1、,1.重点,事件间的关系、事件运算性质,古典概型的概率计算方法,概率的加法公式,条件概率和乘法公式的应用,全概率公式和贝叶斯公式的应用,2.难点,古典概型的概率计算 全概率公式的应用,第一章 概率论的基本概念,概率的定义、性质,1、事件表达,解1(列举):,A,B,C中不多于一个事件出现;,证明,证明：,2、事件的相互独立性,P25:,(1) 在古典概型的随机试验中,( ),(2) 若事件 A, B, C , D 相互独立, 则,事件,(3) 若事件 A 与 B独立, B 与 C独立,则事件 A与 C 也相互独立. ( ),事件相互独立不具有传递性.,3、条件概率的性质,4、乘法定理,练习1：
2、袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了n次都未取出黑球的概率 解：,则,5、全概率公式；贝叶斯公式.,P25 19（1）（2）；22（2）: 把第一次。结果作为划分,解,练习2：,第二章 随机变量及其分布,1.重点,(0-1)分布、二项分布和泊松分布的分布律,正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、 密度函数及有关区间概率的计算,2.难点,连续型随机变量的函数的概率密度的求法,：确定X及其分布，A=XL ：PXL= F(x) 【分布律、f(x)】性质、 各种概率类型F(x)的规律。,离散型利用分布律：,连续型利用f(x)
3、,F(x),( xR ),1、,P56 13、14、15-“主线”、解题步骤！,2、分布函数 (1)定义,即任一分布函数处处右连续.,(2)性质,例2-2 求分布函数,( xR ),固定模式,互求、比较,离散型随机变量分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,) 处有跳跃， 其跳跃值为 pk=PX= xk.,解,练习3：,从而 X 的分布律为,分布函数:,4、均匀分布,5、指数分布,无记忆性：,6、正态分布,练习4,解,则有实根的概率为,练习5：,练习6：,7、随机变量的函数的分布,(1)离散型随机变量的函数的分布,连续型,方法1,P53例5,定理续：,练习7：,P59 35
4、,解3,34,P59,第三章 多维随机变量及其分布,1.重点,二维随机变量的分布,边缘分布，条件分布,有关概率的计算和随机变量的独立性,2.难点,条件概率分布,随机变量函数的分布,1、离散型,2、连续型,3、分布函数的性质,且有,4、f(x,y)性质,例3-1,解,(2),解,例3-3,解：第一步：,第二步：,-1y1时，,第三步：fX|Y(x|y),固定的y,P85 9+13,1,、设二维随机变量,(X,Y),的概率密度为,（,1,）试确定,C;,（,2,）求边缘概率密度,;,（,3,）求条件概率密度,，特别地，,写出当,x=1/2,时的条件概率密度,;,（,4,）求条件,概率,2,1,|,
5、4,3,=,X,Y,P,5、随机变量的相互独立性,.,),(,),(,),(,的,是,和,则称随机变量,有,若对于所有,相互独立,Y,X,y,F,x,F,y,x,F,y,x,Y,X,=,P86 14、16(2),解：,(3)判断独立性,（续）,（续）,(3)不独立,X, Y 独立时,22/,1.重点,数学期望的性质和计算,2.难点,数字特征的计算,方差的性质和计算,相关系数的性质和计算,第四章 随机变量的数字特征,1、,某银行开展定期定额有奖储蓄, 定期一年, 定额60元, 按规定10000个户头中, 头奖一个, 奖金500元; 二奖10个, 各奖100元; 三奖100个, 各奖10元; 四奖
6、1000个, 各奖2元, 某人买了五个户头, 他期望得奖多少元?,解,因为任何一个户头获奖都是等可能的,分布列为,例3-1,2、随机变量函数的数学期望,（P95 证明）,解,例3-2,P113 7,3、方差的计算,5、常用分布的期望、方差,例3-4,解：,先求：,则：,7、,8、,相关系数定理,(1) 不相关与相互独立的关系,注意,相互独立,(2) 不相关的充要条件,解,例3-5,解,例3-6,9、契比雪夫不等式 Chebyshev,10、n维正态变量的性质 (P51,73,77,78,112,138),“矩”（总体矩）,样本矩：,辛钦：,Ch5 大数定律,近似N(0,1),TH1 推论(De
7、 MoivreLaplace 定理3),近似N(0,1),（题型1总结）,1、题目背景中都有：“总和”、“总额”、“平均”,2、设出独立同分布的X1,X2,X3,Xn（注:TH2不同）并求出E(Xi)，D(Xi),某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.,解,设 X 为一年中投保老人的死亡数,例5-1,亏本的概率,P126 5,6,7,简单随机样本的联合分布,第六章 样本及抽样分布,解,例6-1,3、常用统计量的抽样分布,则,由“独立同分布的中心极限定理”，n充
8、分大时,定理一,定理二,定理三,定理四,第七章 参数估计,1、矩估计,-用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩估计法.,2、最大似然估计的步骤:,10 总体的分布,20 定义似然函数,30 求使似然函数最大的,最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况. 此时：,对数似然方程,解1：矩估计,作业P173 5 矩估计、最大似然估计,2：最大似然估计,解:,作业P173 2(1),3(1),4(1,2),5,7(1),10 总体分布,20 似然函数,30 求使似然函数最大的,4(2),这一估计量与矩估计量是相同的.,练习P173 7(1)：求PX=
9、0的最大似然估计,解,估计量的标准,练习：,证,例7-1,证明,例 (续例7-1),步骤:,区间估计的一般方法,解1,例7-2,设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信度为0.95的单侧置信下限.,解,例1,1）,2）在H0为真的假设下，选取恰当统计量，构造一个小概率事件（完全合理的推导！）,3）拒绝域为：,4）根据样本观测值做出判断：若一次试验中*居然发生，则由“小概率事件原理”否认H0；否则接受H0,CH8 假设检验,拒绝域：,拒绝域：,故接受H0,求平均寿命的置信度为0.95的单侧置信下限.,解法2：,=198.23,
