1、11. 试证 n 阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在 n+1 个线形无关解。证：设 为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组， 是（4.1）的一个解，则：txtxn,21 tx（1） ，均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。,txtt n事实上：假设存在常数 ，使得：121ctxctxcctxc txctxtxtx iniiniinini nn1111 120: 0 ， 则 有 ：否 则 ， 若我 们 说 ：即 （*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！从而有 01txcini又 为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，tn,2故有： 0:,11 ncc
2、c进 而 有即（1）是线形无关的。习题 4.21. 解下列方程（1） 045)4(xx解：特征方程 124312 ，有 根故通解为 x= tttt ecec4321(2) 033xaxa解：特征方程 32有三重根故通解为 x= atatat ecec2321（3） 04)5(x2解：特征方程 0435有三重根 ， 2， -25故通解为 54231 ctecxtt （4） 02解：特征方程 有复数根 -1+3i, -1-3i12故通解为 tectecxtt 3sinos21(5) 0x解：特征方程 有复数根21,i2,31i故通解为 tectecxtt 3sin3os221(6) 2tas解：特
3、征方程 有根 a, -a0212当 时，齐线性方程的通解为 s=0atatec代入原方程解得BtAs2BA故通解为 s= -atatec21)1(2当 a=0 时, 代入原方程解得)(ts 21,61故通解为 s= -c213(6t(7) 54xx解：特征方程 有根 2,两重根 10231齐线性方程的通解为 x= tttecec321又因为 0 不是特征根，故可以取特解行如 代入原方程解得 A=-4，B=-1 BtAx故通解为 x= -4-tttt321(8) )4( txx解：特征方程 121024 重 根，重 根有故齐线性方程的通解为 x= tttt ecec43213取特解行如 代入原方
4、程解得 A=1，B=0,C=1cBtAx2故通解为 x= +tttt eec4321 12(9) os解：特征方程 有复数根031,23i2,3i1故齐线性方程的通解为 ttt ecectecx 31221sinos取特解行如 代入原方程解得 A=tBtAinos 2,B故通解为 ttt ecectecx 32121si3 )sin(o1t(10) sin8解：特征方程 有根 -2, 10212故齐线性方程的通解为 x= ttec2因为+-2i 不是特征根取特解行如 代入原方程解得 A=tBtAxsinco 56,2B故通解为 x= tte21tsi56（11） tx解：特征方程 有复数根01
5、31,23i2,31i1故齐线性方程的通解为 1 是特征方程的根，故 代ttt ecectecx 31221sinos tAex入原方程解得 A=3故通解为 +ttt ecectecx 32121sinos t1（12） tas2解：特征方程 有 2 重根 -a0当 a=-1 时，齐线性方程的通解为 s= ,ttec2141 是特征方程的 2 重根，故 代入原方程解得 A=teAx221通解为 s= ,1ttect当 a -1 时，齐线性方程的通解为 s= , atatec211 不是特征方程的根，故 代入原方程解得 A=tAex2)1(故通解为 s= +atatce21 t2)1(（13）
6、tx56解：特征方程 有根 -1, -50212故齐线性方程的通解为 x= ttec5212 不是特征方程的根，故 代入原方程解得 A=tAx21故通解为 x= +ttec521t21（14） txtos3解：特征方程 有根 -1+ i, -1- i02122故齐线性方程的通解为 tectecxtt sins1不是特征方程的根, 取特解行如 代入原方程解得 A=i1 teBAx)io( 41,5B故通解为 +tectecxtt 2si2os1 tts41c5(15) in解：特征方程 有根 i, - i0212故齐线性方程的通解为 tctxsno, i,是方程的解 代入原方程解得txsin1
7、)sio(tBAxA= B=0 故2tcs2代入原方程解得tcos tx2sinoA= B=0 故31t31故通解为 xsi21 tcs1to35习题 5.11.给定方程组x = x x= （*）01 21a)试验证 u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件 u(0)= , v(0)= 的解.tsincotcosin 01b)试验证 w(t)c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件 w(0)= 的解，其中 是任意常数.12 21c21,c解：a) u(0)= =0sinou (t)= = u(t) tco01sinco1t又 v(0)= =0sinv (t)=
8、= = v(t)tinco01 tcosin01因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.b) w(0)= u(0)+ u(0)= + =1c21221cw (t)= u (t)+ v (t)12c= +1ctosin2tsi= ttinci21= 0 tctossii21= w(t)因此 w(t)是给定方程初值问题的解.2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2t 6b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0）（ 4tc) tcos15y32e67t x(0)
9、=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1解：a）令 x x, x = x , 得12tet2127即 txtx00221又 x x(1)=7 x (1)= x (1)=-21于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：x x(1),0270te 27其中 x .21b) 令 x 则得：13x4xttexx1443322且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2,12 3x(0)= (0)=04x于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：= x(0)= , 其中 x= .xte0x01 021 4321xc) 令 w x， w ，w y，w
10、 y ，则原初值问题可化为：234且tyetcos15326744 3 21 1)0()(4321ywx7即 w tewtcos0132015567w(0)= 其中 w14323. 试用逐步逼近法求方程组 x xx0 21满足初始条件 x(0)= 21x的第三次近似解.解： 10)(t1010)(1 tdstt 200)( 22 tttt 2160211)( 33 tdstt习题 5.20241202 02412031.试验证 =t12t是方程组 x = x,x= ，在任何不包含原点的区间 a 上的基解矩阵。 t0221x bt解：令 的第一列为 (t)= ,这时 (t)= = (t)故 (t
11、)是一个解。同样如果以t1t12tt10218(t)表示 第二列，我们有 (t)= = (t)这样 (t)也是一个解。因此 是解矩阵。2t201t212 t又因为 det =-t 故 是基解矩阵。t2t2.考虑方程组 x =A(t)x (5.15)其中 A(t)是区间 a 上的连续 n n 矩阵，它的元素为 a (t),i btij,j=1,2,na) 如果 x (t),x (t),x (t)是(5.15)的任意 n 个解，那么它们的伏朗斯基行列式 Wx (t),x (t),12n 12,x (t) W(t)满足下面的一阶线性微分方程 W =a (t)+a (t)+a (t)Wn12nb) 解
12、上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：W(t)=W(t )e t ,t a,b0dsasat )(.)(21 0解：w (t)= + + nnnxx.212 112 .212 112nnnxnnnx.2121= +nnnnxxx aaaaa . .21 22 1121211 = +nnnnnnnxaxxaxax .122111 22 112 nnxxa12122121整理后原式变为nnnxaxa21222（a +a ） =（a +a ）w(t)1nnnxx.2121121n=（a (t)+a (t)）w(t)1b)由于 w (t)= a (t)+a (t) w(t),即 = a (t)+a (
13、t)dt1n)(twd1n9两边从 t 到 t 积分 ln -ln = 即 w(t)=w(t )e ,t a,b0)(tw)(0tt ndsas)(.)(1 0dsastn)(.)(13.设 A(t)为区间 a 上的连续 n n 实矩阵， 为方程 x =A(t)x 的基解矩阵，而 x= (t)为其一解，试btt 证：a) 对于方程 y =-A (t)y 的任一解 y= (t)必有 (t) (t)=常数；TTb) (t)为方程 y =-A (t)y 的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵 C，使 (t) (t)=C. T解 a) (t) (t) = (t)+ (t)= (t)+ (t)A(t
14、)TTT T T又因为 =-A (t) (t)，所以 =- (t) A(t) (t) (t) =- (t) (t)A(t)+ (t) A(t) (t)=0,TTT所以对于方程 y =-A (t)y 的任一解 y= (t)必有 (t) (t)=常数b) “ ”假设为方程 y =-A (t)y 的基解矩阵，则T (t) (t) = (t) + (t) (t)=- A (t) (t) + (t) A (t) ) + T tT TtTt(t) A(t) (t)=- (t) A (t) + (t) A (t) =0,故 (t) (t)=CT t“ ”若存在非奇异常数矩阵 C，detc 0,使 (t) (
15、t)=C，T则 (t) (t) = (t)+ (t)=0，故 (t) (t)=- (t) (t)A(t) (t)=- TT TTT(t) A(t) 所以 (t)=- (t) A(t), (t)=- (t) A (t)即 (t)为方程 y =-A (t)y 的基解矩 阵4.设 为方程 x =Ax（A 为 n n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即 （0）=E） ，证明:t (t )= (t- t )其中 t 为某一值. 1000证明：（1） , (t- t )是基解矩阵。（2）由于 为方程 x =Ax 的解矩阵，所以 (t )也是 x =Ax 的解矩阵，而当 t= t 时， (tt t10 0) (t
16、 )=E, (t- t )= （0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得 (t )= (t- t )010t105.设 A(t),f(t)分别为在区间 a 上连续的 n n 矩阵和 n 维列向量，证明方程组 x =A(t)x+f(t)存在bt且最多存在 n+1 个线性无关解。证明：设 x ,x ,x 是 x =A(t)x 的 n 个线性无关解， 是 x =A(t)x+f(t)的一个解，则 x + , 12n 1x + , x + , 都是非齐线性方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的常数210C ,(I=1,2,n)使得 +c =0,从而 x + , x + , x + , 在 a
17、 上线性相关，i )(1niixc1n12nbt此与已知矛盾，因此 x + , x + , x + , 线性无关，所以方程组 x =A(t)x+f(t)存在且最多存在2n n+1 个线性无关解。6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理： )(1 tfxtA2的解，则 是方程组)(21tx )()(21 tftxtA的解。证明： （1） （2）)( tfxtA)( tftx分别将 代入（1）和（2）),(1则 )( tfxt )(22tfxtA则 )(12121 ftxA)()()( 2 tftttx令 21即证 )()(21 tftxtA7考虑方程组 ，其中2021xttfcosin)(a)试验证
18、 是 的基解矩阵；ttet20)(Axb)试求 的满足初始条件 的解 。)( tfAx1)0()(t证明：a)首先验证它是基解矩阵以 表示 的第一列 )(1t)(t0)(21tet11则 )(201201)(21 teet tt 故 是方程的解1t如果以 表示 的第二列 )(2t)(ttet22)(我们有 )(0101)( 2222 tett tt 故 也是方程的解2t从而 是方程的解矩阵)(又 00det42ttte故 是 的基解矩阵；)(tAxb)由常数变易公式可知，方程满足初始条件 的解1)0(tdsft011)()()(而 tttt eet 2421 1)( 8、 ttetdseset
19、tt ttt sin51co2532)71(2coin00)() 2222试求 ，其中)( tfAx20121xtetf20)(满足初始条件 1)(的解 。t12解：由第 7 题可知 的基解矩阵 Ax ttet20)(则 ssss ee2421 100)( 若方程满足初始条件 )(则有 ttsttt edesedsft 220201 101)()(若 1)(则有 9、试 ttttttt eeedsft 222011 )1(10)()()0()( 求下列方程的通解：a) 2,sec ttx解：易知对应的齐线性方程 的基本解组为0x ttxtxsin)(,cos)(21这时 1cosin0(),2
20、1tttxW由公式得 tt ttdstds00 coslni)anco(ieis通解为tttctxlncoisi21b) tex28解：易知对应的齐线性方程 的基本解组为08x.)(21textetxetxtt 3sin)(,3cos)(2 是方程的特征根故方程有形如 的根tA2代入得 113故方程有通解 ttt ecectcx 22321 1)sin3o( c) te96解：易知对应的齐线性方程 对应的特征方程为 故方程的一个基096 x 3,.096212本解组为 ttexe3231)(,)(tttstst tttt eedexW30633 62 41241)(, 因为 是对应的齐线性方程
21、的解t3,故 也是原方程的一个解tt41)(故方程的通解为 tttecex41323110、给定方程 其中 f(t)在 上连续，试利用常数变易公式，证明：)(78 tft0a)如果 f(t)在 上有界，则上面方程的每一个解在 上有界；t0 tb)如果当 时， ，则上面方程的每一个解 （当 时） 。t0)(f )(t证明：a) 上有界)(ft存在 M0,使得),)(tMf又 是齐线性方程组的基本解组ttex7,非齐线性方程组的解 dsfedsfet tstst sssts )(6)(7)( 0877077 MMMt tttt 214)71(6)(0 又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解 x(t
22、)，都存在固定的常数 21,c使得 )()(271tectxtt从而 ctt 2141故上面方程的每一个解在 上有界0b) 时，t)(tf14当 tN 时N,0)(tf由 a)的结论 )(,214)()( 21271 tMctectxtt故 时，原命题成立 11、给定方程组 （5.15）xtA)(这里 A(t)是区间 上的连续 矩阵，设 是（5.15）的一个基解矩阵，n 维向量函数 F(t,x)在bxan)(t， 上连续， 试证明初值问题： （*）bxa,0at)(),0txtFAx的唯一解 是积分方程组)(t（*）dsxFsttx )(,0()(011的连续解。反之， （*）的连续解也是初值
23、问题（8）的解。证明：若 是（*）的唯一解)(t则由非齐线性方程组的求解公式 t dsFstt 0)(,)()()( 101 即（*）的解满足（*）反之，若 是（*）的解，则有)(tt dsst 0)(,)(101 两边对 t 求导： )(,)( )(,)(,)()( )(,)()(,)()0110 1011 tFtA tFdsstt ttssttt 即（*）的解是（*）的解习题 5.31、 假设 A 是 n n 矩阵，试证：a) 对任意常数 、 都有1c2exp( A+ A)=exp Aexp A1c2b) 对任意整数 k,都有15(expA) =expkA(当 k 是负整数时，规定(exp
24、A) (expA) )k1k证明：a) （ A）（ A）（ A）（ A）1c22c1 exp( A+ A)= exp Aexp A1b) k0 时，(expA) expAexpAexpAkexp（A+A+A）exp kAk0(expA) (expA) =exp(-A) = exp(-A)exp(-A)exp(-A)1kkexp(-A)(-k)exp kA故 k，都有(expA) =expkA2、 试证：如果 是 =Ax 满足初始条件 的解，那么)(t )(0texpA(t-t )0证明：由定理 8 可知 (t) -1(t0) (t) )(t tdsf0)(1-又因为 (t)= expAt ,
25、-1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0,又因为矩阵 （At）（- At 0）=（- At 0）（At）所以 expA(t-t )(3、 试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量a） b）34212435c） d）102 610解：a）det（ EA）= =( 5)( +1)=034216 =5, =112对应于 =5 的特征向量 u= , ( )120对应于 =1 的特征向量 v= , ( )2b) det（ EA）=( +1)( +2)( 2)0 1， 2， 23对应于 1 的特征向量 u1 ， （ 0 ）0对应于 2 的特征向量 u2 ， （ ）1对应于
26、2 的特征向量 u3 ， （ ）3 00c）det（ EA）= ( +1)2( 3)01021 1（二重） ， 3对应于 1（二重）的特征向量 u ， （ 0 ）2对应于 3 的特征向量 v , （ ）2 1d) det（ EA）= =( +3)( +1)( +2)=0610 1， 2， 317对应于 1 的特征向量 u1 ， （ 0 ）对应于 2 的特征向量 u2 ， （ ）4对应于 3 的特征向量 u3 ， （ ）9104、 试求方程组 =Ax 的一个基解矩阵，并计算 expAt，其中 A 为：a） b）213421c） d）4351580解：a）det（ EA）=0 得 ， 132对应于
27、 的特征向量为 u ， （ 0 ）1 对应于 的特征向量为 v ， （ ）2321u ，v 是对应于 ， 的两个线性无关的特征向量3112(t)= 是一个基解矩阵ttee33)2()2(ExpAt= tttttt ee3333 )2()2(1b) 由 det（ EA）=0 得 5， 112解得 u ，v 是对应于 ， 的两个线性无关的特征向量211218则基解矩阵为 (t) tte52(0) 1 (0)2131则 expAt(t) 1 (0) tttt ee552c） 由 det（ EA）=0 得 2， 2， 113解得基解矩阵 (t) 02tttte 1 (0) 10则 expAt(t) 1
28、 (0) ttttt ttttt eee222d）由 det（ EA）=0 得 3， 2 ， 21737解得基解矩阵 (t) ttt ttt ttt eee )72()72(3 )()( )72(723 31145457则 expAt(t) 1 (0) ttt ttt ttt eee eee )72()72(3 )()( )72()72(3 9696972818564841195、试求方程组 =Ax 的基解矩阵，并求满足初始条件 )()0(t的 解01021) 72058301)42)Acba解：a）由第 4 题（b）知，基解矩阵为 tte5223所以 1,ttet54)(b）由第 4 题（d
29、）知，基解矩阵为(t) ttt ttt ttt eee )72()72(3 )()( )72(723 31145457所以 ttt ttt ttt eee eeet )72()72(3 )()( )72()72(3 91891897208 464664351)(c) 由 3（c）可知，矩阵 A 的特征值为 3， 1（二重）1220对应的特征向量为 u1 ，u 2134 02324解得 214214412vv13)()( vEAteEvttt tttttte21436、 求方程组 =Axf（t）的解 ： )(t ttfAc etfb etfa ttcos2in)(,1234,)0() 0)(,6
30、01,)() ,342,)0()21解：a）令 =Ax 的基解矩阵为 (t) 150)(5)det()(21 ，所 以 Ep解得 (t) ， 则 1 (t)tte5 tttee542321 1 (0) 123求得 )(t521045tttttteeb）由 det（ EA）=0 得 1， 2， 3设 对应的特征向量为 v1，则1（ EA）v 1=0，得 v110取 v1 ，同理可得 v2 ，v 311则 (t) 321从而解得 tttt tttt tttt eet 21479452)(3c）令 =Ax 的基解矩阵为 (t)由 det（ EA）=0 得 1， 2解得对应的基解矩阵为 (t) ttt
31、te23 1 (t) 从而 1 (0)tttte22 2322 )1(2)34(sin2co2()0)()( 21011 ttt eet dsft7、 假设 m 不是矩阵 A 的特征值。试证非齐线性方程组 mtcex有一解形如 tpt)(其中 c，p 是常数向量。证：要证 是否为解，就是能否确定常数向量 pmtet)(tttcA则 p（mEA）c由于 m 不是 A 的特征值故 0EmEA 存在逆矩阵那么 pc（mEA） 1 这样方程就有形如 的解mtpet)(8、 给定方程组023211xxa） 试证上面方程组等价于方程组 u=Au,其中u ，A=213x14b） 试求 a）中的方程组的基解矩
32、阵c） 试求原方程组满足初始条件x1(0)=0, x1(0)=1, x2(0)=0的解。证：a）令 则方程组化为23121,uu312312 uxu23即 u u=Au u1240反之，设 x1=u1,x1=u2,x2=u3 则方程组化为2121212 xxb）由 det（ EA）=0 得 0， 1， 223由 得02431u01同理可求得 u2和 u3取 021,2031vv则 是一个基解矩阵021)(2tttetc）令 ，则化为等价的方程组且初始条件变为2311,xuxu而满足此初始条件的解为：.0)()0()(21tttAtt ee1320于是根据等价性，满足初始条件的解为式9、 试用拉
33、普拉斯变换法解第 5 题和第 6 题。证明：略。10、 求下列初值问题的解：24423211221122121 )0(,)(,)0(,)( )(,)(,)(03) )(,)( xxmxcxxba解：a)根据方程解得 ， 1 t ， t1x21c2x2c )0( 0 1 1 t1cx2 )(2 0 0 0 t2c2c2x综上： t1x t2b）对方程两边取拉普拉斯变换，得解得 0)()()(1)( 0)()(21321 2212 sXssXs sX2131)2()1( 422 sssX )(3)4221tt tttetc）对方程两边取拉普拉斯变换，得254212432 24321 43212 2
34、12432211 ss)()()( 0)()(mXsXsmsms解 得 即 tmttmtemtmtt ettt 24214322 24324211 sin)4(2cos)4( i) sin)14(cos)4( i 11、 假设 y 是二阶常系数线性微分方程初值问题)(x1)0(,)(yba的解，试证 是方程xdtf0)(bya的解，这里 f（x）为已知连续函数。证明：y dtx)(0y dtfxdtffx )()( 00()(0 xtty nxn dtfbtfaxftfxbax )()()( 000 )( )(0xf xfdtbtat 习题 6.3 261. 试求出下列方程的所有奇点,并讨论相
35、应的驻定解的稳定性态(1)32(4/1yxdtyx解: 由 得奇点(0,0),(0,2),(1,0),(1/2,1/2)0)(/对于奇点(0,0), A= 由 =0 得 =10, =1/202/1AE12所以不稳定 对于奇点(0,2),令 X=x,Y=y-2, 则 A= 得 =-1, =-1/22/1/3012所以渐进稳定同理可知,对于奇点(1,0),驻定解渐进稳定对于奇点(1/2,1/2),驻定解渐进不稳定(2) yxxdty24569解: 由 得奇点(0,0),(1,2),(2,1)02y对于奇点(0,0)可知不稳定对于奇点(1,2)可知不稳定对于奇点(2,1)可知渐进稳定(3) 0),(
36、2xydtyt解:由 得奇点(0,0),(-1/ ,0),)(2x 对于奇点(0,0) 驻定解不稳定对于奇点(-1/ ,0) 得驻定解不稳定(4) )3/2)(22 xyxydt xdt27解: 由 得奇点(0,0),(1,1)0)3/2)(022 xyxyx对于奇点(0,0)得驻定解不稳定对于奇点(1,1)得驻定渐进稳定2. 研究下列纺车零解的稳定性(1) 06523xdtxt解: =10, =50, =60a0120 =10 所以零解渐进稳定6523(2) )(, 为 常 数xzdtytxdt 解:A= 由 =0 得01AE 013323 得 = , =12i1i) +1/20 即 -1/2 不稳定iii) +1/2=0 即 =-1/2 稳定
