1、2015高中数学 2.2直接证明与间接证明练习 新人教A版选修2-2 一、选择题1(2013陕西理，7)设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D不确定答案B解析由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A，所以，sin(BC)sin2A，sinAsin2A，而sinA0，sinA1，A，所以ABC是直角三角形2(2013浙江理，3)已知x、y为正实数，则()A2lgxlgy2lgx2lgy B2lg(xy)2lgx2lgyC2lgxlgy2lgx2lgy D2lg(xy)2l
2、gx2lgy答案D解析2lg(xy)2(lgxlgy)2lgx2lgy.3设a、bR，且ab，ab2，则必有()A1abBab1Cab1 D1ab答案B解析ab2(ab)4设0x1，则a，b1x，c中最大的一个是()AaBbCcD不能确定答案C解析因为bc(1x)0，所以b2x0，所以b1xa，所以abx0，且xy1，那么()Axy2xy B2xyxyCx2xyy Dx2xyx0，且xy1，设y，x，则，2xy.所以有x2xy0，b0，mlg，nlg，则m与n的大小关系为_答案mn解析因为()2ab2ab0，所以，所以mn.8设a，b，c，则a、b、c的大小关系为_答案acb解析b，c，显然b
3、c，而a22，c2828c.也可用ac20显然成立，即ac.9如果abab，则实数a、b应满足的条件是_答案ab且a0，b0解析abababab0a()b()0(ab)()0()()20只需ab且a，b都不小于零即可三、解答题10(2013华池一中高三期中)已知nN*，且n2，求证：.证明要证，即证1n，只需证n1，n2，只需证n(n1)(n1)2，只需证nn1，只需证01，最后一个不等式显然成立，故原结论成立一、选择题11(2013大庆实验中学高二期中)设函数f(x)的导函数为f (x)，对任意xR都有f (x)f(x)成立，则()A3f(ln2)2f(ln3)B3f(ln2)0)，则F(x
4、)，x0，lnxR，对任意xR都有f (x)f(x)，f(lnx)f(lnx)，F(x)0，F(x)为增函数，320，F(3)f(2)，即，3f(ln2)2f(ln3)12要使成立，a、b应满足的条件是()AabbBab0且abCab0且a0且ab或ab0且ab答案D解析ab33ab.0时，有，即ba；当ab，即ba.13(2014哈六中期中)若两个正实数x、y满足1，且不等式x0，y0，1，x(x)()2224，等号在y4x，即x2，y8时成立，x的最小值为4，要使不等式m23mx有解，应有m23m4，m4，故选B.14(2014广东梅县东山中学期中)在f(m，n)中，m、n、f(m，n)N
5、*，且对任意m、n都有：(1)f(1,1)1，(2)f(m，n1)f(m，n)2，(3)f(m1,1)2f(m,1)；给出下列三个结论：f(1,5)9；f(5,1)16；f(5,6)26；其中正确的结论个数是()个()A3B2C1D0答案A解析f(m，n1)f(m，n)2，f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，f(m，n)f(m,1)2(n1)又f(1,1)1，f(1,5)f(1,1)2(51)9，又f(m1,1)2f(m,1)，f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，f(m,1)f(1,1)2m12m1，f(5,1)25116，f(5,6)f(5,1)2(6
6、1)161026，都正确，故选A.二、填空题15若sinsinsin0，coscoscos0，则cos()_.答案解析由题意sinsinsincoscoscos，两边同时平方相加得22sinsin2coscos12cos()1，cos().三、解答题16已知a、b、c表示ABC的三边长，m0，求证：.证明要证明，只需证明0即可，a0，b0，c0，m0，(am)(bm)(cm)0，a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2，ABC中任意两边之和大于第三边
7、，abc0，(abc)m20，2abmabc(abc)m20，.17求证：2cos().证明要证明原等式成立即证明sin(2)2sincos()sin，又因为sin(2)2sincos()sin()2sincos()sin()coscos()sin2sincos()sin()coscos()sinsin()sin.所以原命题成立选修2-2第二章2.22.2.2 一、选择题1(2014微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果ab0，那么a2b2”时，假设的内容应是()Aa2b2Ba2b2Ca2b2 Da2b2，且a2b2答案C2设实数a、b、c满足abc1，则a、b、c中至少有一个数不小于()A
8、0BCD1答案B解析三个数a、b、c的和为1，其平均数为，故三个数中至少有一个大于或等于.假设a、b、c都小于，则abc6，但(a)(b)(c)(a)(b)(c)2(2)(2)6，矛盾6若m、nN*，则“ab”是“amnbmnanbmambn”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案D解析amnbmnanbmambnan(ambm)bn(bmam)(ambm)(anbn)0或，不难看出ab/ amnbmnambnanbm，amnbmnambnbman/ ab.二、填空题7“x0且y0”的否定形式为_答案x0或y0解析“p且q”的否定形式为“p或q”8和
9、两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是_答案异面解析假设AC与BD共面于平面 ，则A，C，B，D都在平面内，AB，CD，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面9在空间中有下列命题：空间四点中有三点共线，则这四点必共面；空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；垂直于同一直线的两直线平行；两组对边分别相等的四边形是平行四边形其中真命题是_答案解析四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故假；空间四边形ABCD中，可以有AB
10、CD，ADBC，例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故假三、解答题10(2013泰州二中高二期中)已知n0，试用分析法证明：.证明要证上式成立，需证2，需证()2(2)2，需证n22n，需证n22n1n22n，只需证10，因为10显然成立，所以原命题成立一、选择题11设a、b、cR，Pabc，Qbca，Rcab，则“PQR0”是P、Q、R同时大于零的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案C解析若P0，Q0，R0，则必有PQR0；反之，若PQR0，也必有P0，Q0，R0.因为当PQR0时，若P、Q、R不同时大于
11、零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P0，Q0，即abc，bca，两式相加得b0，Q0，R0.12若x、y0且xy2，则和的值满足()A和中至少有一个小于2B和都小于2C和都大于2D不确定答案A解析假设2和2同时成立因为x0，y0，1x2y且1y2x，两式相加得1x1y2(xy)，即xy2，这与xy2相矛盾，因此和中至少有一个小于2.13已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线答案C解析假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线故应选C.二、填空题14
12、用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180相矛盾，则AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A、B、C中有两个角是直角，不妨设AB90.正确顺序的序号排列为_答案解析由反证法证明的步骤知，先反设即，再推出矛盾即，最后作出判断，肯定结论即，即顺序应为.三、解答题15求证：1、2不能为同一等差数列的三项证明假设1、2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，则1md,2nd，其中m，n为两个正整数，由上面两式消去d，得n2m(nm)因为n2m为有理数，而(nm)为无理数，所以n2m(nm)，矛盾，因此
13、假设不成立，即1，2不能为同一等差数列的三项16.如图所示，在ABC中，ABAC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上证明假设点M在线段CD上，则BDBMCMCD，且AB2BD2AD2，AC2AD2CD2，所以AB2BD2AD2BM2AD2CD2AD2AC2，即AB2AC2，所以ABAC矛盾，故假设错误所以点M不在线段CD上17已知函数f(x)是(，)上的增函数，a、bR.(1)若ab0，求证：f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论解析(1)证明：ab0，ab.f(x)在R上单调递增，f(a)f(b)同理，ab0baf(b)f(a)两式相加即得：f(a)f(b)f(a)f(b)(2)逆命题：f(a)f(b)f(a)f(b)ab0.下面用反证法证之假设ab0，那么：f(a)f(b)f(a)f(b)这与已知矛盾，故只有ab0.逆命题得证10
