1、4.4解三角形考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.用正、余弦定理解三角形1.理解正弦定理与余弦定理的推导过程2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2017课标全国,11;2017课标全国,16;2017课标全国,15;2016课标全国,4;2016山东,8选择题、填空题、解答题2.解三角形及其应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2017山东,17;2016课标全国,9;2016课标全国,15分析解读解三角形是高考中的热点,以正、余弦定理为载体考查解三角形问题,命题呈现出如下几点:1.能利用正、余弦定理解决平面图形
2、的计算问题,解题时要在平面图形中构造出三角形;2.解三角形时,观察图形中的几何条件,再数形结合求解;3.正、余弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式结合起来考查,注意公式间的联系,会用方程与函数的思想解决三角形的最值问题.解三角形知识常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题或填空题中,分值大约为5分或12分.答案:60解析:解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2b=a+c,即b=b,所以a2+c2-b2=ac,所以c
3、os B=,又0B180,所以B=60.五年高考考点一用正、余弦定理解三角形1.(2017课标全国,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=()A.B.C.D.答案B2.(2016山东,8,5分)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A=()A.B.C.D.答案C3.(2015广东,5,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且bc,则b=()A.3B.2C.2D.答案C4.(2014江西,5,5分)在
4、ABC中,内角A,B,C所对边的分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为()A.-B.C.1D.答案D5.(2013安徽,9,5分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=()A.B.C.D.答案B6.(2017课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=,c=3,则A=.答案757.(2016北京,13,5分)在ABC中,A=,a=c,则=.答案18.(2015重庆,13,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c=.
5、答案49.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=,求cos C的值.解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入+=中,有+=,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+
6、B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A=.所以sin A=.由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B=4.11.(2015山东,17,12分)ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=,sin(A+B)=,ac=2,求sin A和c的值.解析在ABC中,由cos B=,得sin B=,因为A+B+C=,所以sin C=sin(A+B)=.因为
7、sin Csin B,所以Cb,则B=()A.B.C.D.答案A13.(2013北京,5,5分)在ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B=()A.B.C.D.1答案B14.(2013湖南,5,5分)在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于()A.B.C.D.答案A15.(2015福建,14,4分)若ABC中,AC=,A=45,C=75,则BC=.答案16.(2015安徽,12,5分)在ABC中,AB=,A=75,B=45,则AC=.答案217.(2015北京,11,5分)在ABC中,a=3,b=,A=,则B=.答案18.(2014山东,17
8、,12分)ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A=,B=A+.(1)求b的值;(2)求ABC的面积.解析(1)在ABC中,由题意知,sin A=,因为B=A+,所以sin B=sin=cos A=.由正弦定理可得b=3.(2)由B=A+得cos B=cos=-sin A=-.由A+B+C=,得C=-(A+B).所以sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=+=.因此ABC的面积S=absin C=33=.19.(2014课标,17,12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1
9、)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.解析(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C=13-12cos C,BD2=AB2+DA2-2ABDAcos A=5+4cos C.由,得cos C=,故C=60,BD=.(2)四边形ABCD的面积S=ABDAsin A+BCCDsin C=sin 60=2.20.(2014陕西,16,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cos B的值.解析(1)证明:a,b,c成等差数列,a+c
10、=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)由题设有b2=ac,c=2a,b=a,由余弦定理得cos B=.21.(2014湖南,19,13分)如图,在平面四边形ABCD中,DAAB,DE=1,EC=,EA=2,ADC=,BEC=.(1)求sinCED的值;(2)求BE的长.解析设CED=.(1)在CDE中,由余弦定理得EC2=CD2+DE2-2CDDEcosEDC,得7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去).在CDE中,由正弦定理得=,得sin
11、 =,即sinCED=.(2)由题设知,0,于是由(1)知,cos =.而AEB=-,所以cosAEB=cos=coscos +sinsin =-cos +sin =-+=.在RtEAB中,cosAEB=,故BE=4.22.(2013湖北,18,12分)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面积S=5,b=5,求sin Bsin C的值.解析(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=或cos A=-2
12、(舍去).因为0A,所以A=.(2)由S=bcsin A=bc=bc=5,得bc=20.又b=5,所以c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故a=.由正弦定理得sin Bsin C=sin Asin A=sin2A=.23.(2013天津,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsin A=3csin B,a=3,cos B=.(1)求b的值;(2)求sin的值.解析(1)在ABC中,由=,可得bsin A=asin B,又由bsin A=3csin B,可得a=3c,又a=3,故c=1.由b2=a2+c2-2accos
13、 B,cos B=,可得b=.(2)由cos B=,得sin B=,进而得cos 2B=2cos2B-1=-,sin 2B=2sin Bcos B=.所以sin=sin 2Bcos-cos 2Bsin=.考点二解三角形及其应用1.(2016课标全国,9,5分)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=()A.B.C.D.答案D2.(2014四川,8,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m答案C3.(2013课标全国,10,
14、5分)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=()A.10B.9C.8D.5答案D4.(2013课标全国,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则ABC的面积为()A.2+2B.+1C.2-2 D.-1答案B5.(2017浙江,14,5分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案;6.(2016课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=
15、.答案7.(2014课标,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,则山高MN=m.答案1508.(2017山东,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,=-6,SABC=3,求A和a.解析因为=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0A,所以A=.又b=3,所以c=2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-232=29,所以a
16、=.9.(2016天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=bsin A.(1)求B;(2)若cos A=,求sin C的值.解析(1)在ABC中,由=可得asin B=bsin A,又由asin 2B=bsin A得2asin Bcos B=bsin A=asin B,所以cos B=,得B=.(2)由cos A=可得sin A=,则sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin=sin A+cos A=.10.(2015课标,17,12分)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.(1)若
17、a=b,求cos B;(2)设B=90,且a=,求ABC的面积.解析(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,所以b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos B=.(6分)(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90,所以由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,故c=a=.所以ABC的面积为1.(12分)11.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.(1)求;(2)若BAC=60,求B.解析(1)由正弦定理得=,=.因为AD平分BAC,BD=2DC,所以=.(2)因为C=180-(BAC+B),BAC=60,所以sinC=sin(B
18、AC+B)=cosB+sinB.由(1)知2sinB=sinC,所以tanB=,即B=30.教师用书专用(1225)12.(2013山东,7,5分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=,则c=()A.2B.2C.D.1答案B13.(2013陕西,9,5分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定答案A14.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32 cm,容器的底面对角线AC的长为
19、10 cm,容器的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.解析(1)由正棱柱的定义,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=10,AM=40,所以MC=30,从而sinMAC=.记AM与水面的交点为P1,过P1
20、作P1Q1AC,Q1为垂足,则P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG.同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GKE1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1=24,从而GG1=40.设EGG1=,ENG=,则sin =sin=cosKGG1=
21、.因为,所以cos =-.在ENG中,由正弦定理可得=,解得sin =.因为0,所以cos =.于是sinNEG=sin(-)=sin(+)=sin cos +cos sin =+=.记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2EG,Q2为垂足,则P2Q2平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2=20.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20 cm)15.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的
22、面积.解析(1)因为mn,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由ab,知AB,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos +cos Bsin =.所以ABC的面积为absin C=.16.(2015浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求ABC的面积.解析(1)由tan=2,得ta
23、n A=,所以=.(2)由tan A=,A(0,),得sin A=,cos A=.又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3.由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=.设ABC的面积为S,则S=absin C=9.17.(2015天津,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-.(1)求a和sin C的值;(2)求cos的值.解析(1)在ABC中,由cos A=-,可得sin A=.由SABC=bcsin A=3,得bc=24,结合b-c=2,解得b=6,c=4.由a2=b2+c2-2bccos A,可得a=8.由
24、=,得sin C=.(2)cos=cos 2Acos-sin 2Asin=(2cos2A-1)-2sin Acos A=.18.(2015四川,19,12分)已知A,B,C为ABC的内角,tan A,tan B是关于x的方程x2+px-p+1=0(pR)的两个实根.(1)求C的大小;(2)若AB=3,AC=,求p的值.解析(1)由已知得,方程x2+px-p+1=0的判别式=(p)2-4(-p+1)=3p2+4p-40.所以p-2,或p.由韦达定理,有tan A+tan B=-p,tan Atan B=1-p.于是1-tan Atan B=1-(1-p)=p0,从而tan(A+B)=-=-.所以
25、tan C=-tan(A+B)=,所以C=60.(2)由正弦定理,得sin B=,解得B=45,或B=135(舍去).于是A=180-B-C=75.则tan A=tan 75=tan(45+30)=2+.所以p=-(tan A+tan B)=-(2+1)=-1-.19.(2014辽宁,17,12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac.已知=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解析(1)由=2得cacos B=2.又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.
26、解得a=2,c=3或a=3,c=2.因为ac,所以a=3,c=2.(2)在ABC中,sin B=.由正弦定理,得sin C=sin B=.因为a=bc,所以C为锐角,因此cos C=.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=+=.20.(2014大纲全国,18,12分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.解析由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因为tan A=,所以cos C=2sin C,tan C=.所以tan B=tan180-
27、(A+C)=-tan(A+C)=-1,所以B=135.21.(2014安徽,16,12分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,ABC的面积为,求cos A与a的值.解析由三角形面积公式,得31sin A=,故sin A=.因为sin2A+cos2A=1,所以cos A=.当cos A=时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+12-213=8,所以a=2.当cos A=-时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+12-213=12,所以a=2.22.(2014重庆,18,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
28、,且a+b+c=8.(1)若a=2,b=,求cos C的值;(2)若sin Acos2+sin Bcos2=2sin C,且ABC的面积S=sin C,求a和b的值.解析(1)由题意可知c=8-(a+b)=.由余弦定理得cos C=-.(2)由sin Acos2+sin Bcos2=2sin C可得sin A+sin B=2sin C,化简得sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C.因为sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,所以sin A+sin B=3sin C.由正弦定理可知a+b=3c.又因为a+b+c=8,所以
29、a+b=6.由于S=absin C=sin C,所以ab=9,从而a2-6a+9=0,解得a=3,b=3.23.(2013重庆,18,13分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.(1)求A;(2)设a=,S为ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此时B的值.解析(1)由余弦定理得cos A=-.又因0A,所以A=.(2)由(1)得sin A=,又由正弦定理及a=得S=bcsin A=asin C=3sin Bsin C,因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)=3cos(B-C).所以,当B=
30、C,即B=时,S+3cos Bcos C取最大值3.24.(2013浙江,18,14分)在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin B=b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面积.解析(1)由2asin B=b及=,得sin A=.因为A是锐角,所以A=.(2)由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=.由S=bcsin A,得ABC的面积为.25.(2013四川,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-.(1)求
31、sin A的值;(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.解析(1)由cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-.则cos(A-B+B)=-,即cos A=-.又0Ab,则AB,故B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-25c,解得c=1或c=-7(负值舍去).故向量在方向上的投影为|cos B=.(12分)三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一用正、余弦定理解三角形1.(2018河南中原名校第三次联考,7)ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若B=2A,a=1,b=,则c=()A.
32、1B.C.2D.2答案C2.(2017湖北黄冈3月质检,6)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=b,A=2B,则cos B=()A.B.C.D.答案B3.(2017福建厦门12月联考,6)在锐角ABC中,a,b,c分别为A、B、C的对边,若向量m=(a-b,1)和n=(c-b,1)平行,且sin B=,当ABC的面积为时,b=()A.B.C.4D.2+答案A考点二解三角形及其应用4.(2018江西师大附中10月模拟,7)已知ABC中,满足b=2,B=60的三角形有两解,则边长a的取值范围是()A.a2 B.a2C.2aD.2a0,c0,3ac,(3a+c)2-4(3a+c)2
33、,即(3a+c)216,当且仅当3a=c,即a=,c=2时取等号,所以3a+c的最大值为4.(10分)又在ABD中,3a+c2,(11分)故3a+c的取值范围是(2,4.(12分)9.(2018河北石家庄摸底考试,17)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度).BCD=CDE=,BAE=,DE=3BC=3CD= km.(1)求道路BE的长度;(2)求生活区ABE的面积的最大值.解析(1)如图,连接BD,在BCD中,BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD=,B
34、D= km.BC=CD,BCD=,CBD=CDB=,又CDE=,BDE=.在RtBDE中,BE=(km).故道路BE的长度为 km.(6分)(2)设ABE=,BAE=,AEB=-.在ABE中,=,AB=sinkm,AE=sin km.(8分)SABE=ABAEsin =sinsin =km2,0,-2-.当2-=,即=时,SABE取得最大值,最大值为= km2,故生活区ABE面积的最大值为 km2.(12分)10.(2017山西、河南、河北三省12月联考,17)如图,在ABC中,sin C=,且C,AB=8,若12sinBAC=ABsin B.(1)求ABC的面积;(2)已知D在线段BC上,且
35、BAD=CAD,求sinCAD的值以及AD的长.解析(1)记AC=b,BC=a,AB=c,因为sin C=,且C,所以cos C=-=-.因为12sinBAC=ABsin B,且AB=8,所以12sinBAC=8sin B,由正弦定理得3a=2b.在ABC中,c2=a2+b2-2abcos C=a2+2a64=4a2,解得a=4,又3a=2b,故b=6.故ABC的面积S=absin C=46=3.(2)依(1)得cosBAC=,又由已知得cosBAC=1-2sin2CAD,所以sinCAD=,故sinADC=sin(DAC+C)=+=,故=AD=.C组20162018年模拟方法题组方法1正弦定理和余弦定理的应用方法1.(2017广东七
