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1、漳 州 师 范 学 院数学系 2005 级本科高等代数课程期末试卷(A)参考答案（20 05 20 06 学年第 一 学期）班级_ 学号_ 姓名_ 考试时间：2006.1.13一 二 三题号1 2 3 1 2 1 2 3 4 5 6四 总分得分改卷教师一、计算（24%）1、解矩阵方程 2345213X解： 234521 581610 031502 (4 分)0310032x2、在数域 F 上解下列线性方程组：21931644523545431xx解：对该方程组的增广矩阵进行行的初等变换，得 2193164425 21931645 5341500723 (4 分)0034173、m、p、q 适合

2、什么条件时，(x 2+mx+1)(x 4+px2+q)？qmxpxqp234)1( )1(2mpx2)1(mpqx22)1()1(pp二、计算下列各 n 阶行列式（16%）1、 mxxDnnn 2121=xxxnnnn 221 2 mxmxnnn 2211)(= 111 )(0)( niinnii XmX 2、 (a1a2an0)2212121121 nnnn nnbabaD 12122111 nnn nnnn ababaaD injiijn1)()(4 分)该方程有无穷多个解，取 x4，x 5 为自由未知量，则会 x4=a，x 5=b (1 分)这个方程的解为x1=27a+22b+2，x 2

3、=4a+4b1，x3=41 a+33b+3，x 4=a， x5=b(1 分)解：由题意得要使 )(|242 qpx只需 (3)分023解：(4 分)(4 分)(4 分)解：(4 分)由范德蒙行列式三、证明（一） （48%）1、设 , , ， Fn。若 , , 线性无关而 , , ， 线性相关，则 可由12t 12t 12t向量组 , , 线性表示，且表示法唯一。t证明：因为 , , ， 线性相关，则存在不全为 0 的 ，有 +12t 11,tk 1d=0。(2 分)tdkt又因为 , , 线性无关，则 。所以12t 1tk （3 分）tttk11设 tC1得 111 )()(0ttt kk由

4、， ，的线性无关性可知 ， （3 分）所以命1t 1t 1ttkC题得证。2、设 f (x)，g(x)F x，且 f (x)=d(x) f1(x)，g(x )=d(x)g1(x)。若( f 1(x)， g1(x)=1，则 d(x)是 f(x)与 g(x)的一个最大公因式。证明：因为 ，则存在 u(x)，v(x)Fx 使),1f。由条件知 (4 分)(vM)()(xdgvf设 d1(x)为 f (x)和 g(x)的任一因式，则由知 (2 分)|1xd又 ，1)(1gxdd(x) 是 f (x)与 g(x)的一个最大公因式。 (2 分)3、设 p(x)是数载 F 上次数 1 的多项式。若对于任意的

5、 f(x)，g(x )Fx由 p(x)| f(x)g(x)可推出 p(x)| f(x)或 p(x)|g(x)则 p(x)是 F 上的不可约多项式。证明：假设 p(x)是下上的可约各项式，则 ，def p1(x)，def p2(x)均大)()(21xpx于等 1。 （3 分）取 f(x)=p1(x)，则 p(x)f (x) ，且(p(x)，f(x )=f(x)已知 （5 分）矛盾，所以假设不成立。4、设 A 是 n 阶幂等矩阵（即 AMn(F)且 A2=A）则秩(A)+秩(E A)=n，其中 E 为 n 阶单位矩阵。证明：A 2=A A（AE）=0rankA+rank （A E）n （4 分）又

6、rankA+rank （A E）=rank A+rank（EA）rank（A+EA）=rankE=n （4 分）由、可知 rankA+rank（EA）= n。5、设 A，B Mn(F)且均可逆，则 (AB)*=B*A*，其中 X*是矩阵 X 的伴随矩阵。证明：因为 A*A=|A|A1同理 B*=|B|B1 ，且 （4 分）(AB)*=|AB|(AB)1 =|A|B|B1 A1 =|B|B 1 |A|A 1=B*A*6、设 A= ，M t 是 A 划去第 i 列所成矩阵的行列式nnnaa,12,1, 22112 （i=1， 2， ，n）证明：(1)(M 1，M 2， ，(1) n1 Mn)是齐次

7、线性性组 AX=0 的一个解向量。(2)若有某 Mk0(1k n)则 =(M1，M 2，(1) n1 Mn)是 AX=0 的一个基础解系。证明：令 ，则Annnaa,12,1, 22112 0A由此可知(1) i1 Mi 是 中第一行元素 a1i 的代数余子式。 (4 分)且 = 。所以 。21)(An0A0)1(2nM若 Mk0（1 kn，则 rank =n1，则 rankA=n1） (4 分)A所以0 是 AX=0 的一个基础解系。四、证明题（二） （12%）说明，以下两题任选一题1、设 A，BM= 也可逆，并求其逆矩阵。证明：因为 nI0BABA =nI0又由 A+B，AB 皆可逆易见

8、可逆，所以 可逆；并且其逆矩阵BA0AB=1nI011)()( nI0= (6 分) 1111111 )()()()()()()( BABABABA=漳 州 师 范 学 院数学系 2004 级本科高等代数课程期末试卷 (A)参考答案（20 04 20 05 学年第 二 学期）班级_ 学号_ 姓名_ 考试时间：2006.1.13题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分一、设 A 是 n 阶实对称矩阵，则 A 正定的充要条件是 A 的 n 个特征值全正。 （24%）证明：A 实对称 则 A 的特征值全实。且存在正交陈 T，使得 ，这里 i=（i =1，2，n）R 是 AnT21的全部部特征值。

9、（4 分）因此： （i=1，2，n）（6021inAT正 定分）即证：A 正定充要条件是 A 的 n 个特征值全正实数。二、设 V 是数域 上线性空间， 是 V 的一个幂等变换（即 2=） ，证明：（2）V=ker Im (1) 的特征值只能是 0 和 1 （12%）证明：(1)设 0 为 的特征性，只是 的属于 0 排向量 ()=0 ()= 2()= () ( 0) =0 0 0=0 或 0=1 （5202分）V， = ()+ () (2)由于 ( ()= () 2()= () ()=0 ()ker()又 ()Im() V=ker( )+Im() （4 分）其次，对 ker( )Im( )

10、ker( )有 ( )=0 Im( ) V 使 = ( )0= ( )= 2()= ()=Im( )ker( )= （3 分）则 V=Ker( ) Im( )三、求矩阵 的最小多项式及其 Jordan 标准形 （12%）231A解：A 的特征阵 （6 分）22331E 201（1）A 的最小多项式 mA()=2 （2 分）（2）A 的初等因子是 ， 2 从而A 的 Jordan 标准形 （4 分）01J四、设 是 n 维 Euclid 空间 V 的一个对合变块（即 2=）证明： 是正交变换当且仅当 是对称变换。 （10% ） 2证明：(1)由 2=及 是正交变块 是对称变换 ， V ( ()，

11、 )=( ()， 2( ) )= (， ( ) ) 是对称变换 （5 分）(2)由 2=及 是对交变块 是对称变换 ， V ( ()， ( ) )=( ， 2( ) )= (， ) 是对称变换 （5 分）五、设 ， ， 与 ， ， 是数域 上线性空间 V 的两个基，它们12n12n在对偶空间 V*中的对偶基分别为 f1，f 2，f n 与 g1，g 2，g n 若( ， ， )=( ， ， )A12n(g1，g 2，g n)=( f1，f 2，f n)B 其中 A=(aij)，B=(b ij) nn证明：B=(A 1)证明：由( )=( )An1nnlliia1(g1gn)=( f1fn)B

12、nkjjfbg1g j(i)=ij （4 分）而 （4 分）nkijniikjinkkgij abfbfb111 )()() 乃是 在基 下生标的第个分量即 fk( )=aki （4 分）i1n i注意到 乃是 AB 之(i，j)之等于 Sij，从而 AB=E 则 B=(A1 )。(4 分)nkjiba1六、求一个正交的线性替换，把实二闪型 f(x1，x 2，x 3)= + 化为标准形。 （20%）31212321 4xxx328解：实二次型矩阵 4A(1)求 A 的特征值A 的特征值 1=1， 2=2(二重)2)(72421E(6 分)(2)求 A 的特征向量对于 1=7，解齐次方程 深基础

13、解系 ，0)7(XAE)2,1(单位化 是 A 的属于特征值7 的单位特征向量 (4 分)32,(对于 2=2 解齐次方各 深基础解系 ， 它们)( )0,(20,(3是 A 的属于 2 的线性无关特征向量。正交化： )0,12()1,54(),(233 再单位化：， (6 分)0,(|/22 53,42(|/32 则所求的正交线性替换为 X=TY，其中 为正交矩阵。5303241T且标准形为 f(x1，x 2，x 3) 。217yy其中g 1gn是 的对偶基。1n七、 （10% ）(1)设 W1，W 2 是 Euclid 空间 V 的两个有限维子空间，且 dimW10，取 W1 基 ， ，

14、，取 W2 基 ， ， 。r sr12设 (3 分)2xs则 由于 rs0),(),(),( ,111 rsrr sxx 齐次方程有非零解，即存在 W2 中非零的是 与 W1 正交。 (5 分)八、设 是 n 维线性空间 V 的线性变换， V 且 n1 ()0， n()=0证明：(1) ， ()， 2()， n1 ()是 V 的一个基。(2)V 不能分解为两个非零的 子空间的直和。 (14%)证明：(1) ， ()， 2()， n1 ()线性相关则存在不全为零的 k0，k 1，k n1 F 使得(1) (3 分)()()(210k设上式等式左端第一个系数不为零的为 kr(即 k0=k1=kr1

15、 =0，k r0)于是(1)式为 (2)()(11nrrk用 作用(2)式两端得 这与 kr0， (3 分)1rnnr 0(1n ， ()， n 1()线性无关从而是 n 维空间 V 的一个基。 (1 分)(2)设 W 是 V 的任一非零的 子空间 WV令 (3) (2 分)()()( 1210 naaa则 a0，a 1，a 2，a n1 不全为零，不妨设第一个不为零的是 ak。于是(3)式为 (4) (1 分)()()( 11nkk两边用 注意到 W 是 子空间，因而(4)左端1kn (1 分)(从而 注意到 ak0ankkn)(11 n 1()W (1 分)表明：V 的任一非零的 子空间都包含 n 1()( )V 不能分解为两个非零的 子空的直和。 (2 分)