1、解绝对值不等式题根探讨湖南衡阳县五中 陈胜湖南祁东育贤中学 周友良题根四 解不等式 2|5|1x题根 4解不等式 2|思路利用f(x)0) -a2 ；(2)| 2 6|g(x) f(x)g(x)或 f(x)2 或 +1 或无解，所以原不等式的解集是 | x12 12(2)原不等式等价于3 型不等式()fxg()fxg这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：| | 或 x 2-3x-4；（2） 123x解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x2-2x2-3x-4 或 x-x2-2-3故原不等式解集为xx-3分析二 x-x 2-2x 2-x+2而 x2-x+2(x- )2+
2、0147所以x-x 2-2中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于 x2-x+2x2-3x-4解得：x-3 原不等式解集为x-3（2）分析 不等式可转化为 -1 1 求解，但过程较繁，由于不等式234x1 两边均为正，所以可平方后求解.34x原不等式等价于 1234x9x2(x 2-4)2 (x2)x4-17x2+160x21 或 x216-1x1 或 x4 或 x-4注意：在解绝对值不等式时，若f(x)中的 f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第 2 变 含两个绝对值的不等式变题 2解不等式（1）| 1|5.xa思路 （1）
3、题由于两边均为非负数，因此可以利用f(x)g(x) f2(x)g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。解题 （1）由于| 1|0，| + |0，所以两边平方后有：xxa| 1| 1x2ax2当 2 +20 即 1 时，不等式的解为 (1 )；1当 2 +2=0 即 =1 时，不等式无解；a当 2 +25.解：当 x-3 时，原不等式化为(2-x)-(x+3)5 -2x6 x5 55 无解.当 x2 时，原不等式为(x-2)+(x+3)5 2x4 x2.综合得：原不等式解集为xx2 或 x0 且 1)x|log(1)|log1)|aaxxa解析：易知1221x1
4、当-327故填 。),2(),(3求不等式 的解集.133logl1xx解：因为对数必须有意义，即解不等式组，解得013x又原不等式可化为 33logl1xx(1)当 时，不等式化为 即0x3oglx33loglogx 综合前提得： 。404(2)当 1 ( )型不等式()fxa)fa此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： 当 0 时，| | 或()fx()fxa()f()fxa0()fxa()fx()fx 当 有意义。a请你试试 431解关于 的不等式：x092ax分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两
5、个不等式组，最后对两个a不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：当 029292axaxx 即时 ， 不 等 式 可 转 化 为aba173 0292)(2axaxx 即时 不 等 式 可 化 为当。aaxa6173,(32故 不 等 式 的 解 集 为或2关于 的不等式| 1|5 的解集为 |3 2，求 的值。xkxxk按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于 值的不确定，要以 的不同取值分类处k理。解：原不等式可化为4 6当 0 时，进一步化为 ，依题意有 ，此时无解。k46xk44362kk当 =0 时，显然不满足题意。当 0 时，先求不等式| 4|+|3 |147272xa 当 3
6、1x 当 3 时，原不等式化为 4 +3 13372xa综合可知，当 1 时，原不等式有解，从而当 01 时，| 4|+|3 | 4|+|3 | 4+3 |=1x当 1 时，| 4|+|3 | 恒成立，求 的取值范围。xxkk思维点拨：要使| +1| 2| 对任意实数 恒成立，只要| +1| 2|的xkxx最小值大于 。因| +1|的几何意义为数轴上点 到1 的距离，| 2|的几何意义为数k轴上点 到 2 的距离，| +1| 2|的几何意义为数轴上点 到1 与 2 的距离的差，x其最小值可求。此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察的取值范围。k解法一 根据绝对
7、值的几何意义，设数 ，1,2 在数轴上对应的点分别为 P、A、B，x则原不等式即求|PA|PB| 成立k|AB|=3，即| +1| 2|3x故当 恒成立，从图象中可以看出，只要 a 恒成立，求实数 a 的取值范围。分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a 应比最小值小。解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2| |(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2) 0, 即时取等号。故 a0,不等式|x-4|+|x-3|1（二）如图，实数 x、3、4 在数轴上的对应点分别为 P、A、B 则有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|PA|+|PB| 1
8、 恒有 y 1数按题意只须 a1 A B P0 3 4 x（三）令 y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其图象由 f(x)1y321xyO-330 3 4 x（四）考虑|z-4|+|z-3|1 时，表示复平面上以 3、4 为焦点，长轴长为 a 的椭圆内部，当 z 为实数时，a1 原不等式有解 a1 即为所求（五） 可利用零点分段法讨论.将数轴可分为(-，3)， 3，4 ，(4，+)三个区间.当 x .72a有解条件为 172a当 3x4 时得(4-x)+(x-3)1当 x4 时，得(x-4)+(x-3)4 即 a172a以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为 a1.变
9、题：1、若不等式|x-4|+|x-3|a 对于一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围2、若不等式|x-4|-|x-3|a 在 R 上恒成立，求 a 的取值范围评注：1、此题运用了绝对值的定义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法。4、构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法设 04。解（略）回顾：本题是“绝对值不等式性质定理” （即“三角形不等式” ）的一个应用。发展题：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a 的解集非空，求 a 的取值范围。（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a 的解集非空，求 a 的取值范围。3已知 f(x)的定义域为0,1，且 f(0)=f(1)
10、，如果对于任意不同的 x1,x20,1，都有|f(x 1)-f(x2)| 呢？考虑到 0|x 1-x2|1，则 1-|x1-x2| 时，即 x2-x1 时，0x 2-x11必有 1-|x1-x2| 即 1- x2+x1也可写成|1- x 2|+|x1| (*)另一方面|f(x 1)-f(x2)|=|f(1)-f(x2)+f(x1)-f(0)|f(1)-f(x 2)|+|f(x1)-f(0)|1- x2|+|x1-0|则由（*）式知|f(x 1)-f(x2)| 成立综上所述，当 x1,x20,1时都有|f(x 1)-f(x2)| 成立。已知二次函数 ，当 时，有 ，求证：当fabc()x1fx(
11、)时，有 .2x7f()分析：研究 的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数 . 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑 ， ，cb, )1(f，这样做的好处有两个：一是 的表达较为简洁，二是由于 正好是所给)0(f cba, 0和条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的. 要考虑 在区间 上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑 在x7, xf区间端点和顶点处的函数值.证明：由题意知： ，cbafcfbaf )1(,)0(,)1( ，)0(),1(2),0(21()(21 fcfbffa .fxbxc 22xxx
12、由 时，有 ，可得 .1f(),)(f ,f1f ,7)0(313013)2( ff.ffff（1）若 ，则 在 上单调，故当 时，2,abx2,2,x 此时问题获证. )(mx()(afff（2）若 ，则当 时，, ),)(ma()(x abfff又 ， 72414120242 fbfabcabf 此时问题获证. 综上可知：当 时，有 .x7fx()评析：因为二次函数 在区间 和区间 上0)(2cbxf 2,ab),2ab分别单调，所以函数 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得. )(xf第 6 变 绝对值不等式与其它知识的横向联
13、系变题 6 （2003 年全国高考试题）已知 .设0c函数 在 R 上单调递减.:Pxcy不等式 的解集为 R.Q1|2|如果 和 有且仅有一个正确，求 的取值范围.c思路 此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.解题:函数 在 R 上单调递
14、减 ，xcy10c不等式 的解集为 R 函数 在 R 上恒大于 1，1|2| |2|cxy ， ， cxcx2| 函数 在 R 上的最小值为 ，|2|cxyc2不等式 的解集为 R ，即 ，1|1若 正确，且 不正确，则 ；PQ20c若 正确，且 不正确，则 ；所以 的取值范围为 .c)1(， 收获 “解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本特征，在求解时则主要以化归思想为解题切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.请你试试 461 （2004 届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件
15、 和条件axp|15:|，请选取适当的实数 的值，分别利用所给的两个条件作为 A、B 构造032:xq a命题：“若 A 则 B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.分析 本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的 ，也能先猜后证，所找到的实数a只需满足 ，且 1 即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是a215a5a对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.解答
16、已知条件 即 ，或 ， ，或 ，pax1ax1551ax51ax已知条件 即 ， ，或 ；q0322令 ，则 即 ，或 ，此时必有 成立，反之不然.4ap5x1xqp故可以选取的一个实数是 ，A 为 ，B 为 ，对应的命题是若 则 ，4a pq由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.2 已知 ； 是 的必要不充分条件，)0(12:|31:| 2mxqxp，求实数 的取值范围.m分析 本题实为上一命题的姊妹题，将命题的表述重心移至充要条件，使用了学生较为熟悉的语言形式.充要条件是一个十分重要的数学概念，新教材将这一内容的学习放在第一章，从而也可能利用第一章的知识内容来命题考
17、查这一概念.本例是一道揉绝对值不等式、二次不等式的求解与充要条件的运用于一起的较好试题，要求学生能正确运用数学符号，规范数学学习行为，否则连读题审题都感困难.解答 由 得 ，2|31|x10x由 ，得 ，)(02mx )0(m 即 ，或 ，而 即 ，或 ；p1xqx1x1)(由 是 的必要不充分条件，知 ，qp设 A= ，B= ，02|x， 或 )0(|， 或则有 A ，故 且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，B， ，01m解得 ，此即为“ 是 的必要不充分条件”时实数 的取值范围.30pqm电子邮箱周友良 ,手机号码 13187209109；QQ;406426941湖南祁东育贤中学 周友良
