1、1工 程 数 学作业之一解答2作业一：线性代数一问答题1叙述三阶行列式的定义。答：定义 1：用 个数组成的记号 表示数值：2312133a23213211 3aaa称为三阶行列式，即：12133a23213213aaa定义 2：用 个数组成的记号 D 表示数值：2n11nna 2323123()nnnaa 21323113()nnnaa 12,132311,1()nnnaa称为 n 阶行列式。2叙述 n 阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。答：定义：在 n 阶行列式 D 中划去 所在的第 i 行和第 j 列的元素后，剩下的ija元素按原来相对位置所组成的（n1）阶行列式，
2、称为 的余子式，记为 ，ijaijM即3ijM11,1, 1, ,1111,jjniijijinnnjnjaaaa 称为 的代数余子式，记为 ，即(1)ijijij ijAijAijijM3叙述矩阵的秩的定义。答：定义：设 A 为 m n 矩阵。如果 A 中不为零的子式最高阶为 r，即存在 r 阶子式不为零，而任何 r+1 阶子式皆为零，则称 r 为矩阵 A 的秩，记作（秩）r或 R（ A）r4叙述对称阵、可逆矩阵的定义。答：定义 1：满足条件 的方阵 称为对称阵。其特点(,12,)ijjian ()ijna是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。定义 2：对于 n 阶方阵 A，如果存在 n
3、阶方阵 B，使得 ABBA=E，其中 E 为n 阶单位阵，则称 A 为可逆阵，称 B 为 A 的逆矩阵。5叙述矩阵的加法运算、数乘运算定义。答：定义 1：设两个 m n 矩阵A ，B 1nma 11nmb 则称 m n 矩阵 为矩阵 A 与 B 的和，记作 AB11nmmaabb 定义 2：以数 k 乘矩阵 A 的每一个元素所得到的矩阵，称为数 k 与矩阵 A 的积，记作 kA，如果 A ，那么 kA= ,即()ijn()()ijmnijnkakA=121212nmmaakk46叙述向量组的线性相关和线性无关的定义。答：定义：设有向量组 如果存在一组不全为零的数 使得12,s 12,sk成立，
4、则称向量组 线性相关。否则，即12skkO 12,s仅当 时，才有 成立，则称向量组0s 12skkO线性无关。12,s7齐次线性方程组的基础解系是什么？答：定义：设 T 是 的所有解的集合，若 T 中存在一1212120nnnaxax 组非零解 满足12,s（1） 线性无关；s（2）任意 ，都可用 线性表出T12,s则称 是此方程组的一个基础解系12,s8试述克莱姆法则的内容。答：克莱姆法则：如果线性方程组 121212nnnaxaxb 的系数 构成的行列式 D ,则此线性方程组有唯一解：(,)ija 012,nDxx其中， 是将系数行列式 D 中第 j 列元素对应地换为常数项(,)j得到的
5、行列式12,nb511,1,1,22221,1,1jjnjnnjnjnabaD 二填空题（共 8 题，每题 4 分，共计 32 分）1行列式 4 1D2若 A是对称矩阵，则 AT O 。3设 ，则 18|A| 12133a1121323366aa4设 均为 3 阶矩阵，且 ，则 ,AB|ABTAB72。5设行列式 ，则 D中元素 的代数余子式 = 120D23a23136 n阶行列式 中元素 的代数余子式 与余子式 之间的关系是 nDijaijAijMijiijMA)(。7设矩阵 中的 r阶子式 ，且所有 r+1 阶子式（如果有0r的话）都为 0，则 。()A8设 ，则 。12010219如果
6、齐次线性方程组 的系数行列式 ，122120nnnaxax |0D6那么它有 只有零 解10齐次线性方程组 总有 0 解；当它所含方程的个数小AX于未知量的个数时，它一定有 非零 解。11用消元法解线性方程组 b，其增广矩阵 A经初等行变换后,化为阶梯阵，15310240Ast则(1)当 s=0, 时, bX无解;t(2)当 =0, =0 时, A有无穷多解;(3)当 , t是任意实数时 , 有唯一解.0三计算题1计算行列式 13564xx解：原行列式可化为： 335(1) ()646xx )(2x 3122计算行列式 113609122解：原行列式可化为： 36101632921059406
7、7 （ ）529140529146061421590523计算行列式 2140982解：原行列式可化为：1320985102395 12039513201201()26001400600-18004设矩阵 ，求 。23123,001ABAB解： B112564 0|A56241056()245已知行列式 ，写出元素 的代数余子式 ，并求251237446943a43A的值 43A8解： 43A43(1)M25746737(2(5)2)66546设 ， ，求 。120143A120B()IAB解： ()I1011240320143()IAB124013025907求矩阵 的秩。251843170
8、A解： 25384170253184742009516320950所以，矩阵的秩为 298解齐次线性方程组 。123412340517xx解：对系数矩阵施以初等变换：A 1243517061283912403010230与原方程组同解的方程组为： 134250x所以：方程组的一般解为（其中， 为自由未知量）13425xx34,x9试问 取何值时，齐次线性方程组 有非零解？1230 x解：系数行列式为： 3112120204608所以，当 8时，该齐次线性方程组有非零解1010解线性方程组 。1231590x解：对增广矩阵施以初等行变换： A13590131462310462所以，原方程组无解。
9、11解线性方程组 。1234518xx解：对增广矩阵施以初等行变换： A25318425319025312901251091479520与原方程组同解的方程组为： 13427519xx所以：方程组的一般解为( 是自由未知量); 13427951xx34,x1112设矩阵 ，解矩阵方程 。012134,56AB TAXB解： ；1214323156T由于 TBAX.则有 1TAB2134536 5916732四应用题7某工厂采用三种方法生产甲乙丙丁四种产品，各种方案生产每种产品的数量如下列矩阵所示： 5974 8 6A甲 乙 丙 丁 方 法 一方 法 二方 法 三若甲乙丙丁四种产品的单位成本分别为 10、12、8、15（万元） ，销售单位价格分别为 15、16、14、17（万元） ，试用矩阵运算计算用何种方法进行生产获利最大？解：设单位成本矩阵 ，销售单价矩阵为 ，则单位利润矩阵为10285C15647P，从而获利矩阵为 ，于是可知，5462BP 5 9 18634 782LAB采用第二种方法进行生产，工厂获利最大。
