1、6.2 等差数列,高考文数 (北京市专用),考点一 等差数列的定义及其通项公式 1.(2018北京,15,13分)设an是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2. (1)求an的通项公式; (2)求 + + .,A组 自主命题北京卷题组,五年高考,解析 (1)设an的公差为d. 因为a2+a3=5ln 2, 所以2a1+3d=5ln 2. 又a1=ln 2,所以d=ln 2. 所以an=a1+(n-1)d=nln 2. (2)因为 =eln 2=2, = =eln 2=2, 所以 是首项为2,公比为2的等比数列. 所以 + + =2 =2(2n-1).,2.(2015北京,16,1
2、3分,0.90)已知等差数列an满足a1+a2=10,a4-a3=2. (1)求an的通项公式; (2)设等比数列bn满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列an的第几项相等?,解析 (1)设等差数列an的公差为d. 因为a4-a3=2,所以d=2. 又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4. 所以an=4+2(n-1)=2n+2 (n=1,2,). (2)设等比数列bn的公比为q. 因为b2=a3=8,b3=a7=16, 所以q=2,b1=4. 所以b6=426-1=128. 由128=2n+2得n=63. 所以b6与数列an的第63项相等.,思路分析 (1)由已知可求得a
3、1和公差d,即可求an的通项公式. (2)由已知求得b2,b3,进而求得bn的首项和公比q,即得b6的值,再由an=b6列方程求得n.,考点二 等差数列的前n项和 1.(2012北京,10,5分)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1= ,S2=a3,则a2= ;Sn= .,答案 1; n(n+1),解析 S2=a3,a1+a2=a3.an为等差数列,a1+a1+d=a1+2d,d=a1= ,a2=a1+d= + =1,Sn =na1+ d= n(n+1).,考点定位 本题主要考查等差数列的基本运算,难度并不高,要求掌握等差数列通项公式和前 n项和公式.,2.(2016北京,15,13分
4、,0.88)已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求an的通项公式; (2)设cn=an+bn,求数列cn的前n项和.,解析 (1)设等比数列bn的公比为q, 则q= = =3, (1分) 所以b1= =1,b4=b3q=27. (3分) 设等差数列an的公差为d. 因为a1=b1=1,a14=b4=27, 所以1+13d=27,解得d=2. (5分) 所以an=2n-1(n=1,2,3,). (6分) (2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1. 因此cn=an+bn=2n-1+3n-1. (8分) 从而数列cn的前n项和 Sn=1
5、+3+(2n-1)+1+3+3n-1 = + =n2+ . (13分),思路分析 (1)利用已知求出bn的公比q,进而求出b1,再求出an的公差d,即可求出an的通项公式 (2)分组求和,利用等差数列和等比数列的求和公式求解.,考点一 等差数列的定义及其通项公式 1.(2014辽宁,9,5分)设等差数列an的公差为d.若数列 为递减数列,则 ( ) A.d0 B.d0 D.a1d0,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,答案 D 为递减数列, = = 1=20,a1d0,故选D.,2.(2015浙江,10,6分)已知an是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,
6、则a1= ,d= .,答案 ;-1,解析 a2,a3,a7成等比数列, =a2a7,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),解得d=- a1, 2a1+a2=1,3a1+d=1,由可得a1= ,d=-1.,3.(2016江苏,8,5分)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+ =-3,S5=10,则a9的值是 .,答案 20,解析 设等差数列an的公差为d,则由题设可得 解得 从而a9=a1+8d=20.,评析 数列的计算求值问题一般应以“基本量”为主.,4.(2014陕西,14,5分)已知f(x)= ,x0,若f1(x)=f(x), fn+1(x)=f(fn(x),nN+,则f
7、2 014(x)的表达式为 .,答案 f2 014(x)=,解析 由已知易知fn(x)0,fn+1(x)=f(fn(x)= , = = +1 - =1, 是以 = 为首项,1为公差的等差数列. = +(n-1)1= , fn(x)= ,f2 014(x)= .,评析 本题考查等差数列的定义及构造新数列的能力,灵活运用知识构造新数列是解题的关 键.,5.(2015重庆,16,13分)已知等差数列an满足a3=2,前3项和S3= . (1)求an的通项公式; (2)设等比数列bn满足b1=a1,b4=a15,求bn的前n项和Tn.,解析 (1)设an的公差为d,则由已知条件得 a1+2d=2,3a
8、1+ d= , 化简得a1+2d=2,a1+d= ,解得a1=1,d= , 故通项公式为an=1+ ,即an= . (2)由(1)得b1=1,b4=a15= =8.设bn的公比为q,则q3= =8,从而q=2,故bn的前n项和 Tn= = =2n-1.,评析 本题考查等差、等比数列的基本量计算,考查运算求解能力.,6.(2015福建,17,12分)等差数列an中,a2=4,a4+a7=15. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn= +n,求b1+b2+b3+b10的值.,解析 (1)设等差数列an的公差为d. 由已知得 解得 所以an=a1+(n-1)d=n+2. (2)由(1)可得bn
9、=2n+n. 所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10) =(2+22+23+210)+(1+2+3+10) = + =(211-2)+55 =211+53=2 101.,评析 本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力.,考点二 等差数列的性质 1.(2015课标,5,5分)设Sn是等差数列an的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5= ( ) A.5 B.7 C.9 D.11,答案 A an为等差数列,a1+a5=2a3, 由题意得3a3=3,则a3=1, S5= =5a3=5,故选A.,2.(2014重庆,2,5分)
10、在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,则a7= ( ) A.5 B.8 C.10 D.14,答案 B 解法一:设等差数列an的公差为d,则 解之得d=1,故a7=a1+6d=2+61= 8. 解法二:由等差数列的性质知a1+a7=a3+a5,a7=(a3+a5)-a1=10-2=8.,3.(2015陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 .,答案 5,解析 设该数列的首项为a1,根据等差数列的性质可得a1+2 015=21 010,从而a1=5.,考点三 等差数列的前n项和 1.(2015课标,7,5分)已知an是公差为1的等差数
11、列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( ) A. B. C.10 D.12,答案 B 由S8=4S4得8a1+ 1=4 ,解得a1= ,a10=a1+9d= ,故选B.,评析 本题主要考查等差数列的前n项和,计算准确是解题关键,属容易题.,2.(2014课标,5,5分)等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn= ( ) A.n(n+1) B.n(n-1) C. D.,答案 A a2,a4,a8成等比数列, =a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d), 将d=2代入上式,解得a1=2, Sn=2n+ =n(n+1),故选A.,3
12、.(2014天津,5,5分)设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数 列,则a1= ( ) A.2 B.-2 C. D.-,答案 D 由题意知S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6,因为S1,S2,S4成等比数列,所以 =S1S4,即(2a1-1)2=a1 (4a1-6),解得a1=- ,故选D.,4.(2015安徽,13,5分)已知数列an中,a1=1,an=an-1+ (n2),则数列an的前9项和等于 .,答案 27,解析 由题意得an为等差数列,且公差d= , a1=1,S9=91+ =27.,5.(2014江西,13,5分)在等差
13、数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大 值,则d的取值范围为 .,答案,解析 由题意知d0且 即 解得-1d- .,6.(2018课标全国,17,12分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.,解析 (1)设an的公差为d, 由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以an的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,方法总结 求等差数列前n项和Sn的最值的方法: (1
14、)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn(a0),通过配方或借助图象求二次 函数的最值. (2)邻项变号法: 当a10,d0时,满足 的项数m使得Sn取得最小值,为Sm(当am+1=0时,Sm+1也为最小值).,7.(2014浙江,19,14分)已知等差数列an的公差d0.设an的前n项和为Sn,a1=1,S2S3=36. (1)求d及Sn; (2)求m,k(m,kN*)的值,使得am+am+1+am+2+am+k=65.,解析 (1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36, 将a1=1代入上式解得d=2或d=-5. 因为d0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n
15、2(nN*). (2)由(1)得am+am+1+am+2+am+k=(2m+k-1)(k+1), 所以(2m+k-1)(k+1)=65. 由m,kN*知2m+k-1k+11,故 所以,评析 本题主要考查等差数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识,同时考查运算求解 能力.,8.(2014重庆,16,13分)已知an是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示an的前n项和. (1)求an及Sn; (2)设bn是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求bn的通项公式及其前n项和Tn.,解析 (1)因为an是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n
16、-1. 故Sn=1+3+(2n-1)= = =n2. (2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4. 又因为b1=2,bn是公比q=4的等比数列, 所以bn=b1qn-1=24n-1=22n-1. 从而bn的前n项和Tn= = (4n-1).,考点一 等差数列的定义及其通项公式 1.(2017北京海淀一模,15)已知等差数列an满足a1+a2=6,a2+a3=10. (1)求数列an的通项公式; (2)求数列an+an+1的前n项和.,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,解析 (1)设数列an
17、的公差为d. 因为a1+a2=6,a2+a3=10,所以a3-a1=4, 所以2d=4,d=2.又a1+a1+d=6,所以a1=2,所以an=a1+(n-1)d=2n. (2)设bn=an+an+1,所以b1=6,bn=2n+2(n+1)=4n+2, 又bn+1-bn=4(n+1)+2-4n-2=4, 所以bn是首项为6,公差为4的等差数列, 其前n项和Sn= = =2n2+4n. 故数列an+an+1的前n项和为2n2+4n.,2.(2018北京房山二模,15)已知等差数列an满足a1+a2=10(nN*),a4-a3=2. (1)求数列an的通项公式; (2)设等比数列bn满足b2=a3,
18、b3=a7.问:b5与数列an的第几项相等?,解析 (1)设等差数列an的公差为d. 因为a4-a3=2,所以d=2. 又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4. 所以an=4+2(n-1)=2n+2(nN*). (6分) (2)设等比数列bn的公比为q. 因为b2=a3=8,b3=a7=16, 所以q=2,b1=4. 所以b5=425-1=64. 由64=2n+2,得n=31. 所以b5与数列an的第31项相等. (13分),考点二 等差数列的性质 (2018北京石景山一模,13)在等差数列an中,a3=0,如果ak是a6与ak+6的等比中项,那么k= .答案 9,解析 设公
19、差为d,由题意得a3=a1+2d=0,所以a1=-2d, 因为ak是a6与ak+6的等比中项,所以 =a6ak+6, 即a1+(k-1)d2=(a1+5d)a1+(k+5)d, 即(k-3)d2=3d(k+3)d, 由题意得d0且k0, 从而k-9=0,解得k=9.,点睛方法 在解决等差、等比数列的有关运算问题时,有两个处理思路:一是利用基本量,虽有 一定的运算量,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本 规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具.应注意在解决等差、等比 数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.,考点三
20、 等差数列的前n项和 1.(2016北京东城期中,5)等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=3,a10=10,则S7的值是 ( ) A.30 B.29 C.28 D.27,答案 C a3=3,a10=10, S7=7a1+ d=28.,2.(2017北京朝阳一模,10)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若S6=51,a1+a9=26,则数列an的 公差d= ,通项公式an= .,答案 3;3n-2,解析 设等差数列an的公差为d. an为等差数列,S6=51,a1+a9=26, 解得a1=1,d=3.an=1+(n-1)3=3n-2.,3.(2017北京朝阳期末,9)已知等差数列an的前
21、n项和为Sn,若a1=2,S2=a3,则a2= ,S10= .,答案 4;110,解析 设等差数列an的公差为d. S2=a3, 2a1+d=a1+2d,又a1=2,d=2. a2=4,S10=102+ 2=110.,4.(2017北京朝阳二模,16)已知数列an是首项a1= ,公比q= 的等比数列.设bn=2lo an-1(nN*). (1)求证:数列bn为等差数列; (2)设cn=an+b2n,求数列cn的前n项和Tn.,解析 (1)证明:由已知得:an= = , 则bn=2lo -1=2n-1(nN*). 则bn+1-bn=2(n+1)-1-2n+1=2. 所以数列bn是以1为首项,2为
22、公差的等差数列. (2)由(1)知,bn=2n-1,则b2n=4n-1, 则数列b2n是以3为首项,4为公差的等差数列. cn=an+b2n= +4n-1. 则Tn= + + +3+7+(4n-1), 即Tn= + , 即Tn=2n2+n+ - (nN*).,5.(2018北京海淀期末,15)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2=5,S3=a7. (1)求数列an的通项公式; (2)若bn= ,求数列an+bn的前n项和.,解析 (1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,则 解得a1=3,d=2, 则an=2n+1, 因此,数列an的通项公式为an=2n+1. (2)由(1)可知:an=
23、2n+1,则bn=22n+1,= =4. 因为b1=23=8,所以数列bn是首项为8,公比为4的等比数列. 记an+bn的前n项和为Tn, 则Tn=(a1+b1)+(a2+b2)+(an+bn) =(a1+a2+an)+(b1+b2+bn) = + =n2+2n+ .,试题分析 (1)根据等差数列的概念得数列的通项公式;(2)由第(1)问得到bn=22n+1,an+bn的前n 项和可用分组求和法求解.,点睛方法 本题考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法.数列通项的求法中,常 见的是已知Sn和an的关系,求an的表达式,一般是写出Sn-1(n2),作差得通项,但是这种方法需要 检验n=
24、1时通项公式是否适用;数列求和常用方法有错位相减法、裂项求和法、分组求和法 等.,1.(2016北京朝阳一模,11)已知递增的等差数列an(nN*)的首项a1=1,且a1,a2,a4成等比数列,则 数列an的通项公式为an= ;a4+a8+a12+a4n+4= .,B组 20162018年高考模拟综合题组 (时间:40分钟 分值:70分) 一、填空题(共5分),答案 n;2n2+6n+4,解析 设公差为d, 因为a1,a2,a4成等比数列, 故 =a1a4,(a1+d)2=a1(a1+3d), 则(1+d)2=1+3d.解得d=0或d=1. an为递增数列, d=1.an=n. a4,a8,a
25、12,a4n+4成等差数列,首项为4,公差为4,共(n+1)项. a4+a8+a12+a4n+4= =2n2+6n+4.,2.(2018北京昌平二模,16)已知数列an满足a1=1,a2= ,数列bn是公差为2的等差数列,且bnan+1 +an+1=nan. (1)求数列bn的通项公式; (2)求数列an的前n项和Sn.,二、解答题(共65分),解析 (1)因为bnan+1+an+1=nan,所以b1a2+a2=a1. 又因为a1=1,a2= ,所以b1=1. 所以数列bn的通项公式是bn=2n-1,nN*. (7分) (2)由(1)知bn=2n-1,因为bnan+1+an+1=nan. 所以
26、(2n-1)an+1+an+1=nan,则2nan+1=nan,得 = (nN*). 所以数列an是以1为首项, 为公比的等比数列. 故数列an的前n项和Sn= =2-21-n,nN*. (13分),3.(2018北京西城一模,15)设等差数列an的公差不为0,a2=1,且a2,a3,a6成等比数列. (1)求an的通项公式; (2)设数列an的前n项和为Sn,求使Sn35成立的n的最小值.,解析 (1)设等差数列an的公差为d,d0. 因为a2,a3,a6成等比数列,所以 =a2a6, (2分) 即(1+d)2=1+4d, (4分) 解得d=2或d=0(舍去). (6分) 所以an的通项公式
27、为an=a2+(n-2)d=2n-3. (8分) (2)因为an=2n-3,所以a1=-1, 所以Sn= =n2-2n. (10分) 依题意有n2-2n35,又nN*,所以n7. (12分) 所以使Sn35成立的n的最小值为8. (13分),4.(2017北京丰台一模,16)已知an是各项均为正数的等比数列,a11=8,设bn=log2an,且b4=17. (1)求证:数列bn是以-2为公差的等差数列; (2)设数列bn的前n项和为Sn,求Sn的最大值.,解析 (1)证明:设等比数列an的公比为q, 则bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2 =log2q, 因此数列bn是等差
28、数列. 又b11=log2a11=3,b4=17, 所以等差数列bn的公差d= =-2, 所以数列bn是以-2为公差的等差数列. (2)由(1)知bn=25-2n,b1=23, 则Sn= = =(24-n)n=-(n-12)2+144, 于是当n=12时,Sn有最大值,最大值为144.,解后反思 本题考查了等差和等比数列的定义及等差数列的前n项和公式,数列是特殊的函 数,用函数的观点解决数列问题时要注意nN*.,5.(2017北京西城二模,17)设an是首项为1,公差为2的等差数列,bn是首项为1,公比为q的等 比数列,记cn=an+bn,n=1,2,3,. (1)若cn是等差数列,求q的值;
29、 (2)求数列cn的前n项和Sn.,解析 (1)因为an是首项为1,公差为2的等差数列, 所以an=2n-1. 因为bn是首项为1,公比为q的等比数列, 所以bn=qn-1. 所以cn=an+bn=2n-1+qn-1. 因为cn是等差数列,所以2c2=c1+c3, 即2(3+q)=2+5+q2,q=1. 经检验,q=1时,cn=2n,cn是等差数列.,(2)由(1)知cn=2n-1+qn-1(n=1,2,). 所以Sn= = + = + =n2+ . 当q=1时,Sn=n2+n. 当q1时,Sn=n2+ . 综上,Sn=,思路分析 (1)分别求出数列an和bn的通项公式,表示出cn,再由等差中
30、项的性质求出q. (2)分组求和即可.,易错警示 第(2)问中要考虑q=1和q1两种情况.,6.(2016北京海淀期末,15)等差数列an的首项a1=1,其前n项和为Sn,且a3+a5=a4+7. (1)求数列an的通项公式; (2)求满足不等式Sn3an-2的n的值.,解析 (1)设数列an的公差为d. 因为a3+a5=a4+7,所以2a1+6d=a1+3d+7. 因为a1=1,所以3d=6,所以d=2. 所以an=a1+(n-1)d=2n-1. (2)因为a1=1,an=2n-1,所以Sn= =n2, 所以不等式转化为n23(2n-1)-2,所以n2-6n+50, 解得1n5,又nN*,所以n的值为2,3,4.,思路分析 (1)由a1=1,a3+a5=a4+7可求得公差d,故an的通项公式可求.(2)根据题意列出不等式 求解即可.,
