1、利用向量巧解中学数学题（数学哥搜集整理）1利用向量巧解中学数学题目 录1. 前言22. 向量基本性质回顾33. 向量巧解空间几何中的问题53.1向量巧解角的问题53.1.1求异面直线 a与 b所成角 53.1.2求线面所成角 73.1.3求二面角的大小83.2向量巧解距离问题93.2.1求点到平面的距离93.2.2求两异面直线的距离103.3向量巧解平行与垂直的问题113.3.1平行113.3.2垂直124. 向量巧解平面解析几何中的问题124.1平面几何124.2解析几何135. 向量巧解复数的问题146. 向量巧解三角函数的问题157. 向量巧解其他代数问题167.1求最值167.2求取值
2、范围177.3解方程177.4代数求值177.5证明等式177.6解不等式187.7代数式197.8数列198. 结束语191.前 言随着新课改逐步深入，向量及其运算成为高中数学新增内容，它融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与函数、复数、导数、平面几何、立体几何和平面解析几何等方面内容交叉渗透，使数学问题情境新颖别致，自然流畅，令人赏心悦目。能够灵活和综合应用向量法思维解决数学中的问题，对于我们拓展解题思路、提高解决效率、掌握解题技巧等方面起到了很好的直观帮助。2.向量基本性质回顾1.向 量 的 概 念既 有 方 向 又 有 大 小 的 量 叫
3、 做 向 量 （ 物 理 学 中 叫 做 矢 量 ） ， 只 有 大 小 没 有 方 向 的 量 叫做 数 量 （ 物 理 学 中 叫 做 标 量 ） 。2.向 量 的 几 何 表 示具 有 方 向 的 线 段 叫 做 有 向 线 段 ， 以 A 为 起 点 ， B 为 终 点 的 有 向 线 段 记 作 。AB（ AB 是 印 刷 体 ， 书 写 体 是 上 面 加 个 ）有 向 线 段 的 长 度 叫 做 向 量 的 模 ， 记 作 | |。有 向 线 段 包 含 3 个 因 素 ： 起 点 、 方 向 和 长 度 。长 度 等 于 0 的 向 量 叫 做 零 向 量 ， 记 作 。 零
4、向 量 的 方 向 是 任 意 的 ； 且 零 向 量 与 任0何 向 量 都 垂 直 。 长 度 等 于 1 个 单 位 长 度 的 向 量 叫 做 单 位 向 量 。 3.相 等 向 量 与 共 线 向 量长 度 相 等 且 方 向 相 同 的 向 量 叫 做 相 等 向 量 。两 个 方 向 相 同 或 相 反 的 非 零 向 量 叫 做 平 行 向 量 ， 向 量 、 平 行 ， 记 作 / ，abab零 向 量 与 任 意 向 量 平 行 ， 即 / 。0a利用向量巧解中学数学题（数学哥搜集整理）2任 意 一 组 平 行 向 量 都 可 移 到 同 一 直 线 上 ， 因 此 平 行
5、 向 量 也 叫 共 线 向 量 。4.向 量 的 运 算4.1 加 法 运 算 ， 这 种 计 算 法 则 叫 做 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 。 （ 首 尾 相 连 ， 指 向ABC终 点 ）已 知 两 个 从 同 一 点 O 出 发 的 两 个 向 量 、 ， 以 、 为 邻 边 作 平 行 四 边OABO形 OACB， 则 以 O 为 起 点 的 对 角 线 就 是 向 量 、 的 和 ， 这 种 计 算 法 则 叫 做 向C量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 。对 于 零 向 量 和 任 意 向 量 ， 有 ：a 。0a0| | | | | |。bb向 量 的 加
6、 法 满 足 所 有 的 加 法 运 算 定 律 。4.2 减 法 运 算与 长 度 相 等 ， 方 向 相 反 的 向 量 ， 叫 做 的 相 反 向 量 ， ( ) ， 零 向 量 的a aa相 反 向 量 仍 然 是 零 向 量 。（ 1） ( ) ( ) 0a（ 2） ( )abb4.3 数 乘 运 算实 数 与 向 量 的 积 是 一 个 向 量 ， 这 种 运 算 叫 做 向 量 的 数 乘 ， 记 作 ， | | | | |， 当 0 时 ， 的 方 向 和 的 方 向 相 同 ， 当 baab利用向量巧解中学数学题（数学哥搜集整理）37.4数量积的性质 =ab0| | =23.
7、向量巧解空间几何中的问题3.1 向量巧解角的问题3.1.1 求异面直线 a 与 b 所成角 求异面直线的夹角的传统解法是把空间角转化为平面角并用余弦定理来解，向量法在教材中的引入，使得在以往传统几何法的基础上又多了以向量为工具的向量解法。应掌握如下公式：向量 和 所成的角记为，若 =（x ,y ,z ）, =(x ,y ,z ),ABCDABCD1CD22则cos= = =a， 221211zyxzyx所以直线 AB和 CD所成的角为 arccos .a特别的，AB CD =0 =0。ABCD2121z例 1：如图 1,三棱柱 AOB-A 0 B 中，平面 OBB O 平面 AOB,0 OB6
8、0，AOB=90且 OB=OO =2，OA= ,求：(1)异13面直线 A B与 AO 所成角的大小；(2)略。 11分析 1：由条件可得 OA0B，OA0 0，再结合题干可知共1点于 0的三条线段 OA、0B、00 的长度已知,且两两夹角已知，故可选择以 , ,1 OAB为基底来解决异面直线 AB与 A0所成角的大小，关键是把所求异面直线上的两个方1O向向量 、 都表示成基向量 的形式。BA1图 3.1.1解:平面 OBB O 平面 A0B，0A 平面 A0B，平面 OBB O 平面 A0BOB，且 11OA0B， OA平面 OBB O OA00 ，即AOB90，AOO 90，因此,选择一组
9、基11 1向量 , , ，则 = - ， = - - ，ABABA1| |= = = ，1 O121 90cos3247同 理| |= = ,又BA1 11212 OABOA90cos2390cos23490cos3260c21 osB设异面直线 A B与 AO 所成角为 ，则 ，11 71,11BAOA所以 =arccos .73.1.2 求线面所成角 用向量求线面所成角的公式如下：如图 2，若 为平面 的一条法向量，直线 AB与平面 所成角为 ，则nsin = .AB图 3.1.2.1利用向量巧解中学数学题（数学哥搜集整理）4例 2：如图 3，正方体 ABCD-A B C D 中，E 是
10、C C的中点， （1）求 BE与平面 B BD11 1所成角的余弦值；（2）求二面角 B-B E-D的余弦值。解：如图，以 D为坐标原点建立空间直角坐标系 D-xyz，则设正方体的棱长为 2，则（1）因为 B（2,2,0） ，B (2,2,2),E（0,2,1）,所以 =（-2，-2，0） ， =(0,0,2),1 B1B=（-2，0，1） ，设平面 B BD的一个法向量是 =（x,y,z）,则由 , 得E1nnD1，所以 ，令 y=1，则有 =（-1，1，0） ，所以 cos= =2zyx0zyx EBn，所以 sin= ，510nBE51即 BE与平面 B BD所成角的余弦值为 .1（2）
11、略.3.1.3 求二面角的大小用向量法求二面角的大小，一般先找出两平面的法向量，则两个法向量所成的角或它的补角即为二面角的平面角。公式如下：如图，若平面 、 的法向量分别为 、 ,则nmcos= =a，结合图形判断，若二面角 为锐角，则=arccos ；a若 为钝角，则= - arccos .例 3：上题第（2）问解：令 、 分别为平面 B DE与平面 B BE的法向量，则易知ml11=（1，1，-2） ， =（-1，0，0） ，l所以 cos= ，l6l所以二面角 B-B E-D的余弦值 .13.2 向量巧解距离问题3.2.1 求点到平面的距离所谓法向量就是和平面垂直的向量，通过它和平面上任
12、意两不共线向量的乘积为0，可确定法向量设 P为平面 a外一点，则点 P到面 a的斜线段向量在平面法向量方向的射影，即为点 P到平面 a的距离而线到面的距离可通过线上取一点，转化为点面距求之其公式为 ,其中 为单位法向量，PO 面 于点 O，A ， 为0nAOn0 PA面 的斜线段向量注意：只有单位法向量才不会改变摄影的长度。例 4 ：如图，在正方体中，棱长为 1，E、F 分别为 A B ，CD 的中点，求点 B到平1面 AEC F的距离。1利用向量巧解中学数学题（数学哥搜集整理）5简解：A（1，0，0） ，B（1，1，0） ， E（1，1） ，F（0， ，0） ， =（0， ，1） ，22AE
13、2 =（-AF1， ，21） 。设平面 AEC F的法向量为 =（x,y,z）,则1nn，EnA，由 得 0En 02zyx令 y=2，得 =（1，2，1） ，则n =（0n6， ，- ）,因为 =（0，36AB ，1） ，故2所求距离 d= =n0363.2.2 求两异面直线的距离我们先来看看空间向量在轴上的投影。设向量 ，那么它在 轴上的投影为ABuPrju = ，式中 Prju表示向量在 轴上的投影ABu,cos从图 7 可以看出，为了作出 在 轴上的投影，可以过点 A、B 分别作与 轴垂直的u两个平面、，那么点 A、B 在 轴上的射影分别为 A、B，且点 A、B 必定在平面 、上，显然
14、， 就是 在 轴上的投影从另一方面看， 线段 AB就是异面直线 AA 和 BuB(如果它们不平行的话)的公垂线段，也就是两异面直线间的距离所以，异面直线上任意两点所连接的向量在公垂线方向上投影的绝对值就是两异面直线间的距离因为 = ,所以 Prju = ，于是有 d= uABABcosABuAB,cosPrju 式中 d 表示两异面直线间的距离。由于 / ，它们之间的距离处处相等，所以 轴的选取不一定要是公垂线，而只要同时与两异面直线垂直，也就是说只要与公垂线方向向量共线即可。 例 5：若上题中的已知条件不变，求异面直线 EC 与 CB 的距离1简解： =(-1, ,0), =(1,0,1),
15、 =(0, ,0),设 与 的法向量为1EC21BE21ECB=(x,y,z),由 =0且 =0得 =（1，2，-1） ，故所求距离为 = .nn1n1Cn 1n363.3 向量巧解平行与垂直的问题3.3.1 平行无论是证明线线平行，还是线面平行，都对空间图形抽象思维有较高要求，用向量法的话，则显得简单、易于上手。若要证明 AB和 CD两条直线平行， =（x ,y ,z ）, AB1=(x ,y ,z ),则只要证实数 = = = ；若要证 MN与面 ABC平行，则只要证明CD221yx23能用 、 、 中任两个向量进行线性表示就可以了。MNABC例 6：如图 8，P 是正方形 ABCD所在平
16、面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=m，若 M,N分别在 PA、BD 上，且 = =DN31(1) 求证：MN/平面 PBC，图 1uABA B利用向量巧解中学数学题（数学哥搜集整理）6(2) 求证：MN AD.分析：（1）根据共面向量定理，只需证明 可以表示为 、 、 中任两个向量MNPBC的线性组合，为此，必须选基底，再利用基底和三角形法则，找到上述向量之间的线性关系。取基底 ， ， ，设 = ， = ， = ，则 = , = -PABCPAaBbcM31aA, = - ,bBCc = + = + -2 ,Dacb = + = +PNPB31D= ( + + ),又 = ,31cM =
17、 - = ( + )= + ,Mb31PC 与 、 共面,NPBC又 平面 PBC,MN/平面 PBC.（2）略.3.3.2 垂直要证 AB和 CD互相垂直，只要证 =0即可；而涉及到线面垂直的论证问题时，ABCD也可构造向量，并运用两向量垂直的充要条件去判断线线垂直，从而使线面垂直问题或证。例 7：上题第（2）问解：只需证 .0ADMN= = - ,ABCcb= ( + )( - )= ( - )= ( - )=0,31c312b312cb ，MN AD.N4. 向量巧解平面解析几何中的问题4.1 平面几何向量法与综合法、解析法，被认为是研究初等几何的三种主要方法，向量法在处理有关三角形“三
18、线”(中线、角平分线、高)与“四心”(重心、垂心、内心、外心)等问题时有独到之处，另外 ，用向量知识处理平面几何问题时，可以避免去考虑几何中较复杂的关系。 例 8： D是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P满足 OP=OA+( + ), 0,+ ,则 P的轨迹一定通过 ABC 的( ).(A)外心 (B)内心 (c)重心 (D)垂心 解：设 =AB , =AC ，则 AB 和 AC 分别为 AB和 AC上的单位向量，所以 + ABC AB的方向为 BAC的角平分线 AD的方向. C又 0，+,所以 ( + )的方向与( + )的方向相同，ABABC而 OP=OA+ ( +
19、 ),C所以，点 P 在 AD上移动，P 的轨迹通过ABC 的内心，故答案选(B).点评：本题将向量加法的几何意义及轨迹问题有机地结合在一起，通过向量加法的几何意义来求解平面几何的问题。由于向量具有几何形式，利用向量的运算去解决平面几何问题，可以少引或不引辅助线(如证三角形三条高线交于一点)，使解题的思路更加清晰、简捷，解法顺理成章。4.2 解析几何由于向量可以通过坐标来表示，因此平面向量与解析几何之间有着天然的联系。如：平面直角坐标系内的两点间距离公式，对应于平面内相应向量的长度公式；分一条线段成定 比的分点的坐标 ，可根据相应的两个向量的坐标直接求得；“两条直线平行的充要条利用向量巧解中学
20、数学题（数学哥搜集整理）7件是其斜率相等”与“两个向量平行的充要条件是其对应坐标成比例”的说法没有本质的不同。因此 ，在有关解析几何的题目中，如果涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题时，常可考虑用平面向量来处理，将几何问题坐标化、符号化、数量化，利用向量运算的几何意义，省去解析几何中一些繁杂的运算，可以收到事半功倍的效果。 例 9：椭圆 的焦点为 F 、F ，点 P为椭圆上的动点 ，当 F PF 为钝角142yx12 12时，点 P横坐标的取值范围是（ ）.解 ：F (- ，0)，F ( ，0)，设 P(x ，y )，则 =(- - x ，- y )， 152501F5002P=( - x
21、 ，- y )， 0因为 F PF 为钝角，所以 ，即(- - x )( - x )+ y 0恒成立，且 x +x = ,x x =- ,又因22 122k34812k34为 = + ，所以四边形 OAPB是平行四边形.OPAB若存在直线 L，使得四边形 OAPB 是矩形，则 OA OB，即 = ,OBA0因为 =(x ,y )， =( ,y )，所以 = x x +y y =0， 1O2xOBA12即(1+k )x x +3k(x +x )+9=0，即 +9=0， 212k341即 k = ，得 k= .216545所以存在直线 l：y= +3，使得四边形 OAPB是矩形.利用向量巧解中学数
22、学题（数学哥搜集整理）8点评：本题的第 1小题，其实质是将复数问题“已知复数 z =-2i，z =2i，点 Z所对应12的复数 z满足 + =8， 求点 Z的轨迹方程”以向量为背景给出，体现了复数与-2z向量之间的联系。6. 向量巧解三角函数的问题利用单位圆研究三角函数的几何意义时，表示三角函数的三角函数线其实就是平面向量。由于用向量解决问题时常常是从建立向量三角形入手的，这就使向量在三角里有关解三角函数的问题中发挥了重要作用。首先，两个向量的模 ，引出了两点间的距离公式，其次深入到三角函数。例 11：已知向量 =（cos ,sin ）, =( - sin , cos ), ( ,2 ),且m
23、n2，求 cos( + )的值.nm5288解：因 + =（cos -sin + ，cos +sin ） ，mn2故= = = =222sincosicosinco44cos4，4s1由已知 = ，得 = ，又 =2 ，nm5284cos2574cos182cos故 = ， 。而 ，cos ,cos216,8980故 cos =- .854本题先运用向量坐标形式的和运算及模的定义，转化为三角赋值问题，脱去了向量的外壳后，实质是已知 = ， ，求 cos 的值。由于向量具有代数82cos5162,82和几何形式，在解决有关三角函数的问题时，从向量三角形入手，常使问题能简便明了获解。7. 向量巧解
24、其他代数问题由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份” ，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。因此，向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其它许多问题时获得广泛的应用。利用平面向量这个工具解题。可以简捷、规范地处理代数中的许多问题。7.1 求最值例 12：求函数 y= (00,且 ysinx+cosx=2,利用向量巧解中学数学题（数学哥搜集整理）9设 =（cosx，sinx） ， =（1，y） ，ab由 得 ，所以 y ，b 2sincox3当且仅当 与 共线，即 ycosx-sinx=0时等号成立，此时 cosx=sinx，即 cosx= ，
25、xsin221故当 x= 时，y 取得最小值 .337.2 求取值范围根据向量的性质，当求取值范围时可适当建模，一般有 、nm和 .nmn例 13：若关于 的方程（m+1）sin +（2m-1）cos =3m有实数解，求实数解 m的取值范围.解：设 =（m+1,2m-1）, =(sin ,cos ),因为 ，pqqp所以 3m ，222cossin1所以 3m ,即 2m +m-1 0,解得-1 .m21m7.3 解方程7.3.1 构造向量模型 qp22由向量的基础知识可知， 的充要条件是 = 。在解无理方程(组)时，pq根据方程两边的特点，如果能构造向量 , ,使 ，那么可得 = ，从而使2
26、2pq问题获解。例 14：解方程组 x -y -z =11.2y429z2x解：令 =（x,-y,-z）, =( , , ),pqz29则 =x +y +z ，22=(4- y )+(9- z )+(9- x )，q2222=x -y -z =11，p49所以 ，所以 = ,qp2即 解得： .29xzy72zyx7.3.2 构造向量模型 22)(qp由向量的基础知识可知， 的充要条件是 与 共线在解无理方程2)(pq(组)时，如果能构造向量 , ,使 成立，那么可得 与 共线，从而使问题2获解。例 15：解方程 .516813432 yxyyx解：令 =（ ， ， ） ， =（1，1，1）
27、，pxq则 =6x-2y+17, =3,2q= ，q1yxyy所以 ，所以 与 共线，22)(p即 = = = （ 为常量） ，3x43解得 .y7.4 代数求值例 16：已知 0 ,0 ,且 cos -cos cos +sin sin +cos = ，23求 与 的值.解：由已知可得：cos （1- cos ）+ sin sin = - cos ，23利用向量巧解中学数学题（数学哥搜集整理）10所以可构造向量 =（cos , sin )， =（1- cos ，sin ） ，ab由向量不等式 ，得 （cos - ） 0 cos = ，bcos2cos232121又 0 ,所以 = ，将 = 代
28、入已知等式可求得 = .33评注：本题联系数量积公式 ，其中 =（x ,y ）, =(x ,y ),灵活构造向21ayxba1b2量，利用向量不等式 进行分析求解。7.5 证明等式例 17：设（a +b ）(m +n )=(am+bn),其中 0,求证： .22 nmnba证明：设 =（a,b）, =(m,n),设 与 的夹角为 ，bab则 cos =( ) =( ) = ，2a222nm)()(22nba所以 cos =1,即 cos = ，1所以 =0或 = ，从而， / ,得 .ab7.6 解不等式例 18：已知实数 x,y,z,满足 x+y+z=1,求证：x +y +z .2231证明
29、：因为 1=x+y+z= ，1zyx所以可构造向量 =（x,y,z）, =(1,1,1),于是由向量不等式： ，ab ba得 1 .222zyx 2zyx317.7 代数式例 19：任给 8个非零实数 , , , , , , , ,证明下面六个数1a2345a678+ ， + ， + ， + ， + ， + 中至少1a3241a526354671a2857a68有一个是非负的.分析：以上六个代数式均与向量数量积的坐标运算公式相似，因而联想到设向量=( , ), =( , ), =( , ), =( , ),1OAa2A343OA5a64A78因为 = + = cos ，12a1221= + =
30、 cos ，315633= + = cos ，41a7281441= + = cos ，32A5462A332A= + = cos ，4O78O44O= + = cos ，35633因上述六个数的符号恰与四个向量中每两个向量夹角的余弦同号，由于这四个向量中，至少有两个向量的最小夹角小于或等于 ，因而它的余弦值非负，故题设六个数中，至少有2一个非负。7.8 数列,例 20：对自然数 n，令 为 的最小值，其中 , ,， 为正整nSkka121a2na数，其和为 17，若存在唯一的 n使 也为整数，求 n.分析：数列中，用向量来找出最小值，拓宽了思路，从 想到数列的通项是2k一个向量的模，然后数列
31、求和变成了求向量模的和，再利用向量中“向量模的和不小于向量和的模” ，即 公式，而得到数列求和的不等式，最后根据条件求出答2121aa案。解： 可视为向量 的模，2kkaOA,1k故 = = + +nSkka112nn21.OAA= na,.,32，利用向量巧解中学数学题（数学哥搜集整理）11= naan.,12.312= = ,7,24由题设条件，应用 =m （m ,且 m ）它可化为（m-n ） （m+n ）=289，27NnS22所以 解得 n=12.8912nm8.结束语向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一。向量作为一种工具，它的特点在数学的许多方面都有体现，尤其在高等数学与解析
32、几何中，向量的思想渗透得很广泛；空间向量在解决立体几何上的优势又是传统的知识和方法无法替代的。利用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。向量联系代数与几何，它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出精确的最终结论。向量很容易被处于高中文化水平之上的学生理解和接受，而且其所具有的良好的“数形结合”特点使它与中学数学知识能够融汇贯通，相辅相承。一旦学生掌握了向量，使学生建立空间想象能力，不再是学习立体几何的最大阻力。很多立体几何中的问题在向量的这一工具的参与下摆脱了纯几何推理，转换成简单的向量代数推理。
