乎 也 仅 仅 在 的 时 候 取 到 等 号四、求下列积分1） 计算反常积分 ；0sindxeIx解：（1）利用含参量的积分解决问题 0 000202si()incoss|sincos|si|in1,)()arctn()limlimxxxxxxx xeIdeeede dICI对 任 意 的0sin0()
5、arct()24xed（2）利用复变函数作1 514211 2142()()00()2 240()(1) 1:R(0):(0)4L0:ImI sin2IIIm|iiizixizexixiLiiziReedde exddd 半 径 为 的 圆 周 ， 和 半 径 为 的 圆 周 ，和212 3442sin()400()(1)44(1) (1)0| |0Im24ii Riizeiiz ixL dee iedd A2） 计算曲面积分 ，其中 S 为锥面S yzyzxI222那部分的外侧hyahz0,22解：2222120 220 0023022, ()(cosin)sS Vazhz azhhxxId
6、yzxdyxyzdrrzrddrdahIyzxzy 补 齐222, ,21yazh xazhxya 五、求 在 处的幂级数展开式，并计算 之值2arctn)(xxf 0012)(nS解：背出 arctanx 的展开式，总是有用的2350()arctnarctn1.().(1,)arctn=24nxfxxxfS收 敛 区 间 为六、设 .0,11xkxnn1) 证明级数 绝对收敛；10()n2) 求级数 之和.1nnx证明：首先猜测极限，然后得到这个解。其实，可以用归纳法，证明单调。然后迎刃而解。 11111211,0()(,02n|1|r1nnnnnnnnnnnkxkkxkxkxxxx利 用
7、压 缩 映 像 原 理 知 收 敛 并 且 不 难 得 到 极 限 为当 足 够 大 的 时 候从 而 得 知 其 绝 对 收 敛11111,0()(,nnnnnnkxkkxkx利 用 压 缩 映 像 原 理 知 收 敛 并 且 不 难 得 到 极 限 为七、设 ，其中 满足不等式 .dtI024ep),(, 4321） 讨论含参变量积分 在区域 上的一致收敛性),(I 432:D2） 求 在区域 上的最小值.),(I解： 44200 14 414(,)expexp321319,240,maxln(),99epepexp()33220exp NNNNttIddttddtdet 可 见 一 致 收 敛444eexp139249tt最 小 值 在 =的 时 候 取 到最 大 值 在 的 时 候 取 到
