1、第三章 系统的数学模型,许多动态系统，不管它们是机械的、电气的、热力的、液压的，还是经济学的、生物学的等，都可以用微分方程加以描述如果对这些微分方程求解，就可以获得动态系统对输入量(或称作用函数)的响应系统的微分方程，可以通过支配着具体系统的物理学定律，例如机械系统中的牛顿定律，电系统中的基尔霍夫定律等获得,研究和分析一个系统，不仅要定性地了解系统的工作原理及其特性，而且更要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。这就是要求建立系统的数学模型 无论是机械、电气、流体系统，还是热力系统或其他系统，一般都可以用微分方程这一数学模型加以描述。将系统的微分方程转化为系统的传
2、递函数形式或状态空间形式的数学模型，极有利于系统的分析、综合和识别。 微分方程是在时域中分析描述系统动态特性的数学模型。,数学模型：系统动态特性的数学表达式、叫做数学模型要分析动态系统，首先应推导它的数学模型我们必须牢牢记住，推导一个合理的数学模型，是整个分析过程中最重要的事情,本章重点,第一节 引言 第二节 系统的微分方程 第三节 系统的传递函数 第四节 系统的传递函数方框图及其简化 第五节 反馈控制系统的传递函数 第六节 相似原理,内容提要,系统微分方程的列写 传递函数 的概念、特点及求法 典型环节的传递函数 传递函数方框图的绘制及简化,本章难点,系统微分方程的列写 传递函数方框图的绘制及
3、简化,第1节 引言,分析法：根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式，从而建立数学模型。 例如：建立电网的数学模型欧姆定律、基尔霍夫定律；建立机械系统的数学模型牛顿定律、虎克定律；建立电动机的定律就要用到上述几个定律；建立流体系统的数学模型还需要应用流体力学的第一、第二等定律。实验法：根据实验数据，进行归纳整理，并拟合出比较接近实际的数学模型。合理的数学模型是指它具有最简化的形式，但又能正确地反映所描述系统的特性。,线性系统可以用叠加原理：将每个输入量的结果叠加得到系统的总输出。 非线性系统不能应用叠加原理：局部线性化,系统的微分方程是在时域内用来描述系统、输入和输出三者之间动态关系的
4、数学模型。若能对系统的微分方程求解，则可得到系统的输出随时间而变化的动态过程。,第2节 系统的微分方程,2.2.1 列写微分方程的一般方法 2.2.2 微分方程的增量化表示 2.2.3 非线性微分方程线性化,3.2.1 列写微分方程的一般方法,列写系统或元件微分方程的一般步骤为： (1)根据研究问题需要，确定系统或元件的输入量和输出量； (2)按照信号的传递顺序，从系统的输入端出发，根据有关定律分方程；列写出各个环节的动态微分方程； (3)消除上述各方程式中的中间变量，最后得到只包含输入量与输出量的方程式； (4)将与输入有关的项写在微分方程的右边，与输出有关的项写在微分方程的左边，并且各阶导
5、数项按降幂排列。（5）实验验证。,1.机械系统,机械系统中部件的运动，有直线运动、转动或二者兼有，列写机械系统的微分方程常用达朗贝尔原理和牛顿第二定律。 达朗贝尔原理：作用于每一个质点上的合力，同质点惯性力形成平衡力系，用公式可表达为：牛顿第二定律：物体的加速度与其所受的合外力成正比，与其质量成反比，而且加速度与合外力的方向相同，可用公式表示为：,3.2.2系统的微分方程典型的物理定律,例3：,例2：,电网络系统：,机械系统不仅常常与液压、气动等系统紧密结合，而且与电系统也常常是密不可分的。在解决机械工程中的控制问题时往往需应用电网络分析的基本理论。电网络分析基础主要是根据基尔霍夫电流定律和基
6、尔霍夫电压定律，写出微分方程式，进而建立系统的数学模型。,不考虑负载效应，RC网络方程独立列写如下：,消去中间变量：,所得方程不能正确反映物理问题，因而方程有误。,例5：直流电动机,3.2.3 小偏差线性化原理,实际系统的组成元件，其输入输出特性总是不同程度地存在着非线性关系。为了讨论方便，在有可能的条件下，一般希望将非线性关系简化为线性关系。如果非线性成都很小，则可忽略非线性因素的影响。如果非线性特性是可导的连续函数关系，即是非本质非线性特性，则可应用小偏差差将其线性化。,由于非线性理论分析方法不成熟,往往只能在一定条件下将非线性系统简化为线性系统. 原理:系统在某平衡点附近偏差很小,因此只
7、要在预定工作点处有导数或偏导数,则可按Taylor级数展开,当偏差很小时,可以忽略高次项,只剩下一次项,最后获得以此偏差为变量的线性函数.,液压伺服机构,q为负载流量；p为负载压降（pp1-p2）；x，y分别为阀芯的位移和活塞的位移；A为活塞面积；c为粘性阻尼系数。,作小偏差线性化时应注意：（1）必须明确系统的工作点 （2）变量偏离预定工作点很小； （3）正确区别本质非线性和非本质非线性； （4）线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。,增量化方程和原方程形式上是一样的，不同的在于增量化方程的变量是以平衡状态为基础的增量，即把各变量的坐标零点放在原平衡点上。 这样，在求解增量化表示的方程时
8、，就可以把某些初始条件变为零，这无疑对研究问题带来了许多方便。因此控制系统的微分方程一般都用增量化方程来表示。,若电动机工作过程中ML=常量，则增量化方程化为：,即转速变化只与电枢电压有关。习惯上通常写成：,若电动机工作过程中ua=常量，则增量化方程化转速变化只与负载力矩有关，即,依据以上两个公式，可以分别研究转速随电枢电压（输入电压）的变化关系，或转速随负载力矩的变化关系。,液压伺服机构,q为负载流量；p为负载压降（pp1-p2）；x，y分别为阀芯的位移和活塞的位移；A为活塞面积；c为粘性阻尼系数。,1）明确系统的输入与输出：输入为x，输出为y。 2）3）非线性函数线性化：（1）确定系统预定
9、工作点：设为（x0，p0，q0）,列写原始微分方程：,负载m的动力学方程：,流量连续性方程：,流量q、压力p以及阀芯位移x是非线性关系：,（2）展开成Taylor级数形式：,作小偏差线性化时要注意几点：,(1)必须明确系统的工作点，因为不同的工作点所得线性化方程的系数不同； (2)如果变量在较大的范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，除工作点外的其他工况势必有较大的误差。所以非线性模型线性化是有条件的，即变量偏离预计工作点很小； (3)如果非线性函数是不连续的，不连续点不能得到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化；这类非线性称为本质非线性； (4)线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程
10、,小偏差法线性化的原理就是：当系统的工作状态偏离其平衡状态的偏差足够小时，系统中的非本质非线性函数关系，可在变量的工作点附近按泰勒公式展开，并只保留至增量的一次项，从而将非线性函数关系在工作点附近的小范围内近似化为线性函数关系。 应用小偏差法将实际系统中的非线性因素线性化后，所建立的微分方程的变量，是相对于工作点的增量。这种变量是增量的微分方程，应该称为增量微分方程。,3.3 系统的传递函数,3.3.1 传递函数基本概念 3.3.2 传递函数的零点、极点和放大系数 3.3.3 典型环节传递函数,3.3.1 传递函数基本概念,对于线性定常系统，传递函数是一种常用的数学模型。 定义：在零初始条件下
11、，系统输出的LapIace变换与引起该输出的输入量的LapIace变换之比。,G(S),传递函数具有以下特点： (1)传递函数的分母反映了由系统的结构与参数所决定的系统的固有特性，而分子则反映了系统与外界之间的联系。 (2)当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的Laplace变换完全取决于其传递函数。但是，一旦系统的初始状态不为零，则传递函数不能完全反映系统的动态历程。 (3)传递函数分子中的阶次不会大于分母的阶次。 (4)传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与输入的量纲。,(5)不同用途、不同物理元件组成的不同类型系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递函数。 (6
12、)传递函数非常适用于对单输人、单输出线性定常系统的动态特性进行描述。但对于多输入、多输出系统，需要对不同的输入量和输出量分别求传递函数。另外，系统传递函数只表示系统输入量和输出量的数学关系(描述系统的外部特性)，而未表示系统中间变量之间的关系(描述系统的内部特性)。针对这个局限性，在现代控制理论中，往往采用状态空间描述法对系统的动态特性进行描述。 (7)传递函数的零极点分布决定系统的响应过渡过程。,典型函数的传递函数-RC网络,传递函数列写的大致步骤：,方法一（1）列写系统的微分方程（2）在零初始条件下取拉氏变换（3）求输出与输入拉氏变换之比,方法二（1）列写系统中各变量间的关系式（2）在零初
13、始条件下求拉氏变换（3） 消去中间变 量，求输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。,相似原理,3.3.2 传递函数的零点、极点和放大系数,将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“”表示。,传递函数的一般表达形式：,3.3.4 典型环节传递函数,具有比例运算关系的元部件称为比例环节。,控制系统通常由若干个基本部件组合而成，这些基本部件称为典型环节。,方块图为:,首先，建立微分方程。由于运算放大器的输入阻抗很高，所以运算放大器的输入电流ig可以忽略不计，根据基尔霍夫电流定律，有i=if+ig=if由于运算放大器的增益很高（106108），
14、所以运算放大器的输入电压Ug可以忽略不计。因此，上式可得然后对该式进行拉氏变换，可得再根据传递函数的定义，即得上右式。再根据传递函数的定义，即得：,其它一些比例环节,2.惯性环节,定义:惯性环节的微分方程是一阶的,且输出响应需要一定的时间才能达到稳态值，故称为一阶惯性环节。,特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。,运动方程为：,传递函数为：,其中，T -惯性环节的时间常数。,方块图为:,其它一些惯性环节,3.微分环节,4.一阶微分环节,5.二阶微分环节,微分环节的控制作用 （1）使输出提前 （2）增加系统阻尼 （3）强化噪声,6.积分环
15、节,当输入量为ur(t)时，输出量为uc(t)时， 有微分方程：,则传递函数,7.振荡环节,特点：振荡环节是由二阶微分方程描述的系统。包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。,方块图为:,运动方程为:,传递函数为：,其中， T 和 是系统的特征参数,例 机械装置,输入：外力f(t);输出：位移x(t) 微分方程：,8.延迟环节,讨论：延时环节与惯性环节的不同。延时环节与死区的不同。,惯性环节与延迟环节的区别：惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；延迟环节从输入开始后在0 时间内没有输出，但t
16、=之后，输出完全等于输入。,4）同一个系统，当选取不同的输入量、输出量时，就可能得到不同形式的传递函数。,例如电容：输入电流，输出电压，则是积分环节。输入电压，输出电流，则为微分环节。,第4节 系统的传递函数方框图及其简化,一、传递函数方框图 二、传递函数方框图的等效变换 三、传递函数方框图简化的一般步骤,3.4.1传递函数方框图,将组成系统的各个环节用传递函数方框图表示，并将相应的变量按信息流向连接起来，就构成系统的传递函数方框图。,建立系统方框图的步骤如下：(1)建立系统(或元件)的原始微分方程； (2)对这些原始微分方程在初始状态为零的条件下进行aplace变换，并根据各个变换式的因果关
17、系分别绘出相应的方框图； (3)从系统的输入量与主反馈信号进行叠加的比较环节开始，沿信号流动的方向，通过传递函数方框将所有的中间变量之间的关系一一画出，直至画出系统的输出量与主反馈信号。,例：,例：,3.4.2 传递函数方框图的等效变换,等效变换：变换前后输入输出总的数学关系保持不变。,、方框图反馈连接及其变换准则,几点说明： （）相加点B(s)处符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈； （）闭环传递函数量纲取决于Xo(s)与Xi(s)的量纲； （）H(s)=1时，称单位反馈，此时GB(s)=G(s)/(1G(s)； （）前向通道传函，反馈通道传函，开环传函只是闭环系统中一部分环节或元件的
18、传函，闭环传函才是这个系统的传函。,注意：分支点和相加点之间不能互相移动，因为它们不等效。,三、传递函数方框图简化的一般步骤,(1)确定系统的输入量和输出量。如果作用在系统的输入量有多个，则必须分别对每一个输入量(此时，假设其他输入均为零)，逐个进行方框图的简化，求得各自的传递函数。对于具有多个输出量的情况，也要分别进行变换，求取各自的传递函数。 (2)若方框图中有无交叉的多个回路，则根据环节串联、并联和反馈连接的等效原则从里到外进行简化。 (3) 若方框图中有交叉的连接，则根据相加点、分支点等移动规则消除交叉回路，然后按步骤进行简化。,方框图综合等效变换示例 1：,将G2、G3及H2点等按串
19、联和反馈规则变换,H(s)=1,简化公式求取：,二者比较得如下公式:,系统的数学模型传递函数方框图及简化,简化公式应用的前提条件：,1)整个方框图只有一条前向通道；,2)各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。,若不满足以上两个前提条件，应先按等效规则和移动规则进行简化。,利用简化公式上述原则直接求取可得:,系统的数学模型传递函数方框图及简化,方框图综合等效变换示例 2：,本例特点：,交叉反馈且具有多回路,化简策略：,先移动支点，然后采用串、并及反馈等综合方法。,系统的数学模型传递函数方框图及简化,（1),系统的数学模型传递函数方框图及简化,（3),系统的数学模型传递函数方框图及简化,（5),
20、系统的数学模型传递函数方框图及简化,（7),其实化简到第三步，就已经满足公式的两个条件，可以利用公式求解啦！,系统的数学模型传递函数方框图及简化,例：,例：,哈工大2001年研究生入学考试试题,已知系统的结构图，求系统的等效闭环传递函数及等效开环传递函数。,College of mechanical & electronic engineering,有2条前向通路，传递函数分别为 P1 =s 1/(Ts+1) K2/s P2 =K1/s 1/(Ts+1) K2/s, 1 =1, 2 =1,若将原系统等效为单位反馈系统，则,对应的等效开环传递函数,第五节 反馈控制系统的传递函数,考虑扰动的反馈控制系统的传递函数,Xi(s)到Xo(s)的信号传递通路称为前向通道； Xo(s)到B(s)的信号传递通路称为反馈通道；,例：,第六节 相似原理,
