2018-2019高中数学 第1章 常用逻辑用语学案（打包7套）苏教版选修2-1.zip

11.1.1 四种命题学习目标 1.了解命题的概念和分类.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若 p，则 q”的形式.4.了解命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．知识点一 命题的概念思考 在这些语句中哪些能判断出真假，哪些不能判断出真假．(1)这幅画真漂亮！(2)求证 是无理数；3(3)菱形是平行四边形吗？(4)等腰三角形的两底角相等；(5)x＞2012；(6)若 x2＝2012 2，则 x＝2012.答案 (1)(2)(3)(5)不能判断真假；(4)(6)能判断真假．梳理 (1)命题的概念：能够判断真假的语句叫做命题．(2)分类命题Error!知识点二 命题的构成形式1．命题的一般形式为“若 p 则 q”．其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论．2．确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若 p，则 q”的形式．知识点三 四种命题及其关系思考 初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？答案 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．梳理 (1)四种命题的概念名称 形式原命题 若 p 则 q逆命题 若 q 则 p(交换原命题的条件和结论)2否命题 若非 p 则非 q(同时否定原命题的条件和结论)逆否命题 若非 q 则非 p(同时否定原命题的条件和结论后，再交换)(2)四种命题间的关系(3)四种命题间的真假关系原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真真 假 假 真假 真 真 假假 假 假 假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．③四种命题中，真命题都是成对出现，即真命题的个数为 0 或 2 或 4.1．命题均能判断其真假．(√)2．我们所学习过的定理均为命题．(√)3．命题：若函数 f(x)为区间 D 上的奇函数，则 f(0)＝0，为真命题．(×)4．命题：若 sinA＞sin B，则 A＞ B，其逆命题为真命题．(×)类型一 命题的概念及真假判断命 题 角 度 1 命 题 的 概 念例 1 判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1) 是有理数；π 33(2)3x2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)若 x∈R，则 x2＋4 x＋5≥0；(5)一个数的算术平方根一定是负数；(6)若 a 与 b 是无理数，则 ab 是无理数．考点 命题的定义及分类题点 命题的定义解 (1)“ 是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．π 3(2)因为无法判断“3 x2≤5”的真假，所以它不是命题．(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“若 x∈R，则 x2＋4 x＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(6)“若 a 与 b 是无理数，则 ab 是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．反思与感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．跟踪训练 1 下列语句是命题的是________．(填序号)①三角形内角和等于 180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④ x＞2；⑤这座山真险啊！考点 命题的定义及分类题点 命题的定义答案 ①②③解析 依据命题定义，得①②③为命题．命 题 角 度 2 命 题 真 假 的 判 断例 2 给定下列命题：①若 ab，则 2a2b；②命题“若 a， b 是无理数，则 a＋ b 是无理数”是真命题；③直线 x＝ 是函数 y＝sin x 的一条对称轴；π 2④在△ ABC 中，若 · 0，则△ ABC 是钝角三角形．AB→ BC→ 4其中为真命题的是________．(填序号)考点 命题的真假判断题点 命题真假的判断答案 ①③④解析 结合函数 f(x)＝2 x的单调性，知①为真命题；而函数 y＝sin x 的对称轴方程为 x＝＋ kπ， k∈Z，故③为真命题；又因为 · ＝| || |cos(π－ B)π 2 AB→ BC→ AB→ BC→ ＝－| || |cosB0，故得 cosBb，则 ac2bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．解 (1)逆命题：若 ac2bc2，则 ab.真命题．否命题：若 a≤ b，则 ac2≤ bc2.真命题．6逆否命题：若 ac2≤ bc2，则 a≤ b.假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思与感悟 1.若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．2．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．3．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是 0，要么是 2，要么是 4.跟踪训练 4 下列命题中为真命题的是________．(填序号)①“正三角形都相似”的逆命题；②“若 m0，则 x2＋ x－ m＝0 有实根”的逆否命题；③“若 x－ 是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题．2答案 ②③解析 ①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形” ．故为假命题．②原命题的逆否命题为“若 x2＋ x－ m＝0 无实根，则 m≤0” ．∵方程无实根，∴判别式 Δ ＝1＋4 m5；②3 是 12 的约数；③0.5 是整数；④ x 是偶数；⑤ x1，则 x0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．答案 若 x0，则 x1 若 x≤0，则 x≤14．在原命题“若 A∪ B≠ B，则 A∩ B≠ A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 4解析 逆命题为“若 A∩ B≠ A，则 A∪ B≠ B”；否命题为“若 A∪ B＝ B，则 A∩ B＝ A”；逆否命题为“若 A∩ B＝ A，则 A∪ B＝ B”，全为真命题．5．已知命题 p：“若 ac≥0，则二次不等式 ax2＋ bx＋ c0 无解” ．8(1)写出命题 p 的否命题；(2)判断命题 p 的否命题的真假．解 (1)命题 p 的否命题为“若 ac0 有解” ．(2)命题 p 的否命题是真命题．判断如下：因为 ac0⇒Δ ＝ b2－4 ac0⇒二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0 有实根⇒ ax2＋ bx＋ c0 有解，所以该命题是真命题．1．根据命题的定义，可以判断真假的语句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若 p 则 q”的形式．含有大前提的命题写成“若 p 则 q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件 p 中．3．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由 p 经逻辑推理得出 q，则命题“若 p 则 q”为真；确定“若 p 则 q”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、填空题1．给出下列命题①若 ab，则 a3b3；②若 a1，则 b，则ac2bc2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是________．答案 4解析 ①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当 x， y 中一个为零，另一个不为零时，| x|＋| y|≠0；③当 c＝0 时不成立；④矩形的对角线不一定垂直．4．给出下列命题：①“若 x2＋ y2≠0，则 x， y 不全为零”的否命题；②“若{ an}既是等差数列，又是等比数列，则 an＝ an＋1 (n∈N *)”的逆命题；③“若 m＞1，则不等式 x2＋2 x＋ m＞0 的解集为 R”的逆否命题．其中所有真命题的序号是________．答案 ①③解析 ①的否命题为“若 x2＋ y2＝0，则 x， y 全为零”是真命题；②的逆命题为“数列{ an}中，若 an＝ an＋1 (n∈N *)，则数列{ an}既是等差数列，又是等比数列”是假命题，如 0,0,0…；对于③，当 m＞1 时， Δ ＝4－4 m＜0 恒成立， x2＋2 x＋ m＞0 的解集为 R 是真命题．因此逆否命题是真命题．5．已知命题“若 m－1bc 时， ab；(2)当 m 时， mx2－ x＋1＝0 无实根；1411(3)当 ab＝0 时， a＝0 或 b＝0.解 (1)若 acbc，则 ab.∵当 acbc， c ，则 mx2－ x＋1＝0 无实根．14∵ Δ ＝1－4 m0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于 x 的方程 x2－2 bx＋ b2＋ b＝0 无实根，则 b－1” ．方程判别式为 Δ ＝4 b2－4( b2＋ b)＝－4 b，因为方程无实根，所以 Δ 0，所以 b－1 成立，即原命题的逆否命题为真．三、探究与拓展14．命题“ ax2－2 ax＋30 恒成立”是假命题，则实数 a 的取值范围是________．考点 命题的真假判断12题点 由命题的真假求参数的取值范围答案 (－∞，0)∪[3，＋∞)解析 若命题“ ax2－2 ax＋30 恒成立”是真命题，当 a＝0 时，30 符合题意，当 a≠0 时，则 a0 且 Δ 0 恒成立”是真命题，故当 a0 恒成立”是假命题．15．写出命题“当 2m＋1＞0 时，如果 ＞0，那么 m2－5 m＋6＜0”的逆命题、否命题m＋ 32m－ 1和逆否命题，并分别指出四种命题的真假．考点 四种命题的概念题点 判断四种命题的真假解 由 2m＋1＞0，得 m＞－ .12由 ＞0，得 m＜－3 或 m＞ ，m＋ 32m－ 1 12又 m＞－ ，所以 m＞ .12 12由 m2－5 m＋6＜0，得 2＜ m＜3，又 m＞－ ，所以 2＜ m＜3.12由此可知，原命题可变为“如果 m＞ ，那么 2＜ m＜3” ，12显然原命题是假命题．逆命题为“当 2m＋1＞0 时，如果 m2－5 m＋6＜0，那么 ＞0” ，m＋ 32m－ 1即“如果 2＜ m＜3，那么 m＞ ”，它是真命题．12否命题为“当 2m＋1＞0 时，如果 ≤0，m＋ 32m－ 1那么 m2－5 m＋6≥0” ，因为Error! 所以Error!所以－ ＜ m＜ ，12 12由Error! 得Error!即－ ＜ m≤2 或 m≥3，12所以否命题可表述为“如果－ ＜ m＜ ，12 1213那么－ ＜ m≤2 或 m≥3” ，它是真命题．12逆否命题为“当 2m＋1＞0 时，如果 m2－5 m＋6≥0，那么 ≤0” ，m＋ 32m－ 1则逆否命题可表述为“如果－ ＜ m≤2 或 m≥3，12那么－ ＜ m＜ ”，它是假命题．12 1211.1.2 充分条件和必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一 充分条件与必要条件1．框图表示2．条件与结论之间的关系p⇒q 且 q⇏p p 是 q 的充分不必要条件p⇏q 且 q⇒p p 是 q 的必要不充分条件p⇏q 且 q⇏p p 是 q 的既不充分又不必要条件知识点二 充要条件思考 在△ ABC 中，角 A， B， C 为它的三个内角，则“ A， B， C 成等差数列”是“ B＝60°”的什么条件？答案 因为 A， B， C 成等差数列，故 2B＝ A＋ C，又因为 A＋ B＋ C＝180°，故 B＝60°，反之，亦成立，故“ A， B， C 成等差数列”是“ B＝60°”的充分必要条件．梳理 (1)如果 p⇒q，且 q⇒p，那么称 p 是 q 的充分必要条件，简称为 p 是 q 的充要条件，记作 p⇔q.(2)充要条件的实质是原命题“若 p 则 q”和其逆命题“若 q 则 p”均为真命题，如果 p 是q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件，即如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为充要条件．1．当 q 是 p 的必要条件时， p 是 q 的充分条件．(√)2．当 p 是 q 的充分必要条件时，那么 q 也一定是 p 的充分必要条件．(√)2类型一 充分条件、必要条件的判断例 1 对于二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)，下列结论正确的是________．(填序号)① Δ ＝ b2－4 ac≥0 是函数 f(x)有零点的充要条件；② Δ ＝ b2－4 ac＝0 是函数 f(x)有零点的充分条件；③ Δ ＝ b2－4 ac＞0 是函数 f(x)有零点的必要条件；④ Δ ＝ b2－4 ac＜0 是函数 f(x)没有零点的充要条件．答案 ①②④解析 ①正确，因为 Δ ＝ b2－4 ac≥0⇔方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠0)有实根⇔ f(x)＝ ax2＋ bx＋ c 有零点；②正确，因为 Δ ＝ b2－4 ac＝0⇒方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0)有实根，因此函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)有零点，但是 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)有零点时，有可能 Δ ＞0；③错误，因为函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)有零点时，方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0)有实根，但未必有 Δ ＝ b2－4 ac＞0，也有可能 Δ ＝0；④正确，因为 Δ ＝ b2－4 ac＜0⇔方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0) 无实根⇔ 函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)无零点．反思与感悟 充分、必要条件判断的常用方法(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的等价命题判断．跟踪训练 1 指出下列各题中， p 是 q 的什么条件？(1)p： ax2＋ ax＋10 的解集是 R， q：00 满足题意；当 a≠0 时，由Error!可得 01”是“ 1 可得到 a}，而“x∈ A”是“ x∈ B”的充分条件，则有 A⊆B，则有 a≤－3.4．设 p：1≤ x＜4， q： x＜ m，若 p 是 q 的充分条件，则实数 m 的取值范围是________．考点 充分条件的概念及判断题点 由充分条件求取值范围答案 [4，＋∞)解析 因为 p 为 q 的充分条件，所以[1,4)⊆(－∞， m)，得 m≥4.5． “a＝0”是“直线 l1： x－2 ay－1＝0 与 l2：2 x－2 ay－1＝0 平行”的________条件．(填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分又不必要”)答案 充要解析 (1)∵ a＝0，∴ l1： x－1＝0， l2：2 x－1＝0，∴ l1∥ l2，即 a＝0⇒ l1∥ l2.(2)若 l1∥ l2，当 a≠0 时，l1： y＝ x－ ， l2： y＝ x－ .12a 12a 1a 12a令 ＝ ，方程无解．12a 1a当 a＝0 时， l1： x－1＝0， l2：2 x－1＝0，显然 l1∥ l2.∴ a＝0 是直线 l1与 l2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件反映了条件 p 和结论 q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件 p 和结论 q，然后判断“ p⇒q”及“ q⇒p”的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合 A＝{ x|p(x)}及集合 B＝{ x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．7一、填空题1． “φ ＝π”是“曲线 y＝sin(2 x＋ φ )过坐标原点”的________条件．答案 充分不必要解析 由 sinφ ＝0 可得 φ ＝ kπ( k∈Z)，此为曲线 y＝sin(2 x＋ φ )过坐标原点的充要条件，故“ φ ＝π”是“曲线 y＝sin(2 x＋ φ )过坐标原点”的充分不必要条件．2．若集合 A＝Error!， B＝{ x|x－24， b4， b0.∵ b4.5－ bk－ 44．已知不等式 m－1bc”是“ ab”的必要条件；②“ ac＝ bc”是“ a＝ b”的必要条件；③“ ac2bc2”是“ ab”的充分条件；④“ ac＝ bc”是“ a＝ b”的充分条件．答案 ②③解析 由②得当 a＝ b 时，得到 ac＝ bc；由③得 ac2bc2⇒ab.6．关于 x 的方程 m2x2－( m＋1) x＋2＝0 的实数根的总和为 2 的充要条件是________．答案 m＝0解析 当 m＝0 时，原方程即 x＝2，满足条件，当 m≠0 时， ＝2，则 m＝1 或 m＝－ ，m＋ 1m2 12但 Δ ＝[－( m＋1)] 2－8 m2， m＝1 及 m＝－ 均使 Δ b”是“3 a3b”的充分不必要条件；②“ α β ”是“cos α b”是“3 a3b”的充要条件，故①错误；②∵2π ，cos2πcos ，∴ α β ⇏cos α β .∴“ α β ”是“cos α cosβ ”的既不充分又不必要条件，故②错误；③“ a＝0”是“函数 f(x)＝ x3＋ ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件，正确．11．有下列命题：①“ x＞2 且 y＞3”是“ x＋ y＞5”的充分条件；②“ x＞0”是“ x2＞0”的必要不充分条件；③“ a＝2”是“直线 ax＋2 y＝0 平行于直线 x＋ y＝1”的充分不必要条件；④“ xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．其中真命题的序号为________．考点 充分条件、必要条件的判断题点 充分、必要条件的判断答案 ①④解析 ①当 x＞2 且 y＞3 时， x＋ y＞5 成立，反之不一定，所以“ x＞2 且 y＞3”是“x＋ y＞5”的充分不必要条件，故①为真命题；② x＞0⇒ x2＞0， x2＞0⇏ x＞0 ，故②为假命题；③当 a＝2 时，两直线平行，反之，若两直线平行，则 ＝ ，所以 a＝2，所以“ a＝2”是a1 21“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；④lg x＋lg y＝lg( xy)＝0 ，所以 xy＝1 且 x＞0， y＞0，所以 xy＝1 必成立，反之不然，所以“ xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件，故④为真命题．综上可知，真命题是①④.二、解答题12．判断下列各题中， p 是 q 的什么条件．(1)p：| x|＝| y|， q： x＝ y；(2)p：△ ABC 是直角三角形， q：△ ABC 是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分， q：四边形是矩形；(4)p：圆 x2＋ y2＝ r2(r＞0)与直线 ax＋ by＋ c＝0 相切， q： c2＝( a2＋ b2)r2.考点 充分条件、必要条件的判断题点 充分、必要条件的判断解 (1)∵| x|＝| y|⇏x＝ y，但 x＝ y⇒|x|＝| y|，∴ p 是 q 的必要不充分条件．(2)∵△ ABC 是直角三角形⇏△ ABC 是等腰三角形，△ ABC 是等腰三角形⇏△ ABC 是直角三角形，∴ p 是 q 的既不充分又不必要条件．10(3)∵四边形的对角线互相平分⇏四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴ p 是 q 的必要不充分条件．(4)若圆 x2＋ y2＝ r2(r＞0)与直线 ax＋ by＋ c＝0 相切，则圆心(0,0)到直线 ax＋ by＋ c＝0 的距离等于 r，即 r＝ ，|c|a2＋ b2∴ c2＝( a2＋ b2)r2；反过来，若 c2＝( a2＋ b2)r2，则 ＝ r 成立，|c|a2＋ b2说明圆 x2＋ y2＝ r2(r＞0)的圆心(0,0)到直线 ax＋ by＋ c＝0 的距离等于 r，即圆 x2＋ y2＝ r2(r＞0)与直线 ax＋ by＋ c＝0 相切，故 p 是 q 的充要条件．13．求方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a＜0)有两个正根的充要条件．解 方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a＜0)有两个正根等价于Error!⇔Error!所以方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a＜0)有两个正根的充要条件是 b2≥4 ac，且 b＞0， c＜0.三、探究与拓展14． “a≠1 或 b≠2”是“ a＋ b≠3 成立”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分” “充要” “既不充分又不必要”)．考点 充分条件、必要条件的判断题点 必要不充分条件的判断答案 必要不充分解析 命题“若 a≠1 或 b≠2，则 a＋ b≠3”与命题“若 a＋ b＝3，则 a＝1 且 b＝2”互为逆否命题，当 a＝3， b＝0 时，有 a＋ b＝3，所以命题“若 a＋ b＝3，则 a＝1 且 b＝2”是假命题，所以命题“若 a≠1 或 b≠2，则 a＋ b≠3”是假命题，所以 a≠1 或 b≠2 推不出a＋ b≠3.“若 a＝1 且 b＝2，则 a＋ b＝3”是真命题，所以命题“若 a＋ b≠3，则 a≠1 或b≠2”是真命题，所以 a＋ b≠3⇒ a≠1 或 b≠2，所以“ a≠1 或 b≠2”是“ a＋ b≠3 成立”的必要不充分条件．15．设 a， b， c 是△ ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边．求证： a2＝ b(b＋ c)的充要条件是A＝2 B.证明 充分性：∵ A＝2 B，∴ A－ B＝ B，则 sin(A－ B)＝sin B，则sinAcosB－cos AsinB＝sin B，结合正弦、余弦定理得11a· － b· ＝ b，化简整理得 a2＝ b(b＋ c)；a2＋ c2－ b22ac b2＋ c2－ a22bc必要性：由余弦定理 a2＝ b2＋ c2－2 bccosA，且 a2＝ b(b＋ c)，得b2＋ bc＝ b2＋ c2－2 bccosA，∴1＋2cos A＝ ＝ ，cb sinCsinB即 sinB＋2sin BcosA＝sin C＝sin( A＋ B)＝sin AcosB＋cos AsinB，∴sin B＝sin AcosB－cos AsinB＝sin( A－ B)，由于 A， B 均为三角形的内角，故必有 B＝ A－ B，即 A＝2 B.综上，知 a2＝ b(b＋ c)的充要条件是 A＝2 B.1第 1 课时 “或” “且”学习目标 1.了解联结词“且” “或”的含义.2.会用联结词“且” “或”联结或改写某些数学命题，并判断其真假．知识点一 “或”思考 观察三个命题：①32；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？答案 命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．梳理 (1)定义：一般地，用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，就得到一个新命题，记作 p∨ q，读作“ p 或 q”．(2)当 p， q 两个命题有一个命题是真命题时， p∨ q 是真命题；当 p， q 两个命题都是假命题时， p∨ q 是假命题．我们将命题 p 和命题 q 以及 p∨ q 的真假情况绘制为命题“ p∨ q”的真值表如下：p q p∨ q真 真 真真 假 真假 真 真假 假 假命题“ p∨ q”的真值表可简单归纳为“假假才假” ．(3)对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念 A∪ B＝{ x|x∈ A 或 x∈ B}中的“或”，它是指“ x∈ A”， “x∈ B”中至少有一个是成立的，即可以是 x∈ A 且 x∉B，也可以是 x∉A且 x∈ B，也可以是 x∈ A 且 x∈ B.知识点二 “且”思考 观察三个命题：①5 是 10 的约数；②5 是 15 的约数；③5 是 10 的约数且是 15 的约数，它们之间有什么关系？答案 命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题．梳理 (1)定义：一般地，用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，就得到一个新命题，记作 p∧ q，读作“ p 且 q”．(2)当 p， q 都是真命题时， p∧ q 是真命题；当 p， q 两个命题中有一个命题是假命题时，p∧ q 是假命题．我们将命题 p 和命题 q 以及 p∧ q 的真假情况绘制为命题“ p∧ q”的真值2表如下：p q p∧ q真 真 真真 假 假假 真 假假 假 假命题“ p∧ q”的真值表可简单归纳为“同真则真” ．(3)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念， A∩ B＝{ x|x∈ A 且 x∈ B}中的“且”是指“ x∈ A”与“ x∈ B”这两个条件都要同时满足．1．逻辑联结词“且” “或”只能出现在命题的结论中．(×)2． “p∨ q 为假命题”是“ p 为假命题”的充要条件．(×)3．命题“5＞6 或 5＞2”是真命题．(√)类型一 含有“且” “或”命题的构成命 题 角 度 1 简 单 命 题 与 复 合 命 题 的 区 分例 1 指出下列命题的形式及构成它的命题．(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆．解 (1)是 p∧ q 形式命题．其中 p：向量有大小， q：向量有方向．(2)是 p∨ q 形式命题．其中 p：矩形有外接圆， q：矩形有内切圆．反思与感悟 1.不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或” “且”构成的命题是复合命题．2．判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或” “且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题．跟踪训练 1 命题“菱形对角线垂直且平分”为________形式复合命题．3答案 p∧ q命 题 角 度 2 用 逻 辑 联 结 词 构 造 新 命 题例 2 分别写出下列命题的“ p∧ q”“p∨ q”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行， q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1 是方程 x2＋4 x＋3＝0 的解， q：－3 是方程 x2＋4 x＋3＝0 的解．解 (1) p∨ q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p∧ q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．(2)p∨ q：－1 或－3 是方程 x2＋4 x＋3＝0 的解．p∧ q：－1 与－3 是方程 x2＋4 x＋3＝0 的解．反思与感悟 用逻辑联结词“或” “且”联结 p， q 构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把 p， q 中的条件或结论合并．跟踪训练 2 指出下列命题的构成形式及构成它的命题 p， q.(1)0≤2；(2)30 是 5 的倍数，也是 6 的倍数．解 (1)此命题为“ p∨ q”形式的命题，其中p：01 或 13；②方程 x2－2 x－4＝0 的判别式大于或等于 0；③25 是 6 或 5 的倍数；④集合 A∩ B 是 A 的子集，且是 A∪ B 的子集．其中真命题的个数为________．答案 4解析 ①由于 21 是真命题，所以“21 或 13”是真命题；②由于方程 x2－2 x－4＝0 的 Δ ＝4＋160，所以“方程 x2－2 x－4＝0 的判别式大于或等于0”是真命题；③由于 25 是 5 的倍数，所以命题“25 是 6 或 5 的倍数”是真命题；④由于( A∩ B)⊆A， A∩ B⊆(A∪ B)，所以命题“集合 A∩ B 是 A 的子集，且是 A∪ B 的子集”是真命题．2．命题“相似三角形的面积或周长相等”为________命题．(填“真” “假”)7答案 假解析 该命题是由命题 p：“相似三角形的面积相等”和命题 q：“相似三角形的周长相等”用逻辑联结词“或”联结构成的新命题．因为 p 是假命题， q 也是假命题，所以 p∨ q 是假命题．3．设 p：2 x＋ y＝3， q： x－ y＝6，若 p∧ q 为真命题，则 x＝________， y＝________.考点 “ p∧ q”形式命题真假性的判断题点 由“ p∧ q”形式命题的真假求参数的值答案 3 －3解析 若 p∧ q 为真命题，则 p， q 均为真命题，所以有Error! 解得Error!4．下列命题中既是 p∧ q 形式的命题，又是真命题的是________．(填序号)①10 或 15 是 5 的倍数；② x2－3 x－4＝0 的两根是 4 和－1；③有两个角为 45°的三角形是等腰直角三角形．答案 ③解析 ①②为 p∨ q 的形式；③为 p∧ q 的形式，其中 p：有两个角是 45°的三角形是等腰三角形， q：有两个角是 45°的三角形是直角三角形， p， q 均为真命题，所以 p∧ q 为真命题．5．已知 p：∅⊆{0}， q：{1}∈{1,2}．则四个命题 p， q， p∧ q， p∨ q 中，真命题有________个．答案 2解析 命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，故 p∨ q 为真命题， p∧ q 为假命题．6．命题 s 具有“ p∨ q”形式，已知“ p∧ r”是真命题，那么 s 是________命题．(填“真”“假”)答案 真解析 由“ p∧ r”为真命题，可知命题 p 为真命题，故“ p∨ q”为真命题．7．若“ x∈[2,5]或 x∈{ x|x＜1 或 x＞4}”是假命题，则 x 的取值范围是________．考点 “ p∨ q”形式命题真假性的判断题点 由“ p∨ q”形式命题的真假求参数的取值范围答案 [1,2)解析 x∈[2,5]或 x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即 x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以 1≤ x＜2，即 x∈[1,2)．88．给出命题 p： ax＋ b0 的解为 x－ ，命题 q：( x－ a)(x－ b)1(a＞0 且 a≠1)的解集是{ x|x .12若 q 假，则 a≤ ，12又 p 和 q 有且仅有一个为真，∴当 p 真 q 假时，00 的解集为 R 且不等式 x2－2 x＋2≤1 的解集为∅.解 (1)这个命题是“ p 且 q”形式的复合命题，其中 p：等腰三角形顶角的平分线平分底边， q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为 p 真 q 真，则“ p∧ q”为真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“ p∧ q”形式的复合命题，其中 p：不等式 x2－2 x＋10 的解集为 R， q：不等式 x2－2 x＋2≤1 的解集为∅.又因为当 x＝1 时， x2－2 x＋1＝0，所以 p 假 q 假，所以“p∧ q”为假，故该命题为假命题．13．设 p：函数 f(x)＝lg( ax2－4 x＋ a)的定义域为 R； q：设 a＝(2 x2＋ x，－1)，b＝(1， ax＋2)，不等式 a·b0 对任意 x∈(－∞，－1)恒成立．如果 p∨ q 为真命题，p∧ q 为假命题，求实数 a 的取值范围．解 若 p 为真命题，则 ax2－4 x＋ a0 对 x∈R 都成立，当 a＝0 时， f(x)＝lg(－4 x)的定义域不为 R.当 a≠0 时，则 16－4 a20，即Error!解得 a2.若 q 为真命题，则由 a·b0 对任意 x∈(－∞，－1)恒成立，知 2x2＋ x－( ax＋2)0，即 a2x－ ＋1 对任意 x∈(－∞，－1)恒成立，则 a max.2x (2x－ 2x＋ 1)令 g(x)＝2 x－ ＋1( x≤－1)，可知 g(x)在(－∞，－1]上是增函数，所以 g(x)≤1，故2xa≥1.又 p∨ q 为真命题， p∧ q 为假命题，则等价于 p， q 中一个为真命题，另一个为假命题．若 p 真 q 假，则Error!无解；若 p 假 q 真，则Error!则 1≤ a≤2.10综上，实数 a 的取值范围为[1,2]．三、探究与拓展14．已知 c0，且 c≠1，设命题 p：函数 y＝ cx为减函数．命题 q：当 x∈ 时，函数[12， 2]f(x)＝ x＋ 恒成立．如果“ p∨ q”为真命题， “p∧ q”为假命题，则 c 的取值范围为1x1c________．答案 ∪(1，＋∞)(0，12]解析 由命题 p 为真知，0 恒成立，需 ，1x1c 1c 12若“ p∨ q”为真命题， “p∧ q”为假命题，则 p， q 中必有一真一假，当 p 真 q 假时， c 的取值范围是 00，设 p：平面区域 x＋2 y＋ c＞0 包括点(0,0)，(1，－1)， q：曲线y＝4 x2－4 c ＋ c2＋1 与 x 轴交于不同的两点，若“ p∨ q”为真命题， “p∧ q”为假命题，(x＋12)求 c 的取值范围．解 ∵平面区域 x＋2 y＋ c＞0 包括点(0,0)，(1，－1)，∴Error! ∴ c＞1，令 A＝ .{c|c＞ 1}由 y＝4 x2－4 c ＋ c2＋1 与 x 轴交于不同的两点，可得方程 4x2－4 cx＋ c2－2 c＋1＝0 所(x＋12)对应的判别式Δ ＝16 c2－16( c2－2 c＋1)0.解得 c ，令 B＝Error!.12根据题意，如果 p 真， q 假，则无解；如果 p 假， q 真，则 ＜ c≤1，1211∴ c 的取值范围为 .(12， 1]1第 2 课时 “非”学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈 p”命题.2.了解逻辑联结词“且” “或” “非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别．知识点一 逻辑联结词“非”思考 观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？(1)p：5 是 25 的算术平方根； q：5 不是 25 的算术平方根．(2)p： y＝tan x 是偶函数； q： y＝tan x 不是偶函数．答案 两组命题中，命题 q 都是命题 p 的否定．梳理 (1)命题的否定：一般地，对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作綈 p，读作“非 p”或“ p 的否定” ．(2)命题綈 p 的真假：若 p 是真命题，则綈 p 必是假命题；若 p 是假命题，则綈 p 必是真命题．知识点二 “ p∧ q”与“ p∨ q”的否定对复合命题“ p∧ q”的否定，除将简单命题 p， q 否定外，还需将“且”变为“或” ．对复合命题“ p∨ q”的否定，除将简单命题 p， q 否定外，还需将“∨”变为“∧” ．复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中各简单命题的真假；(3)利用真值表判断复合命题的真假．知识点三 命题的否定与否命题思考 已知命题 p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题 p 的否命题和命题 p 的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？答案 命题 p 的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题 p 的否定：平行四边形的对角线不相等．命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定．梳理 (1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定．①“綈 p”是否定命题 p 的结论，不否定命题 p 的条件，这也是“綈 p”与否命题的区别；② p 与“綈 p”的真假必定相反；2③“綈 p”必须包含 p 的所有对立面．(2)否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定．1．命题的否定和否命题是一回事．(×)2．命题“方程 x2－3＝0 没有有理根”的否定为“方程 x2－3＝0 有有理根” ．(√)3．命题“若 a2＞ b2，则| a|＞| b|”的否定为“若 a2＞ b2，则| a|＜| b|”．(×)类型一 綈 p 命题及构成形式例 1 写出下列命题的否定形式．(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若 m2＋ n2＝0，则实数 m， n 全为零；(3)若 xy＝0，则 x＝0 或 y＝0.解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形．(2)若 m2＋ n2＝0，则实数 m， n 不全为零．(3)若 xy＝0，则 x≠0 且 y≠0.引申探究写出本例中所给命题的否命题．解 (1)面积不相等的三角形不都是全等三角形．(2)若 m2＋ n2≠0，则实数 m， n 不全为零．(3)若 xy≠0，则 x≠0 且 y≠0.反思与感悟 綈 p 是对命题 p 的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈 p 的关键，如“都”的否定是“不都” ， “至多两个”的反面是“至少三个” 、 “p∧ q”的否定是“(綈 p)∨(綈 q)”等．跟踪训练 1 写出下列命题的否定形式．(1)p： y＝sin x 是周期函数；(2)p：30 的解集为 R，若“ p∨ q”与“綈 q”同时为真命题，求实数 a 的取值范围．解 命题 p：方程 x2＋2 ax＋1＝0 有两个大于－1 的实数根，等价于4Error!⇔Error!，解得 a≤－1.命题 q：关于 x 的不等式 ax2－ ax＋10 的解集为 R，等价于 a＝0 或Error!由于Error! ⇔Error!解得 02，因为“ p∧ q”与“綈 p”同时为假，所以 p 真且 q 假，故－12，则下列判断正确的是________．(填序号)①“ p∨ q”为假， “綈 q”为假；②“ p∨ q”为真， “綈 q”为假；③“ p∧ q”为假， “綈 p”为假；④“ p∧ q”为真， “p∨ q”为假．答案 ②解析 显然 p 假 q 真，故“ p∨ q”为真， “p∧ q”为假， “綈 p”为真， “綈 q”为假，故②正确．2．命题“若 ab，则 3a3b”的否命题是________________，命题的否定为________________．答案 若 a≤ b，则 3a≤3 b 若 ab，则 3a≤3 b3． “a≥5 且 b≥2”的否定是________．答案 ay，则－ xy，则 x2y2.在命题① p∧ q；② p∨ q；③ p∧(綈 q)；④(綈 p)∨ q 中，真命题是________．(填序号)答案 ②③解析 由不等式性质知：命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，从而綈 p 为假命题，綈 q 为真命题．故 p∧ q 为假命题， p∨ q 为真命题， p∧(綈 q)为真命题，(綈 p)∨ q 为假命题．3．已知命题 p1：函数 y＝2 x－2 － x在 R 上为增函数，p2：函数 y＝2 x＋2 － x在 R 上为减函数．则在命题① p1∨ p2，② p1∧ p2，③(綈 p1)∨ p2和④ p1∧(綈 p2)中，为真命题的是________．(填序号)答案 ①④解析 p1是真命题，则綈 p1为假命题； p2是假命题，则綈 p2为真命题；∴① p1∨ p2是真命题，② p1∧ p2是假命题，∴③(綈 p1)∨ p2为假命题，④ p1∧(綈 p2)为真命题．∴为真命题的是①④.4．已知命题 p：1∈{ x|(x＋2)( x－3)4}”是假命题，则 x 的取值范围是________．答案 [1,2)解析 x∈[2,5]或 x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即 x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于该命题是假命题，所以 1≤ x0， q：5 x－6 x2，则綈 p 是綈 q 的________条件．7答案 充分不必要解析 p：{ x|x1 或 x0.解 (1)命题的否定：若 m2＋ n2＋ x2＋ y2＝0，则实数 m， n， x， y 不全为零．否命题：若 m2＋ n2＋ x2＋ y2≠0，则实数 m， n， x， y 不全为零．(2)命题的否定：若 x0)， q： x(x－3)0)，得 a，得 B＝{ x|axa2＋2}．∴Error! 解得 a≤－1 或 1≤ a≤2.∴实数 a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1,2]．