1、1第二章有理数及其运算（运算中的几个技巧）一、 归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等例 1 计算：(0.5)(3 ) + 2.75(7 )4121解法一：(0.5)(3 ) + 2.75(7 ) = (0.5 + 2.75) + (3 7 ) = 4122.254 =2 解法二：(0.5)(3 ) + 2.75(7 ) =0.5 + 3 + 2.757 = (3 + 27 ) 4121+ (0.5 + + 0.75 =241评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又
2、含小数的有理数加减运算问题同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法二、 凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率例 2 计算：19299399949999解：19299399949999=201300140001500001= (20300400050000)4= 543204= 54316在有理数的运算中，为了计算的方便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一、整十、整百、整千等数，这样便于迅速得到答案三、 变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运
3、算律简化运算例 3 计算：4 ( )( )6 1257217解：4 ( )( )6 2= 4 ( )( )61257217= 4 6 ( )( )= 11( )3= 10 74评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的 四、 逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快例 4 计算：17.4837174.81.98.7488解：17.4837174.81.98.7488 =17.4837(17.4810)1.917.4844=17.48371
4、7.481917.4844= 17.48(371944)= 1748评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率五、 巧拆项把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷例 5 计算 2005 1001 2043102解：2005 = (20041) (10021)= (20031001)( )20431=1003 1评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决六、 变量替换通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥
5、梁作用3例 6 计算 (0.125 )512769)3417(25.032417569解：设 a = ，b = 0.125，c = ，则(0.125 )512769)3417(25.032417= (b )caba= = 1评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：，0.125， ，因此，采用变量替换就大大减少了计算量3247512769七、 分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算例 7 计算：2345678966676869解：2345678966676869= (2345)(6789)(66676869)= 0000= 0评析：这种分组运
6、算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题八、 倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化例 8 计算 ( )( )( )2134123512354( )6060589解：把式括号内倒序后，得：4( )( )( )( 21342154325160958602)， 60得：12345859 = 1770， ( )( )( )4123512354( ) = (1770) = 8856060589评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度九、 添数配对例 9 计算1119219931999419999519999961999
7、99971999999981999999999解：添上 987654321，依次与各数配对相加，得：111921993199941999951999996199999971999999981999999999= 20200210 210 210 (987654321)349= 222222222045= 2222222175评析：添数配对实质上也是一种凑整运算十、 整体换元对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果例 10 计算 1 2481632418256解；设 1 = x，则( )，得 = x， 12 ，得 1 = x，解得 x = ，故523256171 = 2486481评析：整体换元可以避开局部细节的麻烦，它利用前后项之间的倍数关系，使用的是错位相加法
