1、在我们所生活的世界上，充满了不确定性,从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.,一.概率论简介,当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个. 而且在每次试验或观察前都无法确知其结果，即呈现出偶然性. 或者说，出现哪个结果“凭机会而定”.,带有随机性、偶然性的现象.,随 机 现 象 的 特 点,随机现象的统计规律性,随机现象并不是没有规律可言,在一定条件下对随 机现象进行大量观 测会发现某种规律性.,例如，了解发生意外人身事故的
2、可能性大小,确定保险金额.,了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.,了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.,福尔莫斯破密码,请看,福尔莫斯为什么能破译出那份密码?,对案情的深入了解和分析;,运用字母出现的统计规律性.,二.古典概率-比率,分析:10个人,共分3张音乐会票.,准备一个盒子,里面放10个大小和质地一样的球 其中白球3个,黑球7个,充分扰乱以后,让每个人抽 取一个球,凡抽到白球者得票.,每个人得到票的机会相等,一个试验,有n个同等可能的结果,其中有k个结 果是使某事件A发生,那么事件A发生的概率为,称为古典概率.,常常把这样的试验结果称为“等可能
3、的”.,e1, e2, ，eN,试验结果,在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.,这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的,1. 加法原理,设完成一件事有m种方式，,第一种方式有n1种方法，,第二种方式有n2种方法,；,第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，,则完成这件事总共 有n1 + n2 + + nm种方法 .,2. 乘法原理,设完成一件事有m个步骤，,第一个步骤有n1种方法，,第二个步骤有n2种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，,3.排列、组合的几个简单公式,排列和组合的区别：,顺序不同是 不同的排列,3把
4、不同的钥匙的6种排列,而组合不管 顺序,从3个元素取出2个 的排列总数有6种,从3个元素取出2个 的组合总数有3种,a排列: 从n个不同元素取 k个 （1 k n)的不同排列总数为：,k = n时称全排列,排列、组合的几个简单公式,从n个不同元素取 k个（允许重复） （1 k n)的不同排列总数为：,例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张,共有4.4.4=43种可能取法,b、组合: 从n个不同元素取 k个 （1 k n)的不同组合总数为：,c、组合系数与二项式展开的关系,由,有,比较两边 xk 的系数，可得,运用二项式展开,想想看:如何说明音乐会问题中每个人的机会相等,分球入箱问题,请看
5、下面的演示,以球、箱模型为例给出一类常见的 古典概型中的概率计算,许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,有n个人，每个人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在 N 间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.,许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率.,在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,下面的算法错在哪里？,错在同样的“4只配成两双”算了两次.,从5双中取1双，从剩 下
6、的 8只中取2只,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,正确的答案是：,请思考： 还有其它解法吗？,解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为,而出现事件A的分法数为n!,故,例4 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只 . 问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？,北京体育彩票（36选7不重复）:,特等奖:选中全部7个正选号码,一等奖:选中6个正选号码+特别号码,五等奖:选中4个正号或3个正号+1个特号,例,有6张纸牌,其中4张黑桃,2张红桃,从中,随机地有放回地取两次,每次只取一张,求,(1)取到的两张都是红桃的概率
7、?,(2)取到的两张颜色相同的概率?,(3)取到的两张至少有一张黑桃的概率?,=1-P(A),若抽取是不放回地,求以上三问?,(1)取到的两张都是红桃的概率?,(2)取到的两张颜色相同的概率?,(3)取到的两张至少有一张黑桃的概率?,若抽取是任取两张,求以上三问?,(1)取到的两张都是红桃的概率?,(2)取到的两张颜色相同的概率?,(3)取到的两张至少有一张黑桃的概率?,说明:,(1)在求事件的概率时,应注意随机实验的样本空间,(2)“任取k件”与“无放回地逐件取k件”考虑 问题的角度不同,但计算概率的结果相同,(3) “任取k件与有放回地逐件取k件”所得的概率一般不同,(4)“至少”问题常用
8、对立事件解决,例2 有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.,为求P(A), 先求P( ),用上面的公式可以计算此事出现的概率为=1-0.524=0.476,美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.,即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.,表 3.1人数 至少有两人同 生日的概率20 0.41121 0.44422 0.47623 0.50724 0.53830 0.70640 0.89
9、150 0.97060 0.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的. 实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大 . 当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.,请看演示：,生日问题,投掷3颗骰子,胜负规定:若顾客掷出3颗骰子点数之 和为3,4,5,6,7,14,15,16,17,18这些数中之一时,顾客胜 否则摊主胜,即8,9,10,11,12,13,这些结果有等可能性,但是其和为3的只有1种,和为10的结果有27个, 逐一检查还发现,使顾客胜的结果只有69种,而摊主获胜的结果有147远远有利摊主,在这16中结果
10、中不是等可能,把3颗骰子的所有结果有666=216种结果,把这些结果一一排出111,112,113,661,662,666,掷硬币试验,三.统计概率-频率,在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小. 这个性质叫做频率的稳定性.,这个定值称为事件A的概率,记为P(A),频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小. 尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的.,频率的性质,(3)若A,B不同时发生,则:,事件发生的可能性 最大是百分之百，此时 概率为1.,P(A),2.事件A的概率,事件发生的可能性 最小是零，此时 概率为0.,若A,B不同时发生,则:,作业,1.预习概率论与数理统计1-2,2.练习 习题1-2,
