1、肇庆市中小学教学质量评估20122013 学年第一学期统一检测题高三数学（理科）注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.参考公式：1、锥体的体积公式 13VSh，其中 S 为锥体的底面积， h为
2、锥体的高。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设 zi（ 是虚数单位） ，则 2z ( )A 2 B 3 C i D i 2已知集合 1,2m， 3,4B， 1,234AB则 m（ ）A. 0 B. 3 C. 4 D. 3 或 43已知向量 (,cos),(12cos)ab且 ab，则 cos等于 （ ）A. 1 B.0 C . D. 24已知变量 ,xy满足约束条件10xy，则 3zxy的取值范围是（ ）A. 8, B. 8,2 C. 4,2 D. 4,85图 1 是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是
3、 27，则判断框处应填入的条件是 ( )A. 2n B. 3 C. n D. 5n6已知某个几何体的三视图如图 2 所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，则这个几何体的体积是( ). A. 38cm B. 31cm C. 34cm D. 372cm710x的展开式中含 x的正整数指数幂的项数是( )A.0 B.2 C.4 D.68.定义空间两个向量的一种运算 sin,abab，则关于空间向量上述运算的以下结论中， ab， ()(， ()()()cbc，若 12(,),xy，则 121xy.恒成立的有A1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小
4、题，每小题 5 分，满分 30 分. （一）必做题（913 题）9不等式 3|52|9x的解集是 .10等比数列 na中， 12340,a，则 56a等于 11函数 3()fxx在区间 ,2上最大值为 12圆心在直线 7y上的圆 C 与 x轴交于两点 (2,0)A、 (4,)B，则圆 C 的方程为_.13某班有学生 40 人，将其数学期中考试成绩平均分为两组，第一组的平均分为 80 分，标准差为4，第二组的平均分为 90 分，标准差为 6， 则此班 40 名学生的数学期中考试成绩平均分 方差为 （ ） 14 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系 ,（ 0,2）中，曲线 2sin与2cos的交点
5、的极坐标为_15.（几何证明选讲选做题）如图 3,ABC 的外角平分线 AD 交外接圆于 D, 4BD，则 C .三、解答题:本大题共 6 小题，满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分 12 分）已知向量 sin,cos,cs,in36xAab，函数 ()fxAab（ 0,xR） ，且(2)f.（1）求函数 ()yf的表达式；（2）设 ,0,2， 16(3),5f52033f；求 cos的值17.（本小题满分 12 分）2012 年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法
6、抽取 40 名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段： 60,5),70,5)7,80,5)85,90)后得到如图 4 的频率分布直方图问：（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. （3）若从车速在 6,7)的车辆中任抽取2 辆，求抽出的 2 辆车中速车在 65,70)的车辆数 的分布列及其均值（即数学期望） 18. （本题满分 14 分）如图 5，在四棱锥 PABCD中，底面为直角梯形， /,90ADBC， PA垂直于底面ABCD， 2,MN分别为 P的中点。 (1)求证： ；（2）求平面 与平面 所
7、成的二面角的余弦值；（3）求点 B到平面 的距离. 19.（本小题满分 14 分）某产品在不做广告宣传且每千克获利 a元的前提下，可卖出 b千克。若做广告宣传，广告费为 n千元时比广告费为 (1)n千元时多卖出 nb2千克， （ N） 。（1）当广告费分别为 1 千元和 2 千元时，用 表示销售量 s；（2）试写出销售量 s与 的函数关系式；（3）当 a=50, b=200 时厂家应生产多少千克这种产品，做几千元广告，才能获利最大？20. （本小题满分 14 分）已知两圆 2 212:0,:(1)4CxyCxy的圆心分别为 12,C， P为一个动点，且12|PC.(1）求动点 的轨迹 M 的方
8、程；（ 2）是否存在过点 (2,0)A的直线 l 与轨迹 M 交于不同的两点C、D，使得 1|D？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.21 （本小题满分 14 分）已知函数 2()xfxae，其中 是自然对数的底数， aR（1）当 0时，解不等式 (0f；（2）当 时，求整数 t的所有值，使方程 ()2fx在 ,1t上有解；（3）若 ()fx在 1,上是单调增函数，求 a的取值范围肇庆市中小学教学质量评估20122013 学年第一学期统一检测题高三数学（理科）参考答案1D 解析： 212zii2D 解析： m3 或 43B 解析: 2cos0cos0ab.4A 解析：约束条件对应
9、的三个 “角点”坐标分别为： (1,),2)(1,)ABC ，则238,4zxy5B 解析:由框图的顺序，s=0 ， n=1，s=(s+n)n=(0+1)*1=1 ，n=n+1=2，依次循环 s=(1+2)*2=6，n=3，注意此刻 33 仍然是否，所以还要循环一次 s =(6+3)*3=27，n=4，此刻输出 s=27.6B 解析：三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥，底面是底边长为 6 高为 4 的等腰三角形，三棱锥的高为 3，所以，这个几何体的体积 1643122V7B 解析：展开式通项为 Tr+1=01010()()rrrrCxCx，若展开式中含 x的正整数指数幂，即 r235N
10、 *,且 01,rN,所以 2r.8B 解析： 恒成立； ()absin,ab， ()bsin,ab，当 0时，()ab不成立；当 ,c不共面时， ()()()cc不成立，例如取 ,c为两两垂直的单位向量，易得 ()2， 2ab；由 sin,ab， cos,Aab，可知 22()(Aabab，2()2222112121()(xyxyxy，故 121xy恒成立.9 填： ,)4,7( 解析：不等式 3|5|9等价于|5|321472xxx或或10 解析： 80 122304aq， 45235611()80aqaqa11 解析： 3 (),3fxx， 4(0),),(fff12 解析： 22(5y
11、 直线 AB 的中垂线方程为 3x，代入 270xy，得y，故圆心的坐标为 (3,)C，再由两点间的距离公式求得半径 |5rAC， 圆 C 的方程为 22(3)()xy13 解析:85， 51 成绩平均分 85 ，方差为 5114 解析： 2,4 两式相除得 tan2sin44，交点的极坐标为,15 解析:4 A、B、C、D 共圆,DAE=BCD.又 = ,DAC=DBC.而DAE=DAC,DBC=DCB.CD= 4BD.16 解析：（1）依题意得 ()sincosin3636xxfAsi36xA (2 分)又 (2)f得 2sin36,即 5i2， 4 (4 分) ()4ixf (5 分)（
12、2）由 16(3)5f得 164sin(3)5，即 164sin25 4cos, (7 分)又 02, sin5， (8 分)由 5313f得 5204i()613,即 5sin(13 sin, (10 分)又 02, 2cos1341235cos()ins6 (12 分)17 解:（1）系统抽样 (2 分) （2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于 7.5 (4 分)设图中虚线所对应的车速为 x，则中位数的估计值为：0.15.20.45.6(75)0.，解得 7.5x即中位数的估计值为 7 (6 分)（3）从图中可知，车速在 60,5)的车辆数为： 10.542m（辆） ，(
13、7 分)车速在 65,70)的车辆数为： 2.4（辆） (8 分) 12， 046()5CP，12468()5CP，0246()15CP，的分布列为0 1 2585(11 分)均值 864()01253E. (12 分)18 解：（1）证明：因为 N是 PB的中点， AB， 所以 NPB (1 分) 由 PA底面 CD，得 ， (2 分)又 90B，即 A，又 ,在平面 内， (3 分)平面 ，所以 ， (4 分)又 ,AN在平面 M内，PB平面 D， PB。 (5 分)（2）方法一：由（1）知， 平面 A，所以 NAD ，由已知可知，所以 BAN是平面 DM与平面 BC所成的二面角的平面角
14、(6 分)在直角三角形 P中， 22P (7 分)因为 直角三角形 斜边 的中点，所以 AN (8 分)在直角三角形 NAB中， 2cosB (9 分)即平面 DM与平面 C所成的二面角的余弦值为 . (10 分)方法二：如图建立空间直角坐标系，则 (0,)(1,)AN， (0,2)D(1,0)AN， (0,2)D(6 分)设平面 M的法向量为 ,nxyz，则 0nA即 02xzy，令 1，则 ，所以平面 ADN的一个法向量为 (1,0)n 显然 (0,)a是平面 BC的一个法向量 (7 分)设平面 M与平面 所成的二面角的平面角为 ，则2cos|naA(9 分)即平面 DN与平面 BC所成的
15、二面角的余弦值为 2. (10 分)(3)由已知得， 25ACB (11 分)112333PABVS(12 分)设点 到平面 的距离为 h，则 52BACPAPh (13 分)由 PABPV，即 53h，得 即点 到平面 的距离 2. (14 分)19 解：（1）当广告费为 1 千元时，销售量 32bs (2 分)当广告费为 2 千元时，销售量 74sb (4 分)（2）设 0s表示广告费为 0 千元时的销售量，由题意得 nnbss22112， (7 分)以上 个等式相加得 023nbs (8 分)即 23nbs 12nb(10 分)（3）当 a=50, =200 时，设获利为 nT,则有11
16、020n nTs(11 分) 欲使 n最大，则 1nT，即1102020(1)1nn (12 分)得 24n， 故 3,此时 50s即该厂家应生产 350 千克产品，做 3 千元的广告，能获利最大。 (14 分)20 解：（1）两圆的圆心坐标分别为 1(,)C和 2(1,0) （2 分） 122|PC根据椭圆的定义可知，动点 P的轨迹为以原点为中心， 1(,0)C和 2(1,)为焦点，长轴长为2a的椭圆， 22,1acbac （4 分）椭圆的方程为2xy，即动点 的轨迹 M 的方程为21xy(6 分)（2）(i)当直线 l 的斜率不存在时，易知点 (2,0)A在椭圆 M 的外部，直线 l 与椭
17、圆 M 无交点，所以直线 l 不存在。 （7 分）（ii）设直线 l 斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 (2)ykx （8 分） 由方程组21()xyk得 22()80x （9 分） 依题意 2810解得 2k （10 分）当 k时，设交点 12(,)(,)CxyD，CD 的中点为 0(,)Nxy，方程的解为21288,44kx，则212041xk 022()1ykkk （11 分）要使 1|CD，必须 1CNl，即 1CN （12 分）2401k，即 20k 2或， 21无解 （13 分）所以不存在直线 l，使得 1|CD综上所述，不存在直线 l，使得 1| （14 分）21 解：(
18、1)因为 e0x，所以不等式 ()0fx即为 20ax，又因为 0a，所以不等式可化为1()0xa，所以不等式 ()0fx的解集为 1,0a (4 分)(2)当 时, 方程即为 e2，由于 ex，所以 0x不是方程的解，所以原方程等价于2ex，令 ()1xh，因为 2()h对于 ,恒成立，所以 ()h在 ,0和 ,内是单调增函数， 又 (1)e30h， 2()e0h，31e， 2()e0h，所以方程 ()2fx有且只有两个实数根，且分别在区间2，和 ， 上，所以整数 t的所有值为 3,1 （8 分）(3) 22()1)e()e()exx xfxaa，当 0时， f， )0f 在 1， 上恒成立，当且仅当 1x时取等号，故符合要求； (10 分)当 a时，令 2()(1)gxax，因为 22()40aa， 所以 ()0gx有两个不相等的实数根 ， 2，不妨设 1x，因此 ()fx有极大值又有极小值若 ，因为 (1)0，所以 ()f在 )， 内有极值点，故 ()f在 ， 上不单调 （12 分）若 0a，可知 120x，因为 ()g的图象开口向下，要使 ()fx在 1， 上单调，因为 (0)1g，必须满足 (1)0,.g 即320,.a所以 203a . 综上可知， 的取值范围是 , (14 分)
