1、8 函数y=Asin(x+)的图像与性质(二),函数y=Asinx+(A0)的性质,k,kZ,1判一判 (正确的打“”，错误的打“”) (1)函数y=Asinax+的周期是 . ( ) (2)函数y=2sin(3x+ )的对称轴是x=k+ ,kZ.( ) (3)函数y=sin(2x+ )在区间,上的最小值一定是 sin .( ),2做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数y=Asin 的周期是_. (2)函数y=sin 的对称轴为_. (3)函数y=sin 2x在区间 上的值域为_.,【解析】1.(1)错误,函数的周期为 (2)错误，函数的对称轴方程为x= ,kZ. (3)错误，要分析函
2、数y=sin(2x+ )在区间,上的单调性 确定最小值，不一定在端点值处取. 答案：(1) (2) (3),2.(1)函数的周期为 答案：4 (2)由 解得函数的对称轴为 答案：,(3)因为x 所以2x 结合图像可得函数的值域为 答案：,【要点探究】 知识点 函数y=Asinx+(A0)的性质 研究函数y=Asinx+性质的基本策略 (1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数.,(2)整体思想：研究当x,时的函数的值域时，应将x+看作一个整体，利用x,求出的范围，再结合y=sin 的图像求值域.,【微思考】 (1)
3、函数y=Asinx+的对称中心有多少个？ 提示：由函数的图像可得函数y=Asinx+的对称中心有无数个. (2)求函数y=Asinx+在,上的值域，当x1=,x2=时的函数值是函数的最值吗？ 提示：不一定，若区间,是函数的单调区间，当x1=, x2=时的函数值是函数的最值，当区间,不是单调区间时，应将x+看作一个整体，结合图像求最值.,【即时练】 已知函数y=sin(x )， (1)函数的对称轴方程为_. (2)函数的对称中心为_. (3)函数在区间0,内的值域为_.,【解析】(1)由x +k,kZ, 得x= +k,kZ. 答案：x= +k,kZ (2)由x =k,kZ, 得x= +k,kZ，
4、 则函数的对称中心是( +k,0),kZ. 答案：( +k,0),kZ,(3)因为0x,故 结合正弦函数的图像得函数的值域为 答案：,【题型示范】 类型一 函数y=Asin(x+)的单调性 【典例1】 (1)(2014聊城高一检测)函数y=3sin(2x- )+2的单调减区 间是( ),(2)函数f(x)=sin(2x )在 上的单调增区间是( ),【解题探究】1.题(1)中解题关键点是什么？ 2.题(2)中y=sin(2x- )在R上的单调增区间是什么？ 【探究提示】1.关键点是将2x- 看成一个整体. 2.由- +2k2x- +2k得- +kx + k(kZ),所以单调增区间是,【自主解答
5、】(1)选D.令 解得 故函数的单调减区间是 (2)选C.令 解得 令k=0，得 故函数在区间 上的增区间是,【延伸探究】本例题(2)中，若函数改为f(x)=sin( 2x)， 求其在 上的增区间. 【解析】f(x)= 故要求增区间，应令 解得 令k=0，得 故函数在区间 上的增区间是,【方法技巧】求解函数y=Asinx+单调区间的四个步骤 (1)将化为正值. (2)根据A的符号确定应代入y=sin 的单调增区间，还是单调减区间. (3)将x+看作一个整体，代入到上述的单调区间中解出x的范围即为函数在R上的单调区间. (4)如果要求函数在给定区间上的单调区间，则给k赋值求单调区间.,【变式训练
6、】将函数g(x)=3sin(2x+ )图像上所有点向左平移个单位，再将各点横坐标缩短为原来的 倍，得到函数f(x) 的图像,则( ) A.f(x)在 上单调递减 B.f(x)在 上单调递减 C.f(x)在 上单调递增 D.f(x)在 上单调递增,【解析】选A.易得f(x)=3cos 4x， 则其单调增区间为 减区间为 故当k=0时，函数在 上单调递减. 【误区警示】本题易出现错选C的情况，出错原因是将余弦函数的单调区间代入错误.,【补偿训练】函数y=sin 的一个单调增区间是( )【解析】选A. 令 解得： 当k=0时，得 故选A.,类型二 函数y=Asin(x+)的值域 【典例2】 (1)(
7、2014宿迁高一检测)当x 时，函数y=2sin(2x+)的值域为_,(2)(2014北京高考)函数f(x)=3sin(2x+ )的部分图像如图所示. 写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值； 求f(x)在区间 上的最大值和最小值.,【解题探究】1.当x 时,2x+ 的范围是什么？ 2.正弦函数在何处取到最值？ 【探究提示】1.2x+ 的范围是 2.正弦函数取最大值时x= +2k,kZ；取最小值时x=,【自主解答】(1)因为x 故2x+ 由正弦函数的图像可知 故1y2. 答案：1,2,(2)f(x)的最小正周期为,x0= ,y0=3. 因为x 所以 于是当2x+ =0,即x=- 时,f(
8、x)取得最大值0; 当 即x=- 时,f(x)取得最小值-3.,【方法技巧】函数y=Asin(x+)+b的值域(最值)的求解策略 1.xR时：把“x+”视为一个整体，结合函数y=Asin x+b中sin x的有界性求其值域. 2.xa,b时：把“x+”视为一个整体，先依据xa,b，求出“x+”的范围，在此基础上类比函数y=Asin x+b值域的求法，结合函数单调性或函数图像求解.,【变式训练】已知函数y=acos(2x+ )+3，x 的最大 值为4，则实数a的值为_ 【解题指南】分 a0及a0两类求解，注意“x ”.,【解析】因为x ，所以 所以-1 当a0， 时，y取得最大值 a+3， 所以
9、 a+3=4，所以a=2. 当a0， =-1时，y取得最大值-a+3， 所以-a+3=4，所以a=-1. 综上可知，满足题意的实数a的值为2或-1. 答案：2或-1,【补偿训练】设f(x)=acos x+b的最大值是1，最小值是-3， 试确定g(x)=bsin(ax+ )的最大值. 【解析】由题意，a0，当a0时， 所以 此时g(x)=-sin(2x+ )，其最大值为1.,当a0时， 所以 此时g(x)=-sin(-2x+ )，其最大值为1. 综上知，最大值为1.,类型三 函数y=Asin(x+)的性质的综合应用 【典例3】 (1)(2013山东高考)将函数y=sin(2x+)的图像沿x轴向左
10、 平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能 取值为( ),(2)(2014扬州高一检测)已知实数a0，给出下列命题： 函数f(x)=asin(2x+ )的图像关于直线x= 对称; 函数f(x)=asin(2x+ )的图像可由g(x)=asin 2x的图像向 左平移 个单位而得到； 若函数f(x)=asin(2x+ +)(xR)为偶函数，则=k+(kZ) 其中正确命题的序号有_(把你认为正确命题的序号都 填上),【解题探究】1.题(1)中若使此函数为偶函数，则函数的名 称应变为什么？ 2.题(2)中函数f(x)=asin(2x+ )在对称轴处的函数值是多 少？ 【探究提示】1.应结合诱
11、导公式，将函数名称变为余弦. 2.函数f(x)=asin(2x+ )在对称轴处的函数值为a，即 sin(2x+ )=1.,【自主解答】(1)选B.将函数y=sin(2x+)的图像沿x轴向左 平移 个单位，得到函数的图像， 因为此时函数为偶函数，所以 即= +k,kZ.故应选B.,(2)对于，因为x= 时， f(x)=asin(2x+ )的值是0，不是最值， 故直线x= 不是函数图像的对称轴，故不正确； 对于，g(x)=asin 2x的图像向左平移 个单位得到所以f(x)= 可由g(x)=asin 2x的图像向左平移个单位而得到，故正确；,对于，若函数f(x)=asin(2x+ +)(xR)为偶
12、函数， 则f(x)可以化简为acos 2x或-acos 2x， 因此 解之得=k+ (kZ)，故正确 答案：,【方法技巧】函数y=Asinx+综合应用的注意点 (1)对于平移问题，应特别注意要提取x的系数，即将x+ 变为(x+ )后再观察x的变化. (2)对于对称性、单调性问题应特别注意将x+看作整体，代入一般表达式解出x的值.,(3)对于值域问题同样是将x+看作整体，不同的是根据x 的范围求x+的范围，再依据图像求值域. (4)对于奇偶性问题，由来确定，=k(kZ)时是奇函 数，=k+ (kZ)时是偶函数.,【变式训练】(2014景德镇高一检测)关于函数f(x)=sin(2x-)(xR)，有
13、下列命题： (1)函数y= 为奇函数 (2)函数y=f(x)的最小正周期为2 (3)t=f(x)的图像关于直线x=- 对称， 其中正确的命题序号为_,【解析】由于f(x)=sin(2x- )(xR), 则 则函数y= 为奇函数，故(1)正确； 由于f(x)=sin(2x- )(xR)的周期是 =，故(2)错误； 由于 所以f(x)在x=- 处取得最小值，故(3)正确 答案：(1)(3),【补偿训练】设函数f(x)=sin(x+)+cos(x+)(0,| )的最小正周期为,且f(-x)=f(x),则( ) A.f(x)在 上单调递减 B.f(x)在 上单调递减 C.f(x)在 上单调递增 D.f
14、(x)在 上单调递增,【解析】选A.由于f(x)=sin(x+)+cos(x+) = 由于该函数的最小正周期为= ,得出=2, 又根据f(-x)=f(x),以及| , 得出= .,因此，f(x)= 若x ,则2x(0,), 从而f(x)在 上单调递减， 若x 则2x 该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确.,【规范解答】综合应用y=Asin(x+)的性质解题 【典例】(12分)(2014吉安高一检测)已知函数f(x)= 2sin(2x+ )+2. (1)已知f()=3，且(0，)，求的值. (2)当x0，时，求函数f(x)的单调递增区间. (3)若对任意的x ，不等式f(x)m
15、3恒成立，求实数 m的取值范围.,【审题】抓信息，找思路,【解题】明步骤，得高分,【点题】警误区，促提升 失分点1：求值时若未将如处表示出来，直接得出=，则会因步骤不全而失分. 失分点2：求x0,上的单调递增区间时，若给k赋值不 全，导致在处只求出 ，则会因漏解而失分. 失分点3：若未能在处将不等式恒成立问题转化为最值问 题，则无法求出m的范围，会因解答不全而失分.,【悟题】提措施，导方向 1.赋值要完整，不能遗漏 研究周期函数时，常常需要先求出一般表达式，再通过赋值求 解，赋值时注意不能遗漏，如本例求出x0,上的单调 递增区间有两个，易漏掉 2.善于转化条件求参数范围 不等式恒成立问题常转化
16、为求出函数的最大值、最小值后代入 不等式求解，如本例中将不等式恒成立转化为f(x)minm-3.,【类题试解】已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,- 0)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，且y=g(x)是偶函数，求m的最小值.,【解析】(1)由题意知A=3, =,=2,所以f =所以2 += +2k,kZ,则= +2k,kZ, 又因为 故= ,所以f(x)=3sin(2x+ ). 由 可得 所以f(x)的单调递增区间为,(2)f(x0)= 故 所以 或 所以x0=k 或x0=k+ ，kZ, 又x00,2,所以x0=0, (3)由条件可得g(x)= 又g(x)是偶函数，所以x=0时，g(x)取最大值或最小值,即 3sin(-2m+ )=3, -2m+ +k,kZ,m=- ,kZ,又m0,故m的最小值 为,
