1、复习课资料 1（共 9 页）经济数学基础计算题复习资料一线性代数一）矩阵1运算法则：（1）m 行 n 列的矩阵 与 p 行 q 列的矩阵 的矩阵在 m =p, n =q 的条件下可以nmAqpB相加减,加减法则：对应元素相加减.（2）数乘 mnmnmnm cacaac 212112212112（3）n 行 m 列的矩阵 与 p 行 q 列的矩阵 的矩阵在 m=p 的条件下可以相乘，得 n 行 q 列的nAqpB矩阵。乘法法则：行列相乘。如： 344433222111322431 6565 bababa（4）A 的转置 ， 是 A 的行列互换。T注：A 为对称矩阵的概念 （ 即 A 的元素关于
2、A 的主对角线对称） T如 是对称矩阵 如 不是对称矩阵31423142（5）逆矩阵：矩阵 A 的逆矩阵用 表示，满足 。 （其中 I 是相应于 A 的单位矩阵，即1对角线上的数全为 1，其余的数全为 0 的 n 阶矩阵）逆矩阵求法：A 的元素与对应 I 的元素左右放置成 n 行 2n 列的矩阵（A I） ，对矩阵(A I) 进行初等行变换，变到左半部分为 I 时右半部分即为 。初等行变换有三种：交换某二行 某一行乘非零常数 某一行每一元素都乘同一非零常数加到另一行（6）矩阵的秩：任一矩阵通过初等行变换转化为阶梯形矩阵后非零行的行数就是矩阵的秩，记为秩（A）或 r(A)阶梯形矩阵满足：1.零行
3、（一行中所有元素都是 0）在最下面、2.非零行中每行最前面 0 的个数比它前一行的最前面的 0 的个数多典型例题：1矩阵 ，求 。213B,02A1)(TAB303TB21021TA 23470)1(20)3(2)( 下面求 的逆矩阵 347 2/7310732100231102 2132 、说明：这部分考试时不必写，我只是写给你看看的，为了容易理解复习课资料 2（共 9 页）2/731、TAB2 1A I,25求分析：A 是 3 行 3 列的矩阵，即 3 阶矩阵，所以对应 I 为 3 阶单位矩阵，即这里 10I解： 253)()2(0153)(2150I 10302153 、IA 12356
4、012356010015130 153 2AI、 、3设矩阵 ， 是 3 阶单位矩阵，求 84372AI 1)(I解：由矩阵减法运算得 9437284372010I利用初等行变换得 1031021094372132加 到 第 三 行第 一 行 乘 加 到 第 二 行第 一 行 乘 1002131、 332 、即 ()IA1301方法总结：先从左到右变，使左下方元素变为 0，再从右到左变，使右上方元素变为 0 且对角线元素为说明：此题每个箭头上方的文字考试时可以不写，我只是写给你看看的，容易理解（以下各题也一样）复习课资料 3（共 9 页）1。4设矩阵 ， ，求 6351A1BBIA1)(解 7
5、52)(I 23107312107352所以， =3102310)(1I BIA1)(55设矩阵 ，求解矩阵方程 2,5BABX分析： 即 ，所以本题还是求逆矩阵，即求1X1AX1解 因为 所以 13003)(I 32513251A且 1BA25说明：如果题目改为 ，则 即BXBAX111所以秩（A）3（也可写成 r（A ）3）二）线性方程组 1齐次线性方程组（即方程右边常数项全为 0）解法：第一步 写出系数矩阵 A 第二步 对系数矩阵 A 进行初等行变换（同上面求逆矩阵） ，化为行简化阶梯形矩阵 第三步 根据行简化阶梯形矩阵写出方程组的一般解。 行简化阶梯形矩阵是每一个非零行的第一个非零元素
6、是 1，且其上下都是 0 的阶梯形矩阵。 例 1求线性方程组 的一般解03284211xx 0123101213601201 3603、 、 、A一般解为： （其中 ， 是自由未知量） 4321xx34x2非齐次线性方程组（即方程右边常数项不全为 0）、 4013526 401352、 、31 10542 2、 105、 51说明：一般解中的系数就是方框中的数的相反数，如箭头所示。你考试时不必画框框和箭头复习课资料 4（共 9 页）解法：第一步 写出增广矩阵 ，即系数矩阵 A 再加上一列常数列 第二步 对增广矩阵 进行初等行变换（同上面求逆矩阵） ，化为行简化阶梯形矩阵 A第三步 根据行简阶梯
7、形矩阵写出方程组的一般解。 例：求线性方程组 的一般解 53234221xx解： 001312031213054A01312于是方程组的一般解是 （ 是自由未知量） 132421x43,x3含参数的齐次方程组用方程组的系数矩阵 A 的秩（即通过初等行变换变为阶梯形后非零行的行数）小于未知量的个数时，方程组有非零解来确定参数的值，然后写出一般解。例：求当 取何值时方程组 有非零解？并求出非零解。08352321xx解：将方程的系数矩阵化为阶梯形矩阵 5015126083521 A因为方程中末知数有 3 个，必须 A 的秩小于 3，方程组才会有非零解，所以 5 时方程组有非零解此时 故一般解为01
8、为 自 由 未 知 量 ）321(x4含参数的非齐次方程组用方程组系数矩阵与增广矩阵的秩相等（即两者通过初等行变换变为阶梯形矩阵后非零行的行数相等）时方程组有解来确定参数的值，然后求解。例：求当 取何值时线性方程组 有解，在有解的情况下求方程组的一般14796322421xx解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵 1902514796321A 1052由此可知当 时，方程组有解此时 00584905205说明：一般解中的系数就是第一方框中的数的相反数，常数项就是第二方框内的数，如箭头所示。你考试时不必画框框和箭头复习课资料 5（共 9 页）得方程组的一般解为 其中 是自由未知量 1058493
9、21xx43,x二应用题1主要有两大类，求平均成本及平均成本最低，求总利润和总利润最高。2名字解释 总成本：固定成本加可变成本 边际成本：总成本的导数总收益：生产的产品销售后得到的收入 边际收益：总收益的导数数总利润：总收益减去总成本 边际利润：总收益的导数或边际收益减去边际成本3已知总成本求边际成本就是求总成本的导数，已知边际成本求总成本就是求边际成本的积分再加上固定成本；已知总收益（或总利润）求边际收益（ 或边际收益）就是求导数，已知边际收益（或边际利润）求总收益（或总利润）就是求边际的积分。如： 00)()(CdqqC dqRq0)()(4解题方法求平均成本最低的方法：边际平均成本即平均
10、成本的导数等于零的产量对应的平均成本就是最低平均成本 求利润最高的方法：边际利润即利润的导数等于零的产量对就的利润就是最高利润。求总产量变化时成本、平均成本、收益或利润的增量时用相应的边际函数的定积分（见例 2 的第二小题）应用题中的导数与积分是比较简单的，以多项式为主，主要公式为： )(0 abCxdCba 、 cb,)(-(b1nc x1n (c) 1n1 、 acnxc 如： x26)32( 346)03204(32402)314(03 d5典型例题：例 1 已知某产品的边际成本 （万元/百台） ， 为产量（百台） ，固定成本为 18（万元） ，)(qCq求该产品的平均成本最低平均成本解
11、（1） 183218)34()(00 dq、平均成本函数 qq2)(（说明：若要求产量 q=10 时的总成本与平均成本，则只要把 q=10 代入就可以。即5941083218031)0(102 、 qCCq（2） ，令 ，解得唯一驻点28q 82q3x因为平均成本存在最小值，且驻点唯一，所以，当产量为 300 台时，可使平均成本达到最低。最低平均成本为 （万元/ 百台）931)6(例 2 生产某产品的边际成本为 (万元/ 百台)，边际收入为 （万元/百台） ，其xC5)( xR120)(中 为产量，问（1）产量为多少时，利润最大？x（2）从利润最大时的产量再生产 百台，利润有什么变化？2解：
12、LRx()() x610)120令 得 （百台） ，可以验证 是是 的最大值点，即当产量为 20（百台）0L()即 台时，利润最大0复习课资料 6（共 9 页）从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润变化为 xxLd)6120(d)(20即从利润最大时的产量再生产 百台，利润将减少 万元1)3120(20x三微积分部分一）求导数：以复合函数求导为主。1记住常见函数的导数1 为 常 数 ）C(0axln)(52求导的四则运算法则：(1)和差的导数 )()( xgfxgf （2）乘积的导数 特例)(xfgxf （3）商的导数 2( 的 平 方导 数 乘 分 子 再 除 以 分 母母 减 去 分 母
13、 的记 忆 ： 分 子 的 导 数 乘 分3复合函数求导方法： )()()(),( xufxfffufy ， 则即若如： 。 思路：把 解：xy求,2sin yuxsin,看 成xcos2cos)(co（这实际上就是上面公式 等等的应用）典型例题：1已知 ，求 分析：这首先是乘积的导数,然后求 的导数时是复合函数的导数. 2ixy 2six解： )(sini)(sn( 22 xy )(co2sinlxx 22cosinlx2设 ，求 co分析：这首先是差的导数,然后求 的导数都是复合函数的导数.ico与 222 slsi)css)(si)(x xxx （）（解 ：3 分析：这首先是商的导数，然
14、后在求 的导数时是复合函数的导数yy求,1ln )1ln(1)2nx 11)()()()( nnbaxbaxxb、e3 l41log6 )cos()()cos()(sin baxbaxbax ;cos)(cs)(sin1nnxxx、 ueuxsin)(co8 ;sin)(1x )(Cnniii 11aaa)l xxxx aaasi)l()(si)(co )(1)(lxux)(l)()(1lgaiuu)csuusino1 7 i(bb、(1n复习课资料 7（共 9 页）222 22 )1(ln)1(l)1()ln(0( )()1ln(010()l()(ln xxxx xxxxy ） ）解 ：4
15、分析：这是复合函数的导数，但有两层复合。 yy求,sinl2解： 22222 cotsinco)(cossin1)(iix说明：（1）若题目改为求 dy，则只要在求出 即可。dxyy、（2）若题目改为求 ，则只要在求出导数后、 afayxa()()( 、xa如： 1,sinl2dy xyd2cot 1cot2t12)(y二）求积分1原函数定义 的 原 函 数为时 称当 )()(xfFxfF2积分的定义 表 示的 不 定 积 分 ， 用的 所 有 原 函 数 就 是 dff )()( Cdff 即3积分公式 CxunxunCxndx n 11 )()(1(的 常 数 ）为 不 等 于 e ede
16、)(为 常 数 ）axa(l axaul)(Cd|n1 Cu|)(|n)(1xcossi xxdcossii )(i)(co4积分方法（1）直接法 直接利用公式计算 （而且用到公式 ）为 任 意 常 数 ）其 中 kdxfkxfdxgg()(（2）凑微分法 ，)(dufdxf凑 成根 据 需 要 把如常Ceexexdx xxx 22255 )1(3)()1()1(12)(21)(用到： 为 常 数 ）为 常 数 ） ndbaan, 为 常 数 ）为 常 数 ） aexcex xa()(为 常 数 ）为 常 数 ）xd (cos1sisin1cos （3）分部积分法 （主要掌握以下几个题型即可）
17、 duvu公 式 ：复习课资料 8（共 9 页）)(sin1cocos)1(cs)cos1(sin (cos1iniinico 22、aCxaxadxaxdax xd 为 常 数 ）其 中eeee xa (2 dxnxnxnnxxn 1l1l1l1)(ll 、Cxdn ()(11 2 5定积分 （1） )()( xfFabFaxfba ） （其 中 即 ()()( abxdfCdxf （要见求定积分实际上是先求不定积分再补是最后一步即可）如： 37123131212 33232121 2 )1()(1)()()()(3)( eeeeddxeCexe xxxx 、(2)分部积分法 babavuu
18、v如： 8312)0cos32(4130)2cos(132)2sin1)02sinsi)sinsi(sincs 3300 x xddxxdx典型例题：1求 ln02)(dex解： 319)(3)1(302ln)1(3)()1( 02lnln022l eeedexxxx2计算 解：e Cdxxx3计算 解： = = =xdln12exln12e)lnd(1)l(2-e122e1)l(x)(上面三题是凑微分法。3计算 e1dlnx复习课资料 9（共 9 页）41)(2121d21 d12)lnl(dlnlnlnl 2e ee22 eexx xx、4求 解：cos020)cos(2)dsinsi(2din2200 xxxxx5 解：exd0 1220020 eeee xxxx以上三题是积分的分部积分法。
