1、1假设检验1 设 取自正态母体 其中 为未知参数, 为子样均值，对检25, )9,(N验问题 取检验的拒绝域 : ,0100:HcxC0251:)(试决定常数 c 使检验的显著性水平为 0.05.解:因为 所以 在 成立下,） ，（ 9N），（ 2590H,5.31C35PCP000 ）（, 所以 C=1.176.96.1,97.352设子样 取自正态母体 已知，对检验假设),(1n 20),(N的问题，取临界域 .000:,:H01:)(cxCn（i）求此检验犯第一类错误的概率 ,犯第二类错误的概率 ,并讨论它们之间的关系.（ii）设 ,求 时不犯第二类错误的概率.905.,4.,5.02n
2、650解: (i).在 成立下, 0H），（N20,nCnPC000 011nuu其中 是 N（0，1）分布的 分位点。12在 H1 成立下, , ），（ nN20nCnPC00101 = 0100 01uCnun 当 增加时， 减少，从而 减少；反之当 减少时，将导致 增加。1（ii）不犯第二类错误的概率为 1- 。 32.056115.001 n= 74.6.25.64.4，设某产品指标服从正态分布，它的根方差 已知为 150 小时，今由一批产品中随机地抽查了 26 个，测得指标的平均值为 1637 小时，问在 5%的显著性水平下，能否认为这批产品的指标为 1600 小时？解：母体 ， 对
3、假设 采用 U检验法，,1502N160:0H在 H0 为真下，检验统计量观察值为 时临2.578,0.xu界值 。 由于 ， 所以接受 ，0.975126u10H即不能否定这批产品指标为 1600 小时5 某电器零件的平均电阻一直保持在 2.64 均方差保持在 0.06 .改变加工工艺后测的 100 个零件,其平均电阻为 2.62 ,均方差不变.问新工艺对此零件的电阻有无显著差异?取显著性水平 。01.解：设改变工艺后，电器零件电阻为随机变量 ，则 未知，E3。 检验假设 。 206.D64.2:0H从母体中取了容量为 100 子样， 近似服从正态分布，即： 。 106.,2N因而对假设 可
4、采用 u检验计算检验统计量观察值0， 02.64103.n。 由于 。.1,.9521 12u所以拒绝原假设 即改革工艺后零件的电阻一有显著差异。0H6. 有一种新安眠剂,据说在一定剂量下能比某种就旧暗昧安眠剂平均增加睡眠时间 3 小时,根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为 20.8 小时,均方差为 1.8 小时,为了检验新安眠剂的这种说法是否正确,收集到一种使用新安眠剂的睡眠时间(以小时为单位) 为 : 26.7, 22.0, 24.1, 21.0, 27.2, 25.0, 23.4试问这组数据能否说明新安眠剂已达到新的疗效?解：设新安眠剂疗效为随机变量 ，则 未知， 。 E28.1D检验
5、假设 ， 8.20:0H8.20:1从母体中取了容量为 7 子样， 近似服从正态分布，即： 。 7.,2N因而对假设 可采用 u检验计算检验统计量观察值0， 73.08.12340 n ,05.。 由于 。10.956u1u所以接收原假设 ，即新安眠剂未达到新的疗效。0H15设 X1,X2,- ,Xn 为取自总体 X 的简单随机样本，其中 0 为已20,N4知常数，选择统计量 U = ，求 的 1- 的置信区间。210niiX2解：由于 U = 服从 (n)， 于是210nii 202 2121niiXn故 的 1- 的置信区间 。2 22001122,ni ii iX16在某校的一个班体检记
6、录中，随意抄录 25 名男生的身高数据，测得平均高为 170 厘米， （修正）标准差为 12 厘米，试求该班男生的平均身高 和身高标准差 的 0 .95 置信区间（假设身高近似服从正态分布） 。解：由题设 身高 XN（ ） ，n=25 ， 。2,05.,12,70SX（1） 先求的置信区间（ 未知）取故 置信区间0.97512(),()(4).6XUtnttS 为：(170 )=(170-4.94, 170+4.94)=(165.06, 174.94) 06,2517,06.25(2). 的置信区间（ 未知）取52220.975120.25(1)(),()(4)3.64.nSUn故 的 0.9
7、5 置信区间为 2 )69.278,0.()41.2,36.9(的 0.95 置信区间为 .,3978,014在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差为 0.05 秒，为了以 95% 的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过 0.01 秒，应取多大的样本容量 n?解：以 X 表示反应时间，则 为平均反应时间，由条件知，样本标准)(XE差 S=0.05, 用样本均值 估计 当 n 充分大时，统计量 近. nXSU05.似服从标准正态分布 N（0， 1） ，根据条件，要求样本容量满足. 即950.15 nXPXP 20.1.,.64n9.86.04n即应取样本容量 n 为 96 或 97。8在某
8、年级学生中抽测 9 名跳远年成绩，得样本均值 = 4.38 m . 假设跳远绩XX 服从正态分布，且 = 03, 问是否可认为该年级学生跳远平均成绩为 = 4.40 m ( = 0.10).解：(1) 40.:0H4.:1H6(2) 选统计量 4.0(,1);XUNn（3）查标准正态分布表，得出临界值 拒绝域0.951264,uZ);,64.1().,(4)算得, 显然 0.2 不在拒绝域内，因此 H0 被接收，,2.03.80U即可认为该年级学生跳远平均成绩为 4.40 米。9设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 66.5 分，标准差 S*为
9、15 分，问在显著水平 0.05 下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？并给出检验过程。031.25197.02tnt解：（1）待检假设 备择假设;:H70:1H（2）在 H0 成立条件下选择统计量 1XtnS（3）在显著性水平 0.05 下，查 t 分布表，找出临界值031.25197.02tnt拒绝域 ,（4）计算 ，故接受 H0,，因6.4.,2.031153U此可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分。11某厂生产的电子仪表的寿命服从正态分布，其标准差为 = 1.6, 改进新工艺后，从新的产品抽出 9 件，测得平均寿命 = 52.8, S*n2 = 1.19 ，问
10、用新工艺后仪X表的寿命方差是否发生了变化？（取显著性水平 = 0.05）7解：（！）待检假设 ，备择假设206.1:H216.:H（2）选取统计量 *20UnS0成 立 时 2n（3）查 分布表，找出临界值22220.5 0.97512n18., 81.3 拒绝域为 .,3.7.,（4）计算 ，接受 H0，即改进工艺后仪表寿命的方6.19U20差没有显著变化。12电工器材厂生产一批保险丝，抽取 10 根试验其熔断时间，结果为 ：42, 65, 75, 78, 71, 59, 57, 68, 54, 55. 问是否可认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于 80 ？（熔断时间服从正态分布，显著性水平
11、 = 0.05）.解：（1）待检假设 备择假设,80:20H80:21H（2）选取统计量0*20nnSU在 成 立 下（3）由 查 分布表,91n,05.2221.9n6.(4) 。4.62568577840X12*20S1.9.U370,6.98nii故接受假设 H0，即在 下，可认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于 80.5.10某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出 50 名,测得平均身高 174.34 厘米从不经常参加体育锻炼的男生中随机地选 50 名，测得平均身 172.42 厘米，8统计资料表明两种男生的身高都服从正态分布，其标准差分别为 5.35 和 6.11 厘米，问该校经常
12、参加锻炼的男生是否比不常参加体育锻炼的男生平均身高些？05.解： X, Y 分别表常锻炼和不常锻炼男生的身高，由题设 2211.6,3.,NX(1) 待检假设 ，备择假设20:H21:H(2) 选取统计量成 立 下在 021mnYXU，(3) 对于 查正态分布表，0.51-0.95Z64(4) 计算 67.50.3.4217U20 故否定假设 即表明经常体育锻炼的男生平均身高比不经常体育锻炼的男生0H平均身高高些。7.14 假设六个整数 1，2，3，4，5，6 被随机地选择，重复 60 次独立实验中出现 1，2，3，4，5，6 的次数分别为 13，19，11，8，5，4。问在 5%的显著性水平
13、下是否可以认为下列假设成立：。0 1:(1)(2)(6)Hpp解：用 拟合优度检验，如果 成立202621()(5)iiinp:列表计算 的观察值：29组数 i 频数 inipiinp2/iiinp123456131911854101010101010391-2-5-60.98.10.10.42.53.6， =11.07215.620.95()由于 ，所以拒绝 。即等概率的假设不成立。20.95()H7.15 对某型号电缆进行耐压测试实验，记录 43 根电缆的最低击穿电压，数据列表如下：测试电压 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8击穿频数 1
14、 1 1 2 7 8 8 4 6 4 1试对电缆耐压数据作分析检验（用概率图纸法和 拟合优度检验） 。2解：用正态概率纸检验出数据基本上服从正态分布，下面 拟合优度检2验假设 20:(,)HN其中 为 和 的极大似然估计，其观察值2,24.37x221()0.48niisx10所以要检验的假设0:(4.37,0.82)HN分组列表计算 统计量的观察值。2组 距1ixi频数 in标准化区间 1iyi 1()iipyinp2/iiinp4.14.1 4.24.2 4.34.3 4.54.5 4.64.6 5781265-1.25-1.25 -0.79-0.79 -0.34-0.34 0.570.5
15、7 1.030.31 0.10560.10870.15260.34880.13280.15154.54084.67416.561814.99845.71046.51450.04641.15740.21520.59940.01470.3521221().485niip用 查表 由于 ，所以不能否0.220.90.9(6)(3)6.120.9(3)定正态分布的假设。7.16 用手枪对 100 个靶各打 10 发，只记录命中或不命中，射击结果列表如下命中数 ：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ix频 数 ： 0 2 4 10 22 26 18 12 4 2 0if11在显著水平 下用 拟合
16、优度检验法检验射击结果所服从的分布。0.52解 对每一靶打一发，只记录命中或不命中可用二点分布描述，而对一个靶打十发，其射击结果可用二项分布 来描述，其中 未知，可(;10,)bKpp求其极大似然估计为 10.5ipxfx设 是十发射击中射中靶的个数，建立假设 10010:()(.5),10KHpk用 拟合优度检验法列表如下：2iinipinp2/iiinp01234567891002410222618124200.0009770.0097650.0439450.1171880.2052120.2460940.2052120.1171880.0439450.0097650.0009770.09
17、80.9764.39511.71920.52124.60920.52111.7194.3950.9760.0980.0981.0740.0360.2520.1070.0790.3100.0070.0361.0740.098122102()3.17iinp取 ， =0.520.95()20.95()6.由于 ，所以接受 。2.)H7.17 在某细纱机上进行断头率测定，试验锭子总数为 440，测得断头总次数为 292 次只锭子的断头次数纪律于下表。问每只锭子的纺纱条件是否相同？每锭断头数 0 1 2 3 4 5 6 7 9锭数（实测） 263 112 38 19 3 1 1 0 3 解：如果各个锭
18、子的纺纱条件元差异，则所有锭子断头次数服从同一个普哇松分布，所以问题是要检验每只锭子的断头数 。其中 未知，(;)pK:求其极大似然估计为 ，建立假设 ，由290.64x0.6)H拟合优度检验。列表2i断头数 Kinipinp2/iiinp1234501234-8268112381980.51690.34110.11260.02470.0047227.41150.0949.5310.8972.0685.5689.6682.6846.02617.016132520()40.96iinp取 ， = ，0.520.95(1)2.95(3)7.81取 ， =.0.4由于 ，所以拒绝 。即认为每只锭子纺纱条件不相同。20.9(3)H
