1、,高中数学必修3湘教版,第2课时 平面与平面垂直,学习目标 1掌握平面与平面垂直的定义 2掌握平面与平面垂直的判定与性质定理 3理解线线垂直，线面垂直和面面垂直的内在联系,知识链接 1直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线垂直于一个平面内的_直线，那么这条直线就与这个平面垂直推论：如果两条_中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.,两条相交,平行线,平行,预习导引 1两个平面垂直的判定定理(1)定理：如果一个平面经过_，那么这两个平面垂直(2)图形表述：如图所示 (3)符号语言：b，b.,另一个平面的一条垂线,2面面垂直的性质定理,一个平面内,交线,a,al,垂直,线面,要点一
2、 平面与平面垂直判定定理的应用 例1 如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上异于A，B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC.,证明 连结AC，BC，则BCAC， 又PA平面ABC，PABC，而PAACA，BC平面PAC， 又BC平面PBC，平面PAC平面PBC.,规律方法 面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,跟踪演练1 如图，四棱锥P ABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上求证：平面AEC平面PDB.,证明 PD平面ABCD，AC平面ABCD， PDAC. 四边形A
3、BCD为正方形， BDAC. 又PD，BD为平面PDB内两条相交直线， AC平面PDB. 又AC平面AEC， 平面AEC平面PDB.,要点二 面面垂直性质定理的应用 例2 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面解 已知，l.求证：l.,证明 法一 在内取一点P，作PA垂直与的交线于A，PB垂直与的交线于B，则PA，PB.l，lPA，lPB. 又PAPBP，且PA，PB， l.,法二 在内作直线m垂直于与的交线，在内作直线n垂直于与的交线，m，n.mn. 又n，m，m. 又m，l，ml，l.,规律方法 面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下
4、，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质,跟踪演练2 如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC. 求证：BCAB.,证明 在平面PAB内，作ADPB于D. 平面PAB平面PBC， 且平面PAB平面PBCPB， AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC. 又PA平面ABC，BC平面ABC， PABC， 又PAADA， BC平面PAB. 又AB平面PAB，BCAB.,要点三 线线、线面、面面垂直的综合应用 例3 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且DAB60，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点
5、，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB.,证明 (1)在菱形ABCD中， G为AD的中点，DAB60， BGAD. 又平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD，BG平面ABCD， BG平面PAD. (2)连结PG，如图， PAD为正三角形， G为AD的中点，PGAD. 由(1)知BGAD，又PGBGG， AD平面PGB.PB平面PGB，ADPB.,规律方法 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在
6、其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线,跟踪演练3 如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD. PA与BD是否相互垂直？请证明你的结论,解 PA与BD相互垂直证明如下： 如图，取BC的中点O，连结PO，AO.PBPC，POBC， 又侧面PBC底面ABCD， 平面PBC平面ABCDBC，PO平面PBC， PO底面ABCD， POBD.在直角梯形ABCD中， 易证ABO BCD， BAOCBD，CBDABD90， BAOABD90，AOBD， 又POAOO， BD平面PAO，又PA平面PAO，BDPA， 即PA与BD相互垂直,再见,
