高等数学题库(下).doc

1、第 - 1 - 页 共 -18- 页高等数学题库(下)一、填空题（每小题 4 分）1已知 ，则 夹角的余弦等于 .kibjia3,2ba,2曲线 在点 处的切线与 轴正向所成的倾角为 .13yzx1,z3设 则 等于 40,:yDdxD34设 是柱面 在 之间的部分，则积分 .22axhz0 dsx25设 具有一阶连续偏导数，其中 ，则 .),(vufz 2,yvxuz6曲线 在点 处的切线与 轴正向所成的倾角为 .1yx2,x7若 是曲面 上一点，且在这一点处有 而 ，那么),(0z0),(zyxF 2yxFz曲面在这一点处的切平面与坐标面 所成的二面角是 .xoy8当 时，则 的值等于 1

2、|),(2yxDDd9级数 的收敛域为 .1nn10点 到平面 的距离是 .),2(M012zyx11由曲线 及直线 所围成图形的面积值是 .xy,12. 已知 ,则向量 在 轴方向上的分向量是 .kjibkjia5,432 bac2z13.幂级数 的收敛区间为 .1)(nnx14.曲线 在 平面上的投影曲线是 .bzaysicoxy15级数 的和是 .193n16设 而 ，其中 具有连续的一阶偏导数，),(wvufz )(),(),(yFwxvyx),(wvuf均为可导函数，则 .),yFxz17 在 的和函数是 .1n|18过点 且与平面 垂直的平面方程是 .)3,02(025374zyx

3、第 - 2 - 页 共 -18- 页19函数 的定义域为 .)1ln(42yxz20设 ，则 .xyecosdz21设 ，则曲线积分 .22:a dszyx)(2222设 是球面 的内侧，则曲线积分 .22zyxyzx)(2223曲面 上平行于平面 的切平面方程是 .1yz 03zyx24设 是矩形域： ，则 .D1,40Dxyd2cos25.设 是从 到 的线段，则曲线积分 .L),1(A)2,(BL)(26过点 的直线方程是 .,0,3M27设 ，则 .,)sin(),(2xyyxf )1,0(xf28设 ，则在点 处 的梯度是 .zyzu4322 )3,2(Au29设 是以 为顶点的三角

4、形域的周界沿 方向，则L)0,(,)0,1(CBA ABC.dyxy23(30 在 的和函数是 .02!)nn),(31设 连续且不同时为 ，曲线 自 的点到 的点 间的弧长),(t 0)(),(tytxabt)(bta为 .32函数 ，沿曲线 在 点处的切线方程的方向导数是 .22zyxu )sin(6,23tztyx)0,12(33把 展开为 的幂级数，其收敛半径 .)0(,)(abf R34函数 在点 沿 的方向导数等于 .32yzxu1,(kjil235级数 的收敛区间是 .0)(lgnn36、设 ，则 _。byaxzrctz37、曲面 在点（2，1，0 ）处的法线方程为 。42ze3

5、8、过点（3，1，-2）且与直线 垂直的平面方程为12354zyx。第 - 3 - 页 共 -18- 页39、幂函数 的收敛区域为 。1)(2nxn40、函数 在点（1，1，1）处的最大方向导数为zyuarct。41、设 则 。),(2cosaxbyzz42、函数 的麦克劳林级数为 。1)(ef43、过点 M（1，2，-1）且与直线 垂直的平面方程为 。1432tzytx44、方程 在空间的几何图形是 。142yx45、设函数 u（x，y）具有二阶连续偏导数，则当 u（x，y）满足条件 时，曲线积分 。Ld046、设函数 则全微分 dz= 。yxz2arcsin47、设 具有连续偏导数， ，则

6、 。),(vuf ),(yxyfzz48、函数 展开成 的幂函数为 。x149、级数 的收敛区间为 。02nnz50、点 M（1，2，-5）在平面 上的垂直投影点为012zyx。51、设 ，则 dz= 。yxez52、设函数 由方程 所确定，则 ),( zexyxz53、曲面 ，则该曲面在点（3，2，7）处的切平面方程为_yxz54、曲线积分 的值是_，其中 是是沿抛物线 上从点(1,-1)到点(1,1)的一段弧。ldl xy255、若 ， 则 的夹角为_3ba,kjiba与56、 ，则 。21rctnyxz)1,(|dz57、级数 的收敛半径为 。nn1l第 - 4 - 页 共 -18- 页

7、58、设平面曲线为下半圆 ，则 21xyLdsy)2(59、设有椭圆球面 ，则它在点 处的切平面方程为 。2zx 1,60、设 则 u 在点（2，-1，1）处的方向导数的最大值为 。,2zyu61、交换积分次序 0),(xdyfd62、设是 的部分，则 1,2zyxz dszyx)1(2263、级数 的敛散性是 1)2(nn64、空间曲线 从点 O（0，0，0）到点 A（3，3，2）的弧长为 32,3tztytx。65、设向量 与 共线（平行） ，并满足 ，则akjib2 8baa66、函数 的极小值点是 23yxz67、设 为可微函数，则曲线积分 与路径无关的充分必要条件是 ),(yxFBA

8、xdyF)(,68、已知曲面 上点 M 处的切平面平行于已知平面 ，则点 M 的24yxz 0532zyx坐标为 69、设 ，由 所确定，其中 f 为可微函数，则 。),(yxz )(yxfzyx xz70、级数 的收敛域为 nn1271若函数 在点（1，-1）处取得极值，则常数 ；yxayxf 2),(2 a72设曲面 为常数） ，则曲面积分 ；0.(:z dszyx)(2273已知级数 ，则级数 的和= ；612n12)(n74已知 a=3,b =26,ab=72,则 ab= ;75设 则 ；),rct(xyzdz76交换累次积分的顺序 10412),(),(xxdyfdyf77已知 是介

9、于两平面 与 之间的圆柱面： ，则曲面积分 zHz 22Ryx；dszyx221第 - 5 - 页 共 -18- 页78设 ，则 ；yxez2dz79交换积分次序 ；102),(ydxf80设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 的收敛区间为 na0 11)(nnxa；81函数 在点 A（1，0，1） 处沿 A 点指向 B（3，-2，2）点方向的方)ln(2zyxu向导数为 ；82设星形线方程为 ， （ 0）,则该曲线的周长为 2323ayx83求由 所围城的平面图形绕直线 旋转一周所得旋转体的体积 ,1 1y；84已知三角形三个顶点坐标是 A（-1，2，3） ，B（1，1，1） ，C（0，0，

10、5） ，则ABC 的面积是 ；85直线 ： 与直线 ： 的夹角为 1l1825zyx2l36zyx86过点（1，2，-1）且与直线 垂直的平面方程为 143tzytx87极限 ；201)ln(imyxey88极限 ；2430liyx89极限 = ；2)(cos1li20yxyxe90设 则 ；,lnzz91设 ，则 ；xyesidz92曲面 在点 P(1,2,0)处的切平面方程是32z93函数 在点 M（1，2，-2）处的剃度 )ln(2zyxu gradu94设 .0,:;,1:2yxD,)(12dID2)(2DdI则 和 满足关系式 ；2I第 - 6 - 页 共 -18- 页95级数 的和

11、= ；1)(n96设级数 收敛，其和为 ，且 则级数21nna s,0limna的和为 ；1na97设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 的收敛区间为 nxa0 11)(nnxa；98设幂级数 在 处条件收敛，则其收敛半径 nnxa)1(03x；R99级数 的和为 ；1)!(n100幂级数 的收敛域为 。0nx二、计算题（每小题 7 分）1 在区间 内求一点 ，使得 等于函数 在该区间上的平均值。3,0c)(cf 23)(xf2 在空间直角坐标系中， 分别为坐标平面 上各坐标轴之间夹角的平分线，321,l zoy,求它们两两之间的夹角。 3 设平面与原点的距离为 ，且在坐标轴上的截距之比为 ，

12、求此平面方程。6 2:31:cba4 设 ，求 .)arctn(yxyzdz5 决定参数 值,使原点到平面 的距离等于 .k 62kzyx26 计算曲线积分 ,式中 是曲线 上从点 到点 的一段.Ldx2Lxln)0,1(),(e7 设 ,求 的值,使 在同是 不 平 行 的 非 零 向 量 ）与 baOCbaBbaOA(),8,13CBA，一直线上.8 设 ,求 .yxzsinyz9 求 .xyilm010 计算 ,其中积分区域 是由 确定.dvzyI)(22 )0(,222 bazbyxa第 - 7 - 页 共 -18- 页11 计算曲线积分 .式中 是曲线 上，对应于 的一段.Lxdsy

13、e )0(,cosin2atyx 40t12 求幂级数 的收敛区间.n113 求曲线 在点 处的切线和法平面方程.2yxz)1,(14 求与向量 共线且满足方程 的向量 .kjia 18xax15 设 ,其中 具有连续偏导数, 具有连续一阶偏导数,求函数 对变量),(),2yxtff 的全微分 .yx,d16 设 是由 所确定的区域, 是 上的连续函数,试写出用两种不同次序D023yx ),(yxfD的二次积分来计算 的公式.DdxyfI)(17 已知两点 和 求一平面,使其通过点 ,且垂直 .)1,7(A43BBA18 设级数 收敛 ,试讨论级数 的敛散性.1nu)21,0nu其 中 1nu

14、19 求函数 的极大值或极小值.yxyxz2220 计算二重积分 ,其中 为由 所围成的区域Dd)(Dxyy2,21 设 ,求以向量 为边的平行四边形的对角线的长度.kjbjia2, ba,22、设 ，求 dz。yxz23、设 ，求 du。zu24、设 z（ x，y）是由方程 的隐函数，求 。xyzeyzx,25、设 ，求 的值。)2ln(26、设 ，求 和 的值。322zxyuyxuz227、设 是由方程 所确定的隐函数，求 的值。),(zze223yzx,28、设 ，求 。)sin(,3yxeyxfx)1,(xf29、设函数 ，求 。zu1)().(du130、设 具有一阶连续偏导数，其中

15、 求 的值。,wvfz ywevxuyln,si,2z31、设 其中 ，求 。)ln(yxex3dz32、设 ，求 。usi)1,2(|u33、求函数 的梯度。xyzyx33第 - 8 - 页 共 -18- 页34、求函数 在点（1，1，1）处沿 方向的方向导数。zxyu)1,2(n35、求 ，其中 D：Dd2sin 4yx36、设 D： ，求 的值。10,yxdsin37、设 D： 求 的值。,2,Dyd38、求 ，其中 D： 。xye 01,0x39、求 ，其中 为柱面 所围成的立体的第一dv 1,0,2 zyxy， 及 平 面卦限的部分。40、求 ，其中 ： 。dvzyx)2( zyx2

16、241、设 由三个坐标及平面 围成，求 。1zxdv42、设 为球体 ，求 。2)(2zyxzy)2(43设向量 a=(1,0,2),b=(1,1,3),d=a+ (ab)a ,求满足条件b d 的数 。44已知向量 a= b , cr(常数)，求当 c 满足关系式 a=bc 时，r 的最,3jiji小值。45三力 f f f 作用于一点，求合力的大小及合力的方向角。1,2ki,42kjikj346若力 F = 作用在一质点上，质点的位移是 j64D ,力的单位为公斤，距离的单位为米。求力所作的功，并求 F 与 D 的夹角。kji347三力同时作用于一点，设它们在坐标轴上的投影分别是：； ；

17、。,2,11zyx 4,3,22zyx 5,4,33zyx求合力 F 的大小和方向。48.已知三角形 ABC 的顶点是 A（1，2，3） ，B（3，4，5） ，C（2，4，7） ，用向量求角 A 的正弦。49已知两球面的方程为 ， ，求它们的交线在 面上的122zyx 1)()1(222zyx xoy投影。50求对数螺线 ， ，从向径 到 之间的弧长。aer)(第 - 9 - 页 共 -18- 页51求圆柱螺旋线 ， ， ，从 到cosaxsinaykz12的弧长。)(2152设 ，求 。yxyxfarctn)1(),()1,(xf53.求由方程 所确定的隐函数 在点22zz ),(yxz（1

18、，0，-1）处的全微分 。d54设 ，其中 由方程 确定，2),(yzexfx),(yxz 0xyz求 。x55设 ，且当 时， ，求 。)2(yxfez 0y2xzz56已知曲面 上点 P 处的切平面平行于平面 ，求点 P 的坐标。4 012zyx57设函数 ，求 。yxzarctndz58已知 ，求 。euu259设 在点 （1，1）处可微，且 ，),(yxfz 2,1)(),(xff ,3)1,(yf，求 。,)(f)(3xd60设函数 ，其中 具有连续的一阶偏导数，,(2yxeFz ),(vuF试求 。yx,三计算题（每小题 8 分）1 由曲面 与 所围成立体为 ，其密度为 ，求 关于

19、 轴的转动惯量。zyx22 2yx1z2 确定级数 的收敛域。1)2(nnx3 函数 由方程 所确定,其中 有连续导数,求 .),(yz 0)(zyxz dz4 设 是连续函数,改变 的积分次序.xf xdf210,5 求曲线 和它在 处的切线及 所围成图形的面积,并求此图形绕 轴旋转所得ysinx x旋转体的体积.第 - 10 - 页 共 -18- 页6 求函数 的全微分.zyxu7 设 是连续函数,改变 的积分次序.)(f yy dxfdxf4020 ),(),(8 在曲线 上求一点,使曲线在这一点的切线平行于平面 .32,tzytx 42zyx9 设 有连续导数,证明由方程 所确定的函数

20、 满足关系式f )(2zxfyzR),(z.0)(2yzRyxz10 在曲线 上求一点,使该点的法线垂直于平面 ,并写出所求法线方程. 093zyx11 求函数 在点 沿与轴正向成角 方向的方向导数。2yxu)1,( 6012 将直角边长分别为 及 的直角三角形薄板垂直浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与a水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力。13 判别级数 的敛散性)cos1(22n14 函数 由方程 所确定, 具有连续的一阶偏导数,求 .),(yxz0),(xzyFFdz15 计算曲线积分 ,式中 是折线 从 到 的一段.L dydcosin) L|xy4x16

21、在曲面 上找一点，使它到点 的距离最短，并求最短距离.2yxz )3,21(17 求曲面 包含在圆柱面 内的那部分 的面积.2 xy2）记 为 (18 计算二重积分 ,其中积分区域 为 .dxyD)sin(2D0,42yxy19 设 ，求 .xyu)cos2u20 设 是由点 沿直线段至点 再沿直线段至点 ,计算曲线积分L,(baA)0,(O)0(),abB.xdy21 求函数 的极大值点或极小值点.)2(),(2yxef22 确定级数 的收敛域.12n23 求两曲线 所围成平面图形公共部分的面积.cos,rr24 函数 有方程 所确定,其中 具有连续一阶偏导数,证明),(yxz 0),(xz

22、yFF.25 证明:积分 与路径无关,式中 是不经过直线 的任意路径.dyxdyxL33)()( L0yx第 - 11 - 页 共 -18- 页26 设 是连续函数,将二次积分: 改变积分次序.)(yxf 23),(10xdyf27 判别级数 是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?)12(531!)(nn28 若平面过 轴且与 坐标面组成 的角,求它的方程.xoy3029、求 的值。0deyx30、求 的值。12y31、求 的值，其中 D： 。Ddxxy232、求 的值，其中 为： 。yz3 21,yxz33、求 ，其中 为： 所围成的立体。d yxz3422与34、 是 yoz 平

23、面上的圆域 ，求 的值。12xydsz)(35、求曲线积分 的值，其中 L 是折线 。Lyds 20(1xy36、设 L 为 ，则曲线积分 的值。2axdsx)2(37、设 L 为由点 A（2，1，2）到原点 O（0，0，0）的直线段，求曲线积分的值。Ldszyx2)(38、设 L 为从点（1，0）到（-1，2）的线段，求曲线积分 的值。Ldsyx)(39、设 L 是以 A（-1 ，0） ，B（-3，2）及 C（3，0）为顶点的三角形域的周界，沿 ABCA方向，求 的值。dyxy)()3(40、设 L 为取正向的圆周 ，求曲线积分 的值。42xLdyxdyx)()2(2141、求曲线积分 ，其

24、中 为位于第一象限中的圆弧 BAyxdy )cosin()sinco2( BA。)1,0(),(,12yx42、设 L 为圆 上第一象限的部分，求曲线积分 的值。2yx Ldsyx)2(43、设 是 的部分，求 的值。10,2zz zyx)12(44、设 L 为圆 ，求曲线积分 的值。22ayxLds)(245、求 ，其中 L 为曲线 从点（0，0）到（1，1）的一段。Lds2yx第 - 12 - 页 共 -18- 页46、设 表示半球面 的上侧，求曲面积分 的值。21yxzzdxy)1(47、设 其中 f 可微，求 的值。)(22yxfyz yxz48、求由方程组 确定的隐函数的导数0322

25、z dxz49、求函数 的极大值或极小值。yxyxz50、求 关于各个变量的偏导数。),3(22zfu51、设 ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 的值。),xyfz 2yz52、求两平行平面 与 之间的距离。014263z07263zyx53、求曲线 在 xoy 面上的投影曲线的方程。22)()1(yxz54、求过点（-3，2，5）且与平面 和 的交线平行的直线方程。034zx0152zyx55、求与平面 垂直且过原点及点（6，-3，2）的平面方程。84zyx56、求两直线 L1： 与 L2： 的夹角。15z36zyx57设 为 ，计算 。22Rzyxdv)(58设 为 ，计算 。1byax

26、259设 为 ，计算 。20yxzzv60求密度为 1 的旋转抛物体 ： 对 轴的转动惯量。12yxz61计算： 。02xydeI62计算； 。dyxx4221 sinsin63计算： 。edyedyI xx1224164计算： ，其中 D 为： 在第一象限的部分。xID2 12yx65计算： ，其中 由 ，dvz)(z2yxz所围成。66设 L 为取逆时针方向的圆周 ，计算：22Ryx。dyxdyx)4()2(267.设 L 为取逆时针方向的圆周： ，计算 。22yxLyxd2第 - 13 - 页 共 -18- 页68.设 ， 试求 。2yxudu69设 为连续函数，试改变二次积分 ),(f

27、的积分次序。2042),(,y ydxfxdI70曲面 在点 处的切平面和法线方程是什么？0)cos()sin(z31271试将 化为柱面坐标系下的累次积分，其中 为连续1122),(xyxzfd ),(zyxf函数。72判别级数 为常数）的敛散性。1!na0(73判别级数 的敛散性。nn2l1374已知级数 ，则级数 的和等于什么？621n 12)(n75设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 的收敛区间是多少？nxa0 11)(nnxa76若级数 收敛，则级数 一定绝对收敛吗？12nu1nu77设函数 ，224),( yxyxfz 由方程组 解得其驻点为0),(3fyx，其中函数的极小值点是

28、哪个？1;);0,(21M78设空间区域 .,:2zRyx.0,21 zyx则三重积分 与 的关系是什么？zdxy1zd79设直线 在平面 上，而平面 与曲面 相切于点 P（1，-2，5） ，03zayxb2yxz则常数 与 的值各是什么？80曲面 与平面 的交线在 平面上的投影曲线的方程是什么？422zyx azxyoz四解答题（每小题 9 分）1.将 展开成以 为周期的傅立叶级数。,|2,0|)(xHxf 22.设 132431)( nxxf第 - 14 - 页 共 -18- 页证明 在 内是连续的.)1()(xf)31,计算积分 .)2(810)(df3.计算曲面积分 ,其中 是由曲线

29、绕 轴一 yzdxyxzy4)1(2)( )31(,0yxz周所成的曲面,其法向量与 轴正向的夹角恒大于 .24.设 ,其中 为常数,求 .222)()()(,1czbyaxrucba22zuyx5.设 ,其中 二阶可导,证明 .)( 22uyxu6.计算 ,积分区域 是由 确定.为 正 整 数 ）ndxyzzyxIn(,)(122 4122zyx7.判别级数 的敛散性.119!nn8.证明:由 ,及 轴所围的平面图形绕 轴旋转一周所形成的立体对 轴的转动惯)(,xfybxa x x量 为 .其中 是连续的正值函数.)1u（ 密 度 axdfI24)(xf9.设 是曲面 上任一点,证明在这一点

30、处曲面的法线垂直于向径 ,其中 是可,(0zyxM)(xyfz OMf导函数.10.计算 ,其中区域 为 .DdxyI)(sin12 D20,yx11.计算 ,其中 是曲面 在第一卦限中 间那部分的下侧.xyzzd2yz1z12.在对角线为常数 的长方体中，求其体积为最大的长方体的边长.13.计算 ,其中 是由 以及yzdxxyxz22222 4,azyxazyx所确定的立体的表面外侧.2y )0(a14.计算 ,其中 是圆域 .dxyD)(Dyx215.证明曲面 上所有点处的切平面都通过一定点.xez16.已知直线 及点 ,求 到直线 的距离.13zyL)10(P0L17.将 展成以 为周期

31、的正弦级数.)0(,2)(xxf 218. 在圆锥面 和平面 所围成的圆锥内,求底平面平行于 平面的最大长方体的2yRhzhz xoy体积 .)0,(第 - 15 - 页 共 -18- 页19.将 展成以 为周期的傅立叶级数.,0,|,0)(xaHxf220.判别级数 的敛散性122)!()!nn21.在 面上以 为顶点的三角形薄片,其上任一点的面密度与该点到原点的距xoy)01,0CBA离的平方成正比,且知在点 的面密度为 ,求此薄片的质量.222、设 ，其中 f、g 具有二阶连续导数，求 。)(xygyfu yxu223、试求球体 的质量，已知球体上任意一点的密度与该点到原点的距离平方z2

32、2成正比。24、计算曲面积分 ，其中 是曲面 （0z1）的外侧。zdxyzI)( 2yxz25、设 ，其中 为连续函数， 存在且 ，22 )()(2tzyxftF)(uf )0(f 0)(f，求 。1)0(f 50limt26、计算曲线积分 ，其中 L 是由点 A（a，0）沿曲线dyLaxyxday )2ln(2到点 B（- a ，0）的曲线弧。2xayb27、设由曲面 与 所围成的立体中每点的体密度与该点到 xoy 面的距2yxz2yxz离成正比，求该立方体的质量。28、设有曲面 S： 和平面 ： 在曲面 S 上求一点，使过该点的142zyx 052zyx切平面与平面 平行。29、求幂函数

33、的收敛域及和函数。012)!()1nnx30、设 其中 均可导，且二阶可导函数 满足 ，求(yxfz )(,y )(uf 0)(uff。yxz231、计算曲面积分 其中 为下半球， 的dxyzydzx333 )0(22RyxRz下侧。32、求曲面 在点 M（1，-1，3）的切平面与曲面 所围成立体的体积。21yxz 2yxz第 - 16 - 页 共 -18- 页33、求质点沿曲线 L： 的逆时针方向运转一周时力0,1962zyx所做的功。kjzizyxF )24()324()3( 34、已知 ，其中 f 具有二阶连续偏导数， 。cos,sinyexfy yxz235、证明： ，其中 是球体 。

34、12)()(dttfdvzf 122x36、求幂函数 的收敛域及和函数。21nx37、计算曲面积分 ，其中 是曲面 在 xoy 面 dxyzxdzyz)()(2 2yxz上方部分，方向取向上侧。38、将函数 展为 x 的幂级数，并指出其收敛域。)126ln()xf39、在变力 的作用力下，顶点由点 A（2a，0）沿曲)0()cos(si ajyeiyeFx 线 运动到点 O（0，0） ，求变力 所做的功？并问参数 a 为何值时， 所做的功最大。2xay FF40、设 f（x，y）为一连续函数，且 ，求证：).(),(xyff。xdyfdd01,(10),(141、计算 ，L 是圆周 的逆时针方

35、向。yeLx )sin222 22ayx42、设 是球面 的外侧，求积分 。azzd43求函数 在点 P（1，-2，1）处沿曲线 L： 的切线方向的方向22zyxu 0622zyx导数。44计算曲面积分 ，式中 ，dxyrzydzrx333 22zyxr为球面 为常数）的外侧。0(,22ayx45计算曲面积分 其中 是平面 被三个坐标面所截下的在第)zyx,ds022zyx一卦限的部分。46设 是沿动圆周 的逆时针方向，计算含曲线积分的极限 tL22tyx（式中 为常数） 。tLt dynmxdbyax)()(1lim20 nmba,47计算曲线积分 ，其中 L 为椭圆 从点 A（- L yy

36、 dyxexe)2()2( 332 192yx第 - 17 - 页 共 -18- 页1，0）经第二象限至 B（0，3）的弧段。48计算曲面积分 ，其中 是球体dszyxx)coscos(222 与锥体 的公共部分 的表面， 是其外法线方向的方向zyx22zcos,cs余弦 。49求幂级数 的收敛区间及和函数。nx12!50设函数 由方程组 所确定，)(),(zy032zyx求 。,dzxy51求密度为 1，且由 ， ， ， ，2yxz2yxz11yx， 所围立体的重心坐标。yxyx52设 ， ， ，其中函数 与 都有连续的一阶偏导数，试求 ),(zfu0),(2zexyxysinf。dx53计

37、算 ，其中 D 是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭dxyD21 12yx区间。54求三重积分 ，其中 是由曲线 绕 轴旋转一周所成的曲dxyzxI)(202xzy面与平面 所围的立体。4z55验证：当 时，存在二元函数 ， ，并求 。0yx ),(yxfu2)(yxddu),(yxfu56在椭圆 上求一点，使其到直线 的距离最短。42 063257设 与 都是有二阶连续偏导数的二元函数，且使曲线积分 与路径无),(yxP),(Q LPdyQx关，证明：曲线积分 也与路径无关。dyxPL58修建一座容积为 V 的形状为长方形的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别是仓库地面每单位面积造价的 3 倍和 2 倍，问如何设计长、宽、高，使仓库的造价为最小。59设点 是曲面 上任一点，试证明在这点处曲面的法线垂直于向径 ),(00zyxM)(xyfz，其中 为可导函数。0Of60将函数 展成 的幂级数，并指出该幂级数的收敛域。)1ln()xx第 - 18 - 页 共 -18- 页