1、复变函数与积分变换课程自学辅导资料二八年四月复变函数与积分变换课程自学进度表教材：复变函数与积分变换 教材编者：徐大申等 出版社：中国电力出版社出版时间： 2005 年 8 月周次 学习内容 习题作业 测验作业 学时 自学重点、难点、基本要求一 第一章12 习题 1.1:：2,4,5习题 1.2：1自测练习一：1，2，6，78二 第一章35 习题 1.3：1，2习题 1.4：1，2习题 1.5：1，4自测练习一：8总习题一：1（3） ，6，98三 第二章12 习题 2.1：2，3习题 2.2：1，2（1）（2） （3）总习题二：1自测练习二：1，2，38四 第二章3 习题2.3：1，2，4，5
2、总习题二：3，4自测练习二：48五 第三章12 习题 3.1：1，2，3习题 3.2：1，3总习题三：1自测练习三：1，28六 第三章34 习题 3.3：1，2习题 3.4：1，2，3总习题三：3，5自测练习三：3，4，5，68七 第四章12 习题 4.1：4，5习题 4.2：3，4总习题四：1，3自测练习四：18八 第四章3 习题 4.3： 总习题四：4，5自测练习四：4，58九 第五章12 习题 5.1：1习题 5.2：1，2（1）（2） ，3（1） （2）总习题五：1，3（1） （3）（5） ，4自测练习四：1，2，3（1）（2）8复变函数的重点是：解析函数的概念、CR条件、单复闭路的柯
3、西定理、柯西积分公式、高阶导数公式、泰勒级数、洛朗级数、孤立基点及其留数计算、保角映射的概念、分式线性映射及 所ntzwe,构成的映射。难点是：复闭路柯西定理、高阶导数公式、洛朗级数、保角映射。复变函数是以复数代替实数与实微积分平行建立微积分。其定义、公式、结论与实微积分一致，但往往存在条件不一样。学习时要注意与实微积分联系、对比。积分变换的重点是：付氏积分、付氏变换及其性质、卷积定理、积分变换的应用。难点是：广义付氏变换的概念、拉氏变换、付氏变换性质的应用。积分变换是一种数学工具、理论推导可要求低一些，着重像与原像的对应关系、性质及运用。十 第五章3 习题 5.3：1（1）（4） ，2（1）
4、 （3）总习题五：5（1） （2） ，6（1） （4）自测练习五：3（3） （4）（5）8十一 第六章13 习题 6.1：1，3习题 6.2：1，2习题 6.3：1，4（1）（2） ，5总习题六：4，5自测练习六：1，210十二 第六章4 习题 6.4：1（3） 总习题六：7（1） （2）10十三 第七章7.1 习题 7.1： 1，2（1） （2） ，3（1）总习题七：1 7十四 第七章7.2 习题 7.3： 1，2，3，4，5自测练习七：2总习题七：27十五 第七章7.3 习题 7.3： 1，2，3，4，5自测练习七：1 7十六 第七章7.4 习题 7.4：2 总习题七：3自测练习七：37十
5、七 第八章8.1 习题 8.1： 1，3 总习题八：1自测练习八：17十八 第八章8.2 习题 8.2： 1，2，3，4，5总习题八：2，3自测练习八：2，37十九 第八章8.38.4习题 8.3： 1（1）（3） （5） （7） （9）习题 8.4：1（1）（3） ，2（1）总习题八：4，5自测练习八：47二十 第八章8.5 习题 8.5： 1（1）（3） ，2总习题八：6自测练习八：5，68注：期中（第 10 周左右）将前半部分测验作业寄给班主任，期末面授时将后半部分测验作业直接交给任课教师。总成绩中，作业占 15 分。参考教材：1 复变函数 （第四版） ，西安交通大学高等数学教研室编，北
6、京，高等教育出版社，19962 复变函数与积分变换 （第二版） ，华中科技大学数学系编，北京，高等教育出版社，2003复变函数与积分变换课程自学指导书第一章 复数及复变函数一、 本章的核心、重点及前后联系（一） 本章的核心复数及运算，区域，复变函数及映射理解复数、复变函数、极限及连续的概念；掌握复数运算及几何表示法；了解区域及有关定义。（二） 本章重点复数及运算，区域，复变函数及映射（三） 本章前后联系本章介绍了复数的概念、运算及其表示和复变函数的概念及其极限、连续两部分内容。是后续各章的基础。二、 本章的基本概念、难点及学习方法指导（一） 本章的基本概念复数及运算，区域，复变函数及映射（二）
7、 本章难点及学习方法指导1. 复数的概念、运算及其表示方法是学习复变函数的基础，通过学习复数，做到熟练掌握，灵活应用。学习时要注意下边几点：（1） 正确理解辅角的多值性，见（1-5）式；（2） 熟悉两个复数乘积和商的辅角公式，见（2-3）和（2-4）式；（3） 由于复数可以用平面上的点与向量表示，因此能用复数形式的方程（或不等式）表示一些平面图形，解决有关的几何问题，见例 1.3 及相关习题；（4） 了解无穷远点和扩充复平面的概念，它们是为了用球面上的点来表示复数而引入。无穷远点和无穷大 这个复数相对应。这里的无穷大 是指模为正无穷大（辅角无意义）的唯一的一个复数；2. 复变函数及其极限、连续
8、等概念是高等数学中相应概念的推广，它们有相似之处，又有不同之点，在学习中要善于比较，深刻理解。（1） 平面曲线（特别是简单闭曲线、光滑或按段光滑曲线）和平面区域（包括单连通域与多连通域）是复变函数理论的几何基础，要求熟悉这些概念，会用复数表达式表示一些常见平面曲线与区域，或者根据给定的表达式画出它所表示的平面曲线或区域；（2） 认真体会复变函数的定义与一元实变函数的定义的异同；复变函数极限的定义与一元实变函数极限定义形式上相似，但实质却有很大差异，注意进行比较；复变函数有极限的等价条件是其实部和虚部同时极限存在；复变函数连续等价于其实部和虚部同时连续。从而将研究复变函数的极限、连续等问题转化为
9、研究两个二元实变函数的相应问题。三、典型例题分析例 1 求复数 的三角表示式与指数表示式。iz1解：由于 ,41,202 arctg因此 .)4sin(co4iez下边的例子表明，可以由给定的复数形式的方程（或不等式）确定它所表示的平面图形。例 2 试证： 平面上以原点为心，R 为半径的圆周的方程为 。z Rz证：解析几何中此圆的方程为： .22Ryx令 ，将 代入，由公式（1-1-2）化简得iyxzizyz,2R例 3 化简 .)sin)(co13i解 由公式（1-2-4 ） ，可用三角形式或指数形式化简。我们采用指数形式。 由于所以,21,231)4()3( ii eie)12()4()3
10、()sin)(co iiiii eei例 4 计算 为 正 整 数 ）niin()21()231( 13解 由于34sinco2312i从而 1231 )231)(4sin(co)(sin(co 231231)(231( 31 iiiii nnn 例 5 计算 .83解 因为 ，故)sin(co)2,10( )32sin3(cos83kkk即 ；ii3snco8)(303同理可得；2)si()(313 .315nco82 i四、思考题、习题及习题解答（一） 思考题、习题1。 求下列复数 的实部、虚部、共轭复数、模与辅角。z（1） （2） （3） （4）;3i;1i;2)5(4i.218ii2
11、一个复数乘以 ，它的模和辅角一样何变化？3如果多项式 的系数是实数，证明：nzazazP210)( .)(zP4。 试求下列各式的 与 （ 都是实数） 。xy,（1） ;3)53()2(iii（2） ;1)(56)(2 iyxiyx（3） 。ba（二） 习题解答（只解答难题）1 （1） ).32(arg;13;213;Im;13Re ctzzizz （2） ).5(r;24;52;I;2 ti（3） .726ag;9;137;7Re rctzzizz（4） .3r03Im1 ti2模不变，辅角减少 。24 （1） ;15,4yx(2) ;,322（3） 其中：若 ，取同号；若 ，取异;,2ab
12、yabx 0b0b号。第二章 解析函数一、 本章的核心、重点及前后联系（一） 本章的核心理解复变函数的导数及解析的概念；掌握并会用函数解析的充要条件；熟悉初等函数的定义、主要性质及求导公式。（二） 本章重点复变函数导数、解析的概念，函数解析的充要条件，解析函数的性质，初等函数的定义及性质（三） 本章前后联系解析函数是本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用本章先引入复变函数的导数概念，然后讨论解析函数，介绍解析函数的一个充分必要条件，它是用函数的实部和虚部所具有的微分性质来表达的，接着介绍几个初等函数，这些初等函数是最常用的函数，因而特别重要二、 本章的基
13、本概念、难点及学习方法指导（一） 本章的基本概念复变函数导数、解析的概念，函数解析的充要条件，解析函数的性质，初等函数的定义及性质 （二） 本章难点及学习方法指导解析函数是复变函数的主要研究对象。本章的重点是正确理解复变函数的导数与解析函数等基本概念，掌握判断复变函数可导与解析的方法，熟悉复变量初等函数的定义和主要性质特别要注意在复数范围内，实变初等函数的哪些性质不再成立，以及显现出哪些在实数范围内所没有的性质.本章学习重点难点如下：解析函数具有很好的性质。 条件是判断函数可微和解析的主要条件，函CR数 在区域 内可微，等价于函数函数 在 内解析；但 在一点 可微，却()fzD()fzD()f
14、z0不等于 在 解析02要清楚地认识复变量初等函数其实是相应的实变量初等函数在复平面上的推广，其关键所在是推广后的函数所必须具备的解析性。如幂函数、指数函数、正余弦函数在复平面上解析；根式函数及对数函数在单值分支 内连续且解析等。argz要注意每一个复变初等函数的基本特征，如周期性及一些运算法则对函数 nz及 的多值性，单值分支的取法，特别是主值如何作为普通单值函数来运用等问L题，要有清楚的认识三、典型例题分析例 1 讨论下列函数的可导性与解析性(1) (2) (3) zwRe2zw )sin(co)yezfx解 (1) 因为 ,且 ,0vxu 0,0,1yvxyux可见 C-R 方程不满足,
15、所以 在复平面内处处不可导,从而也处处不解析.zRe(2) ,所以 且22yzw2v ,0,yxvux可见 C-R 方程只在点(0,0)成立.由定理 2.1 知该函数在 处可导,且有 ,对0z0)(f于其他 的点,这个函数不可导,所以这个函数在 处不解析.从而在复平面上0z处处不解析.(3)因为 ,且yevyeuxxsin,co,yevyevxxxx cos,si,i,s 从而 C-R 方程满足,并且由于上面四个一阶偏导数均连续,所以 在复平面内)(zf处处可导,故也处处解析.从而有 )(sin(co)( zfyeyvixuzfx例 2 求 n3)Li解 因为，31,arg(23)arctn2
16、ii所以 (23)ln(rt)(0,1,)Lniik例 3 计算 的值.ie4解 根据指数函数定义算出=i43(cosin)4= 32()ei= 331i四、思考题、习题及习题解答（一） 思考题、习题1下列函数何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？1） 2） 3) ()fz2()fzxiy323()()fzxyixy2.出下列方程的全部解1） 2） 3）3zeilnisinco03.求下列各式的值1） 2） 3） 4）cosi(4)Li1()i2i（二） 习题解答（只解答难题） （） 可导； 不可导，复平面上处处不解析；0z0z（） 上可导，其余点均不可导，复平面上处处不解析；yx（）复
17、平面上处处解析 （） ；)(lnkiz23（） （） 4k3 （） （）21eik)arctn(ln3425（） )si(l)cos(l kk 2444 （） )lnil() 212ek第三章 复变函数积分一、 本章的核心、重点及前后联系（一） 本章的核心理解复变函数的积分的概念；掌握柯西基本定理、复合闭路定理、闭路变形原理、解析函数与调和函数的关系；熟悉柯西积分公式、高阶导数公式（二） 本章重点积分的定义及性质，柯西基本定理，柯西积分公式，高阶导数公式，调和函数。（三） 本章前后联系本章首先介绍复变函数积分的概念、性质以及计算公式，然后重点讨论解析函数的柯西古萨基本定理、柯西积分公式和高阶导
18、数公式。这些定理和公式深刻地描述了解析函数所具有的独特而优美的性质，譬如解析函数的导数仍然是解析函数的重要结论，也为解析函数的积分提供了新的简便方法。最后，应用解析函数具有任意阶导数的性质讨论解析函数与调和函数的关系。二、 本章的基本概念、难点及学习方法指导（一） 本章的基本概念积分的定义及性质，柯西基本定理，柯西积分公式，高阶导数公式，调和函数（二） 本章难点及学习方法指导一复变函数的积分是定积分在复数域中的自然推广，两者的定义在形式上是相似的，只是把定积分的被积函数从 换成 ，积分区间 换成 平面上一条起)(xf)(zf,baI点为 ，终点为 的光滑曲线 ，即ABCnkkzCzfdf10)
19、(lim)(所以，复变函数的积分实际上是复平面上的线积分当 是分段光华曲线且 在C)(zf上连续时，上述积分一定存在C若设 ，则),(),()yxivuzfCCC udyvxidudzf这样，复变函数积分的计算就化为二元实函数曲线积分的计算但通常我们并不直接利用上述计算公式，而是利用所谓参数方程来计算积分值，即tztfzfC)()(其中 的参数方程为 iyxt,复积分有许多与微积分学中曲线积分相似的性质：（.1.7） ， （3.1.8） ， （3.1.9）诸式，其中积分模的估值性质证明中常用，应当记住二柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理：若函数 在单连通区域 内解析，则 沿 内任)(zfD)(z
20、fD一封闭曲线的积分为零，即0Cdzf)( 理的两种等价形式（）54若 是一条简单闭曲线， 为 的边界， 在闭区域 上解析，DC)(zf CD则；0Cdzf)(（） 在单连通域 内解析 在 内的积分与路径无关)(zf 基本定理的推广（）设 为一简单闭曲线，其内部为 ， 在 内解析，在 上连续，D)(f CD则，0Cdzf)(（）复合闭路定理：设函数 在多连通区域 内解析， 是 内一条简单闭)(zfDC曲线， 是在 的内部互不包含也互不相交的简单闭曲线，又因 条曲线n,21 1n所围成的区域全含于 ，则D；0CnkCdzfdzf1)()(，其中 称为复合闭路.020f nC21由复合闭路定理结论
21、 ，不难得到下述闭路变形原理：在区域 内解析的函数沿D闭曲线的积分，不因闭曲线的 内做连续变形而改变积分的值，只要在变形过程中曲D线不经过 不解析的点)(zf三柯西积分公式dzfizfC0021)()(与高阶导数公式dzzfinzfCnn1002)(!)(是两个十分重要的公式前者表明解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分来表示；后者则说明解析函数的导数仍是解析函数两者均表明了解析函数的特性及与实变元函数的本质区别在计算行如 沿包含点 的某一闭曲线上的积分时，上述公式也是主1nazff)(, a要工具之一四复变函数的不定积分复变函数的不定积分定义与一元函数不定积分定义形式一样，但实质
22、不同若函数 在单连通域 内解析， 是 在 内的一个原函数，则)(zfD)(zFfD，21 12Zzdf)(其中 为 内两点这与定积分的牛顿莱布尼兹公式类似，用它可以计算解析函21z,数沿非闭路的积分问题五解析函数与调和函数在区域 内具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程的二元实函数 称为D ),(yx内的调和函数将满足柯西黎曼方程： 的两个调和函数 中的yxyxuvu, vu与称为 的共轭调和函数vu任何在区域 内解析的函数 ，其实部与虚部都是 内的调和函数，且izf)( D虚部 是实部 的共轭调和函数已知调和函数 或 ，求解析函数 时，可使用不定积分法，),(yxu),(vivuzf)(曲线积
23、分法，利用柯西黎曼条件法等多种方法三、典型例题分析例 1 计算 与 ，其中 （图 3.3）为czdczC1）从原点到 的直线段；i12）从原点沿抛物线 到 的弧段；2xyi13）从原点到 的直线段与从 到 的直线段所接成的折线1zzi12解：1） 的方程为C0,)(tti101)(idtizdc10102)(tditdzc2） ：C,2101023)()( idtittiitzc 2idd3） .10,1:,:, 2121 titzCttzC10)(21 idtzccc 01)(itditdzc例 2计算积分 ，其中 为： 。Cz)1(3C2z解：被积函数在 内部有两个奇点 0 和 1，今作两
24、圆周（或其他围线） 与 ，1C2分别只包含 0 与 1，使 ， 与 一起满足定理 2 的条件，于是由（3.2.3）式得12 21 )1(3)(3)(3CCC dzdzdz而(3.2.5)iizzzCC 20111 )(3.2.6)idzd42322 )(所以izC61)(观察（3.2.5）与（3.2.6）两式，你能发现什么共同的规律吗？例 4 计算积分 值，其中圆周取正向123zd)(解：函数 的奇点 在圆周 的内部，其它两个奇点都23)()z1z在左半平面 内，从而在该圆周的外部，函数 在闭圆域0zRe 2211)()zzf上解析，由定理得1zizidzfdz zzz 941212123 )
25、(!)()(例 3 知 在右半平面 是调和函数，求在该半平面的解析函数2yxu0Re，使 ivzf)( )()(iif1解：求偏导数得， 2yxu2)(yxuy方法在该半平面取 ，由（ ）式得,),010Cdyxudxuyxvyy(),(),(102)(dyxy02C2方法由柯西黎曼方程,2yxuvyx2)(yxuv积分 )gd22两边对 求导，并与上面所得 比较，有yyv22)()(xgyxvy 于是得 ，即 ，同样得0)gcCyxv2故得 由条件 ，得 ，故)()(izf 22 )()(iif120Ciyxf 22)(解析函数 表示成 的函数 可有多种方法譬如注意到如),(),()yxiv
26、uzf z)(zf果 ，令 则 ，即 与 的对应规律相同，此iyxz0xffz0)(xf法甚简便如本例，令 ，可推得 zf1)(四、思考题、习题及习题解答（一） 思考题、习题 计算从 到 积分 的值，其中 为：iz1i2dzCC（）线段（）左半平面中以原点为中心单位半圆 求下列各函数沿以原点为中心的正向单位圆周的积分值：（） ； （） ；izeZ2zeZ1（） ； （）24)(iZ 12ncos 沿指定路径 ，计算以下积分：3izC:（） ； （） dzC)(12 dzeCZ)(12 计算闭路积分 ，其中 ， zz32)( 121zC:,: 计算下列积分（） ； （） ；dzeiZ1 dz10
27、sin（） ； （） i2sn eiZ)( 设 ，求 的值使 为调和函数，并求出解析函数 yevpxsinv ivuzf)(（二） 习题 54解答（只解答难题）1(1) ; (2) 2ii2 （1）0 ； （2） 0 ； （3） ； （4）)2(4iei!21ni3 （1） ； （2）i)1cos2sin4 65 （1） ； （2） ；)1cosin(e 1cosin（3） ； （4） ；2h )(in6 ； cezfp, cezfpz,1第四章 级 数一、 本章的核心、重点及前后联系（一） 本章的核心理解幂级数、洛朗级数的概念；掌握幂级数、洛朗级数的主要性质、级数收敛的判别方法及必要条件；会
28、将一个复变函数展开成幂级数或洛朗级数。（二） 本章重点级数的概念，幂级数，收敛圆与收敛半径，洛朗级数，函数的级数展开（三） 本章前后联系本章首先介绍复数列和复数项级数收敛的概念及其判断法，以及幂级数的有关概念和性质然后讨论解析函数的泰勒级数和洛朗级数展开定理及其展开式的求法，它们是研究解析函数性质和计算积分的重要工具二、 本章的基本概念、难点及学习方法指导（一） 本章的基本概念级数的概念，幂级数，收敛圆与收敛半径，洛朗级数，函数的级数展开（二） 本章难点及学习方法指导一 洛朗级数：如果函数 在圆环域 内解析，那么在此圆环域内函)(zf Rzr0数 可以唯一的展开成 的双边幂级数： ，其中)(z
29、f 0nnzcf)()(0，称为函数 在 的洛朗系数，dznnfic010)(21)(zfRzr0，双边级数 称为函数 的洛朗级数。Rrz,0nnc)(0)(f需要注意的是：求函数 在圆环域 内的洛朗级数时，我们zf Rzr0往往不用公式直接来求（因为复积分计算比较繁琐） ，而是利用间接展开法，即从几个已知的初等函数的级数展开式出发，利用变量替换、幂级数的四则运算或逐项求导与求积分运算得来的。另外，当函数 在 内解析时，圆环域 退)(zfr0 Rzr0化为圆 ，有高阶导数公式，洛朗系数 就Rz0 !)(210100 nzfdzficdznn 是泰勒系数，此时的洛朗级数就是泰勒级数。可见泰勒级数
30、是洛朗级数的特殊情况，而洛朗级数是泰勒级数的推广。三、典型例题分析例 以 =1 为中心，将函数 展开成洛朗级数0z )2(1)(zzf解：除 =1 外， =2 也是 f(z)的奇点，故 f(z)在圆环域 及01z 1z0内均解析。1z由于展开中心 =1，故所求级数的项应是（z-1 ）的正幂和负幂。先把 f(z)用部分0z分式表示 21)2(1)( zzzf等式右端第一项正是所求级数的一项，因而只需要把 在各圆环域内展开成 z-1 的21z双边幂级数即可。（1） 在 内；1z0nnzz0)1()1()(2于是nnzzzf 10)()(1)(（2） 在 内，10)(12nnzzz故 nnnn zz
31、zzf 2110 )()()()(由此例可见，同一函数的罗朗级数，即使中心相同，在不同的圆环域内，展开式也是不同的。四、思考题、习题及习题解答（一） 思考题、习题1.函数 能否在圆环域 （ ）内展开成洛朗级数？为什么？z1tanRz002.试说明函数 在以点 =i 为中心的哪些圆环域内可以展开成)2(1)(2if0z洛朗级数，这些展开式有什么共同的形式?3.将函数 在下列圆环域内展开成洛朗级数：)()(zzf（1） ； （2） .1021z4.把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数：（1） )()(2zzf z（2） 2)1()f 10（3） ，在以 i 为中心的圆环域内。)(2izf（二
32、） 习题解答（只解答难题）1.不能。因为 以 的点 (k= )为奇点，且当 时，z1tan0cos21kz， k，所以在任何圆环域 （ ）内都有 的奇点。 在0kz R0z1tanz1tan内不解析，从而不能在这样的去心领域内把 展开成洛朗级数。R t2.圆环域有 ， ， ， ；这些展开式1iz2iz3iziz中各项都是 的整数次幂。i3. (1) ; (2) 1)(nnz 20)(1nnz4. (1) )1684212(5)(5)(0 3223400 zzznnn(2) ;nnz1)2(（3） ， ；211)()(nnnii 10iz第五章 留 数一、 本章的核心、重点及前后联系（一） 本章
33、的核心理解复变函数在孤立奇点处的留数的概念；掌握留数定理，并会应用它们计算复变函数的积分；会计算孤立奇点处的留数，会用留数求一些定积分。（二） 本章重点孤立奇点及分类，留数定义及计算规则，留数定理，留数在定积分计算中的应用。（三） 本章前后联系在这一章中，我们将以上一章介绍的洛朗级数为工具讨论解析函数的在有限远和无穷远点处孤立奇点的分类及性质。本章的中心问题是留数定理，它是留数理论的基础。前面讨论的柯西古萨基本定理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情形。应用留数定理可以把沿闭曲线的积分转化为计算在孤立奇点处的留数。应用留数定理还可以计算一些定积分和广义积分，其中有些积分在定积分中计算非常复杂甚至
34、计算不出来。利用留数理论可以在分类后作统一处理。所以留数定理不仅在理论上而且在应用上都有十分重要的意义。二、 本章的基本概念、难点及学习方法指导（一） 本章的基本概念孤立奇点及分类，留数定义及计算规则，留数定理，留数在定积分计算中的应用。 （二） 本章难点及学习方法指导一、 基本概念1（ 解析函数的孤立奇点的分类：a)有限远孤立奇点：可去奇点 存在。lim()zf0孤立奇点 极点 ；z0 li()zf0本性奇点 不存在也不等于无穷大。li()zf0b)无穷远的孤立奇点如果函数 在无穷远点 的去心邻域 内解析，那末称 为函数fz()zRz的孤立奇点。f()作变换 ，这个变换把扩充 平面上的无穷远
35、点 映射成扩充 平面上的点tz1zzt，t0fft()()1规定：如果 是 的可去奇点、 级极点或本性奇点，那末就称点 是函t0()mz数 的可去奇点、 级极点或本性奇点。fz()2）解析函数零点与奇点的关系a)不恒等于零的解析函数 如果能表示成 的形式，fz()fzzm()(,)00则称 为 的 级零点。 （ 在 处解析）z0f()m0为 的 级零点的充要条件是：。fznfzn m() (),(,0 012b)若 为 的 级零点，则 为 的 级极点。0fz)01f()此结论为我们判断极点的级数提供比较方便的判别办法。要求 的极点，只需fz()求出 的零点。1fz()3（ 留数a) 留数定义（
36、有限远点） 称 为函数 在 处的留数。记为12ifzdC()fz()0，即Re(),sfz0Re(),()sfzifzdC012b)留数定义（无穷远点）设函数 在圆环域 内解析， 为圆环域内fRC绕原点的任一条正向简单闭曲线，那末积分 fzdC()称为函数 在 点的留数，记作fz()Re(),()sfzifzdC12二、 主要定理及规则1（ 计算留数的规则：规则 I 如果 是 的一级极点，那末 z0f()Re(),lim()(sfzzf000规则 如果 是 的 级极点，那末Iz0f()e,()!li()(sfzdzfzmm0100规则 设函数 在 都解析。如果 且IfPQz(),、 0PQz(
37、),(),00，那末 是 的一级极点，并且有z00f()Re,()sfzPzQ00规则 。 IVRe(),(),sfzf122）主要定理定理一（留数定理）设函数 在区域 内除有限个孤立奇点 外，处处fz()Dzn12,解析。 是 内包含诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末CDfzdisfzc kkn()Re(),21定理二 如果函数 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那末 在所有各f fz()奇点（包括 点）处的留数的总和必等于零。即Re(),Re(),sfzsfzkkn10三、留数的应用（1（ 复变函数沿闭路的积分：主要利用留数定理。（2（ 三种不同类型的定积分：a) ；RdRzidz(cos,
38、in)(,)02 211b) ；xiszzRkkk()e(),()1， 其 中 为 在 上 半 平 面 的 孤 立 奇 点 。c) ，其中 是被积函数在上半平面上Redaix()()021iseiazkkn(), zk的奇点。在计算后两种定积分时，注意对被积函数的要求。三、典型例题分析例 1 是函数 的可去奇点，所以 。而 是函数z0sinzResin,z0z0的本性奇点，其洛朗展开式为zefzz()!1232所以 Re,!sz102例 2 计算 ,?sz0解 因为 ，所以 是函数 的一级极点。根据规则 I，zz122()z0z12有 Re,limliszzz12020解毕例 3 计算积分 ，
39、其中 为正向圆周： 。zdC21Cz解 函数 在圆周 内有两个奇点， 。因为fez()2z2z01,在 处不等于零， ，但Pzez()z01, QQ(),(),()1，所以 是函数 的一级极点。Q()12z01,fz由规则 I，得 Re(),lim()lisfzzezez1212Re(),lim()lisfzzezez11221根据留数定理得 zdisfzsfzieichc2112(),Re(),函数 在 处的留数也可以借助于规则 求。fz()z01, IRe(),sfzez121(),fz1四、思考题、习题及习题解答（一） 思考题、习题1. 判断对错：1（ 是函数 的一级极点。 （ ）z0z
40、142()2（ 是函数 的三级极点。 （ ）5cosz3（ 是函数 的可去奇点。 （ ）z0ln()14（ 是函数 的一级极点。 （ ）1siz5（ 是函数 的三级极点。 （ ）z1322. 求出下列函数的奇点，并确定它们的类型：1（ ； 2） ； 3） ；2ze()z42()cos1zi4） ； sin33. 求下列函数在指定点处的留数：1（ ； 2） ；zz(),12 zz310cos,4.计算下列积分，积分曲线均取正向：1（ ；1222(),:zdzCC2（ ；5,411ez：3（ ；dzCsin,：（二） 习题解答（只解答难题）1. 1) 对; 2)对;3)对；4）错；5）错。2. 1
41、） 是三级极点。 z02（ 是二级极点。i3（ 是本性奇点。4（ 是一级极点。3. ；Re(),e(),sfzsfz1141（ ；!042（ ；e(),sfz34. 1) ; 2) ; 3)0i94i第六章 共形映射一、 本章的核心、重点及前后联系（一） 本章的核心理解解析函数的导数的几何意义、共形映射的概念；掌握并会应用分式线性映射、幂函数构成的映射及指数函数构成的映射；会求满足某些条件的分式线性映射，会求两域间的共形映射。（二） 本章重点共形映射基本概念，解析函数导数的几何意义，分式线性映射，初等函数构成的映射（三） 本章前后联系从第二章起，我们通过导数、积分、级数等概念以及它们的性质与运
42、算着重讨论了解析函数的性质与应用。在这一章中，我们从几何角度对解析函数的性质和应用进行讨论。在第一节我们主要分析解析函数所构成的映射的特性，引出共形映射这一重要概念。共形映射的作用是将复杂区域上的问题转化为简单区域上去讨论；在第二、三节讨论分式线性映射的性质、决定条件及常见区域之间转换的映射。最后讨论几个初等函数构成的共形映射的性质及应用。二、 本章的基本概念、难点及学习方法指导（一） 本章的基本概念共形映射基本概念，解析函数导数的几何意义，分式线性映射，初等函数构成的映射（二） 本章难点及学习方法指导一、基本概念1)解析函数导数的辐角与模几何意义及性质：a)导数 的辐角 是曲线 经过 映射后
43、在 处的转动角；fz()0Argfz()0Cwfz()z0b)转动角的大小与方向跟曲线 的形状与方向无关。这种性质称为保角性。c) 是经过映射 后通过点 的任何曲线 在 的伸缩率，它与曲线f()0wf()00的形状及方向无关。这种性质成为伸缩率不变性。C2） 共形映射的概念a)定义 设函数 在 的某个邻域内有定义，且在 具有保角性和伸缩率fz()0 z0的不变性，那么称映射 在 是共形的，或称 在 处是共形映射。如wwf()果映射 在区域 内没一点都是共形的，那么称 在区域 内是共形映wfz()Dwfz()D射。b)解析函数在其导数不等于零的地方是共形映射。3）分式线性映射a)分式线性映射的形
44、式： 。wazbcdc()0它可分解为 ),);.111zwzb)性质：保角性： 分式线性映射在扩充复平面是一一对应的，且具有保角性。保圆性： 分式线性映射将扩充 平面上的圆周映射成扩充 平面上的圆周，即具有z保圆性。在分式线性映射下，如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点，那末它就映射成半径为有限的圆周；如果有一个点映射成无穷远点，那末它就映射成直线。保对称性：设点 是关于圆周 的一对对称点，那末在分式线性映射下，它们z12与 C的像点 是关于圆周 的像曲线 的一对对称点w12与 c)唯一决定分式线性映射的条件：三组互异的对应点。二、几个常见区域之间转换的分式线性映射1（ 上半平面映射成
45、上半平面： ，其中 都为实常数，且 。wazbcdacd, adbc02（ 上半平面映射成单位圆内部： 为任意实数。ezi,(Im),03（ 单位圆映射成单位圆： ， 为任意实数。wai11,()三、几个初等函数构成的映射1）幂函数： zn其中 为自然数。在 平面内除去原点外，由幂函数 所构成的映射是处处共n2 wzn形的。在幂函数 映射下:wna) 平面上的圆周 映射成 平面上的圆周 ；特别是单位圆周 映射zzrwrnz1成单位圆周 ；1b)射线 映射成射线 ；但正实轴 映射成正实轴 ；0n000c)角形域 映射成角形域 .020()n00n2）指数函数指数函数 wez由 所构成的映射是一个全平面上的共形映射。 wez指数映射将水平的带形域 变成角形区域 ；002Im()()za0arg()w而对数映射将角形域 映射成带形域 。arg： Im如果要把带形域映射成角形域，则用指数映射；要把角形域映射成带形域，则用对数映射。在两个区域之间转换的映射时，要灵活运用前面所学的知识。三、典型例题分析例 1 求将上半平面 映射成单位圆 且满足条件Im()z0w1的分式线性映射。wii(),arg()2020解 由条件 知，所求的映射要将上半平面中的点 映射成单位圆周的圆zi2心 。所以由(6.3.2)
