1、压轴大题突破练函数与导数(二)1已知函数f(x)aln xbx2.(1)当a2，b时，求函数f(x)在，e上的最大值；(2)当b0时，若不等式f(x)mx对所有的a0，x(1，e2都成立，求实数m的取值范围解(1)由题意知，f(x)2ln xx2，f(x)x，当xe时，令f(x)0得x；令f(x)0，得0，h(a)在0，上单调递增，h(a)minh(0)x，mx对所有的x(1，e2都成立1xe2，e2x1，m(x)mine2.2函数f(x)xln xax2x(aR)(1)若函数f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)若函数f(x)的图象在直线yx图象的下方，求a的取值范围；(3)求证：2 0
2、132 0122 0122 013.(1)解f(x)ln x2ax.因为f(1)0，所以a0.(2)解由题意，得xln xax2xx，所以xln xax2.设h(x)，则h(x).令h(x)0，得0xe，所以h(x)在(0，e)上单调递增；令h(x)e，所以h(x)在(e，)上单调递减所以h(x)maxh(e)，所以a.(3)证明由(2)知h(x)在(e，)上单调递减，所以当xe时，h(x)h(x1)，即，所以(x1)ln xxln(x1)，所以ln xx1ln(x1)x，所以xx1(x1)x，令x2 012，得2 0122 0132 0132 012.3已知函数f(x)ln xax1.(1)
3、若函数f(x)在点A(1，f(1)处的切线l与直线4x3y30垂直，求a的值；(2)若f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：ln(n1)(nN*)(1)解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.所以f(1)1a.所以切线l的斜率为1a.因为切线l与直线4x3y30垂直，所以1a，解得a.(2)解若a0，则f(x)a0，f(x)在(0，)上是单调递增函数而f(1)1a0，f(x)0不恒成立，故a0.考虑a0，则当x(0，时，f(x)a0；当x，)时，f(x)a0.所以f(x)在(0，上是单调递增函数，在，)上是单调递减函数所以f(x)的最大值为f()ln a.要使f(x)0恒成立
4、，只须ln a0即可由ln a0，解得a1，即a的取值范围为1，)(3)证明由(2)，知当a1时，f(x)0在(0，)上恒成立，且f(x)在(0,1)上是增函数，f(1)0，所以ln xx1在x(0,1)上恒成立令x(kN*)，则ln1，令k1,2，n，则有ln，ln，ln，ln，以上各式两边分别相加，得lnlnln()，即ln(nN*)4已知函数f(x)aln xx2(a2)x.(1)当a1时，求函数f(x)的极小值；(2)当a1时，过坐标原点O作曲线yf(x)的切线，设切点为P(m，n)，求实数m的值；(3)设定义在D上的函数yg(x)在点Q(x0，y0)处的切线方程为l：yh(x)，当x
5、x0时，若0在D内恒成立，则称点Q为函数yg(x)的“好点”当a8时，试问函数yf(x)是否存在“好点”，若存在，请求出“好点”的横坐标；若不存在，请说明理由解(1)当a1时，f(x)ln xx23x，f(x)2x3(x0)，当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增所以当x1时，f(x)取到极小值2.(2)当a1时，f(x)ln xx2x，f(x)2x1(x0)，所以切线的斜率k2m1，整理得m2ln m10，显然m1是这个方程的解，又yx2ln x1在(0，)上是增函数，所以方程x2ln x10有唯一实数解，故m1.(3)当a8时，f(x)8ln xx210x，f(x)2x10，函数yf(x)在其图象上一点Q(x0，f(x0)处的切线方程h(x)(2x010)(xx0)x10x08ln x0.设F(x)f(x)h(x)，则F(x0)0，F(x)f(x)h(x)(2x10)(2x010)，若0x02，F(x)在(x0，)上单调递减，所以当x(x0，)时，F(x)F(x0)0，此时2，F(x)在(，x0)上单调递减，所以当x(，x0)时，F(x)F(x0)0，此时x0时，F(x)F(x0)0，当xx0时，F(x)0恒成立，所以点(2，168ln 2)为函数yf(x)的“好点”故函数yf(x)存在“好点”，“好点”的横坐标为2.- 4 -
