1、1（衡水金卷）2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题四 文第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 0,13A， 120Bx，则 ABI（ ）A B C , D ,122若复数 i12z（ 是虚数单位） ，则 4iz（ ）A 6 B 0 C2 D43若 ,abcR，且 ab，则下列不等式一定成立的是（ ）A B20cC 2ab D 221abc4下列结论中正确的个数是（ ）“ 3x”是 “ 1sin2x”的充分不必要条件；命题“ ,iR”的否定是“ ,sin1xR”；函数 cosfxx
2、在区间 0,内有且仅有两个零点.A1 B2 C3 D05已知关于 的不等式 268k对任意的 x恒成立，若 k的取值范围为区间 D，在区间 1,上随机取一个数 k，则 的概率是（ ）A 12 B 3 C 14 D 156我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，目取其半，万事不竭” ，其意思是：一尺长木棍，每天截取一半，永远截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7天后所剩木棍的长度（单位：尺） ，则空白处可填入的是（ ）2A Si B 1Si C 2Si D 12Si7如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A 163 B 643 C 1643
3、 D 1648已知某函数在 ,上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A sin2xy B cosyx C lncosyx Di9 九章算术卷第五商功中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍，如图，四边形 ABCD为正方形，四边形 ABFE、CDEF为两个全等的等腰梯形， 4， 12EF ，若这个刍甍的体积为 403，则的长为（ ）3A1 B2 C3 D410在 中，角 ,A的对边分别为 ,abc， osc2osBbAC，7c，且 的面积为 2，则 AC的周长为（ ）
4、A 1 B 7 C 47 D 5711设 12,F分别是椭圆 2:10xyEab的左，右焦点，过点 1F的直线交椭圆E于 ,两点，若 12AF的面积是 12BF的三倍， 23cos5AB，则椭圆 E的离心率为（ ）A 12 B 3 C 32 D 212已知定义在区间 0,上的函数 fx， f为其导函数，且sincosfxfx恒成立，则（ ）A 26ff B 3243ffC 33ff D 1sin16ff第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13某乡镇中学有初级职称教师 160人，中级职称教师 30人，高级职称教师 10人，要从其中抽取 20人进行体检，如果
5、采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数为 14已知平面向量 ,abr， 7,4r，且 6abr，则 ar在 b方向上的投影是 415若双曲线 210,xyab的渐近线与圆 23xy相交，则此双曲线的离心率的取值范围是 16已知三棱锥 PABC的各顶点都在同一球面上，且 PA平面 BC，若 2A，1AC， 60， 4，则球的体积为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17 已知数列 na满足 1， 1nna*N.（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 nb的前 项和为 nS， 23nb，求数列 nba的前 项和 nT.18 在直三棱柱
6、1ABC中， AD平面 1BC，其垂足 D落在直线 1AB上.（1）求证： 平面 ；（2）若 3D， 2， P为 的中点，求三棱锥 1PC的体积.19 某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市” ，现市文明委对甲、乙两地各派 10名专家进行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示.（1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数；（2）从乙地所得分数在 60,8间的成绩中随机抽取 2份做进一步分析，求所抽取的成绩中，至少有一份分数在 75间的概率；（3）在甲、乙两地所得分数超过 90分的成绩中抽取其中 2份分析其合理性，求这 2份成绩都是来自甲地的概率.20 已知点 0,Mxy在圆 2
7、:4Oxy上运动，且存在一定点 6,0N，点5,Pxy为线段 MN的中点.（1）求点 的轨迹 C的方程；（2）过 0,A且斜率为 k的直线 l与点 P的轨迹 C交于不同的两点 ,EF，是否存在实数k使得 12OEFur，并说明理由.21 已知函数 lnfxaR.（1）求函数 的单调区间；（2）当 a时，方程 2fxm有两个相异实根 12,x，且 12x，证明：1x.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 3cos,inxy（ 是参数） ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标
8、系，直线 l的极坐标方程为sin24.（1）将直线 l的极坐标方程化为普通方程，并求出直线 l的倾斜角；（2）求曲线 C上的点到直线 l的最大距离.23选修 4-5：不等式选讲已知函数 22fxxa，若 7fx的解集是 3x或 4.（1）求实数 a的值；（2）若 R，不等式 31ffm恒成立，求实数 m的取值范围.6文数（四）答案一、选择题1-5:CBDAC 6-10:BCACD 11、12：DC二、填空题131 14 138 15 1,3 16 2053三、解答题17解：（1） 1nna， na. 121naL21nnL，数列 na的通项公式为 n.（2）由 3Sb，得 1，又 12n， 1
9、1nn，即 2,nb*N，数列 是以 3为首项，2 为公比的等比数列， 1n*， nba， 0121323nTL，1n，7两式相减，得 012132nnnTL312n， 12n.18解：（1）三棱柱 1ABC为直三棱柱， A平面 .又 BC平面 ， 1. D平面 1，且 BC平面 1A， A.又 1平面 1， D平面 1， 1DAI， BC平面 .（2）在直三棱柱 1ABC中， 1AB. D平面 1，其垂足 D落在直线 上， .在 RtAB中， 3， 2ABC， sin2D，即 60，在 1RtAB中， tan603AB.由（1）知， C平面 1， 平面 1AB，从而 ， 22ABCS. F为
10、 的中点， 1BCABC. 11 13PPBCFVSA233.819解：（1）由题得，甲地得分的平均数为 783508927986.0，乙地得分的平均数为 167504918，乙地得分的中位数为 2.（2）由茎叶图可知，乙地得分中分数在 6,8间的有 65,72,75,79四份成绩，随机抽取2份的情况有： 65,72， ,5， 79， 2,5， 7,9， 5,7，共 6种，其中至少有一份分数在 08间的情况有： ， 6， 2， ,9，75,9，共 5种.故所求概率 6P.（3）甲、乙两地所得分数中超过 90分的一共有 5份，记甲地中的三份分别为 ,ABC，乙地中的两份分别为 ,ab.随机抽取其
11、中 2份，所有情况如下：,AB， ,C， ,， ,， ,Aa， ,b， ,Ba， ,b， ,a，b，一共 10种.其中两份成绩都来自甲地的有 3种情况： ,， ,C， ,，.故所求概率 10p.20解：（1）由中点坐标公式，得062xy即 fx， f.点 0,My在圆 24xy上运动， 24x，即 26y，9整理，得 231xy.点 P的轨迹 C的方程为 231xy.（2）设 1,Exy， 2,F，直线 l的方程是 1ykx，代入圆 231xy.可得 290kkx，由 34，得 34，且 122kx， 1229xk， 2212121129ky x2224339kk. 1228610ABxyku
12、r，解得 k或 1，不满足 .不存在实数 2使得 OF.21解：（1）由题得， 10axfx.当 0a时，由于 0，可得 ，即 fx. 在区间 ,内单调递增，当 0a时，由 0fx，得 1xa，由 fx，得 1a， f在区间 0,内单调递增，在区间 1,a内单调递减.（2）由（1）可设，方程 2fxm的两个相异实根 12,x，满足ln0xm，10且 10x， 2，即 2lnln0mx.由题意，可知 1ln2，又由（1）可知， lfx在区间 1,内单调递减，故 2x.令 lngxm，则 1112213ln2xx.令 2ltht tt，则 2tt .当 t时， 0h， t是减函数， 3ln2.当
13、2x时， 120gx，即 121. gx在区间 0,内单调递增， 12，故 12x.22解；（1）由 sin24，得 sinco，将 ixy代入上式，化简，得 2yx.11所以直线 l的倾斜角为 4.（2）在曲线 C上任取一点 3cos,inA，则点 A到直线 l的距离2d，当 sin601时， 取得最大值，且最大值是 .23解：（1） 2a， ,.xf作出函数 fx的图象，如图所示：由 7fx的解集为 3x或 4及函数图象，可得 62,8a解得 3.（2）由题知， xR，不等式 31fxfm恒成立，即 x，不等式 22恒成立，由（1）可知， 5x（当且仅当 3x时取等号） ， 3m，当 时， 21m， 8， 3，当 2时， 215，成立；当 m时， ， 7，12 27m，综上所述，实数 的取值范围为 8,7.
