1、272.4 平稳过程相关函数的性质2.4.1 平稳过程自相关函数的性质1 0)()0(22XXtER2 ，自相关函数是偶函数。 ，自协方差函数是偶函 )()(XK数。证明：3 ，即自相关函数在 时具有最大值。同样 ，即)()0(XR0 )()0(XXK自协方差也在 时具有最大值。证明：4若随机过程 满足 ，称 是周期平稳过程，其中 为过程的周)(t)()TtX)(t T期。周期过程的自相关函数 必为周期函数，且与周期过程的周期相同。R证明：5若 含有一个周期分量，则 也含有一个相同的周期分量。)(tX)(X设 ， 为周期分量， ， 与 相互)(21t1t )()11TtXt(1t)2tX独立。
2、 )()()()()( 2121 TtttETtETRX 211 TX是周期分量。)()(11X6若平稳过程中不含有任何周期分量，则有，2)()(lim11 XXmR 0)()(li11XXK证明：当 增大时， 与 的相关性会减弱，当 时，有 与tt )(tX相互独立，)(t 2)()li)(lili XX mtEtXtXER 7 2)()(11mK证明： 2)()()()( XXXX RttE288.平稳过程的自相关函数必须满足 0)(deRjX2.4.2 相关系数与相关时间1相关系数： 2)()0()(XXmRKr2相关时间：当 很大时， 与 不相关。常定出某一个时间 ，当 时，tt 00
3、就可认为 与 实际上已不相关，这个时间 就称为相关时间。)(tX)t 02.5 随机过程的联合概率分布和互相关函数引言：在实际工作中，常常需要同时研究两个或两个以上随机过程的统计特性。如，接受机输入端有信号和噪声，二者可能均是随机过程。2.5.1 两个随机过程的联合概率分布设两个随机过程 和 ，它们的概率密度分别为)(tXY,(2121nnXxp )mYtty定义这两个过程的 维联合分布函数为： )(,)(,)(,)(,)(,)(, 2121 21121 mnmnnXY ytYyttYxtXxttPyxF 这两个过程的 维联合概率密度为： mn mXYmnnyxttttxFp 11 21222
4、1 ),(,若有 ),(),(,21212121 mYnnXY ttyFttxF 或 ),(),(, 21212121 mYnnX mY ttypttxpy 29则称随机过程 和 是相互独立的。)(tXY2.5.2 互相关函数一、定义：两个随机过程 和 ，在任意两个时刻 、 的取值为随机变量 和)(t 1t2 )(1tX，则它们的互相关函数定义为：)(2tY dxytxyptYXERXYX ),()(, 21211 过程 和 的中心化的互相关函数（互协方差函数）定义为：)t dxytptmytxttKXYXXY ),()( ),( 2121121或 )(),(),( 212121 tttRt
5、YYXY 若 或 ，则称随机过程 和0),(21tRXY (KXX)(tX互为正交过程。)(t若 或 ，则称随机过程 和),21tKXY )(),(2121tmttRYXXY )(t互为不相关。)(t当我们同时观测两个宽平稳随机过程 和 时，如果它们的互相关函数函数是时)(t间差 的单变量函数时，即，)()()(),(2121 XYXY RtXEtYEtR 12t则称过程 和 为联合宽平稳或平稳相依。二、性质（1） )()(YXX0R)()(YXXYK（2） 22)0()( YXYXXY 30（3） )0(21)(YXXYRR 212YXKK（4）互相关系数 YXYXXY mRr )()0()
6、(显然， 。1)(XYr当 时，两个平稳过程 和 互不相关。0)(t2.6 复随机过程2.6.1 复随机变量一、复随机变量 定义：ZjYXZ式中 与 皆为实随机变量。XY二、复随机变量的数学期望 YXZ jmjEEm)()三、复随机变量的方差 )(20ZDZ其中 。00 ()( YjXjmjYXmZYXz 所以， 。jEED202020四、两个复随机变量的相关矩记 表示 的复共轭，定义两个复复随机变量 与 的相关矩为：11jYXZZ1Z2)(20121ZEKZ当 时， 。21ZD21若满足 ，即 ，则称 与 为不相关。021ZK)()(212121R 1Z2若满足 ，则称 与 为正交。)(21
7、EZ31对于两个复复随机变量 与 而言，要涉及四个变量 、 、 、 的联合概率分布，1Z2 1X21Y2若满足： ),(),(),( 2121 2121 yxpyxyxp YXYXYX 则称 与 相互独立。1Z22.6.2 复随机过程一、复随机过程 定义：)(t )()(tjYtXZ式中 与 皆为实随机过程。)(tXY二、复随机过程的数字特征1、概率密度复随机过程 的统计特征可以由 与 的联合概率密度为)t(Z)t(XY), n21n212121 ttytxpnnXY 2 期望 )()()()()()( tjmttYjEtXtZEtmYXZ 3、方差 )()()(20ttDtZtttYX4、自
8、相关函数)()(tZEt,RZ5、自协方差函数（中心化自相关函数） )()()()()( ZZ0 tmttEtt,KZ当 时， 。0Dt,ZZ6、平稳复随机过程若 YXZjmt)(32)(Rt,ZZ则称 为宽平稳的复过程。)(t7、互相关与正交两个复过程 与 ，互相关函数与互协方差定义为：)(1tZ2t)(21 Et,R )()()()( 2121 Z2Z1201Z tmttmtEt,K若 ，则称两个复过程 与 不相关。21t )2若 ，则称两个复过程 与 正交。0)(21Z,R(1tt2.7 正态随机过程回顾：一维正态随机变量：设 是服从正态分布的随机变量，则其概率密度函数为X2exp21)
9、(xp二维正态分布：若 是二维正态随机变量， ，二 维正态联合概21X21XZ率密度函数为： expC2),( 1/11 Zxp其中 ， ，)(11XE)(22 21r， ，121)22XE)(21XE2.7.1 正态随机过程一般概念对于随机过程 ，在任意 个时刻 （ ） ，有 个随机变量，)(tXnitn,1， ， 记)(1tX2tn33，)()()()(2211nXnXtmtttZ )()()( jXjiXiij tmttECijC则正态过程的 维概率密度函数为： 2expC)2(1,( 12/2121 Zttxpnnn2.7.2 平稳正态随机过程若正态随机过程 的期望与时间 无关，相关函
10、数只取决于时间差值 ，即)(tXt ， ，这时称正态过程是宽平稳的。iiXmEtm)( )(),(ijXjiXR若正态过程为平稳过程，则概率密度中的参数矩阵 中 的计算会变得简单。ijCij2.7.3 正态随机过程的性质性质 1：正态过程由数学期望与协方差完全确定。即由 )()(iiXtEtm ijjXjiXiji CtmtK)()(,完全确定。性质 2，正态过程的严平稳与 宽平稳是等价的。性质 3，正态过程的不相关与独立是等价的。性质 4，平稳正态过程 与确定信号 之和的概率分布仍为正态分布。)(t)(ts性质 5，若正态过程 可导（可微） ，则其导数 也是正态过程。X)(tX性质 6，若正态过程 可积，则其积分 也是正态过程。)(t dtYta作业 1 7276 3.13.25p作业 2 论文：随机过程在工程中的应用要求：应用随机过程的理论与方法，分析或处理实际信号（最好是以你的课题或导师的研究课题为实例） 。字数要求：20004000 字。
