2018-2019学年高中数学 第三章 三角恒等变换课后习题（打包4套）新人教A版必修4.zip

13.1.1 两角差的余弦公式课后篇巩固探究1.cos 285°等于( )A. B.6- 24 6+24C. D.-2- 64 2+64解析 cos 285°=cos(360°-75°)=cos 75°=cos(30°+45°)=cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°= .6- 24答案 A2.计算 的值是( )𝑐𝑜𝑠(𝜋4-𝛼)𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼A. B.- C. D.-2 222 22解析𝑐𝑜𝑠(𝜋4-𝛼)𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑐𝑜𝑠 𝜋4𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑠𝑖𝑛 𝜋4𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼2= .22(𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼 =22答案 C3.若 a=(cos 100°,sin 100°),b=(cos 10°,sin 10°),则 a·b=( )A.cos 110° B.sin 110° C.1 D.0解析 a·b=cos 100°cos 10°+sin 100°sin 10°=cos(100°-10°)=cos 90°=0.答案 D4.满足 sin α sin β =-cos α cos β 的一组值是( )A.α =β =90° B.α =18°,β =72°C.α =130°,β =40° D.α =140°,β =40°解析由 sin α sin β =-cos α cos β 可得 cos(α -β )=0,因此 α -β =k·180°+90°,只有 C项符合 .答案 C5.若 sin α -sin β = ,cos α -cos β = ,则 cos(α -β )的值为( )32 12A. B. C. D.112 32 34解析由 sin α -sin β = ,cos α -cos β = ,得 sin2α +sin2β -2sin α sin β = ,cos2α +cos2β -32 12 342cos α cos β = ,以上两式相加得 2-2(sin α sin β +cos α cos β )=1,所以 sin α sin β +cos 14α cos β = ,故 cos(α -β )= .12 12答案 A6.若 cos θ =- ,θ ∈ ,则 cos = . 1213 (𝜋,3𝜋2) (𝜃-𝜋4)解析 ∵ cos θ =- ,θ ∈ ,∴ sin θ =- .1213 (𝜋,3𝜋2) 513∴ cos =cos θ cos +sin θ sin(𝜃-𝜋4) 𝜋4 𝜋43=- =- .1213×22‒513×22 17226答案 -172267.化简 cos(α -55°)·cos(α +5°)+sin(α -55°)·sin(α +5°)= . 解析原式 =cos [(α -55°)-(α +5°)]=cos(-60°)= .12答案128.若 0α ,- β 0,cos ,cos ,则 cos = . 𝜋2 𝜋2 (𝜋4+𝛼)=13 (𝜋4-𝛽2)=33 (𝛼+𝛽2)解析因为 0α ,所以 +α ,𝜋2 𝜋4𝜋4 3𝜋4又 cos ,所以 sin ,(𝜋4+𝛼)=13 (𝜋4+𝛼)=223因为 - β 0,所以 ,𝜋2 𝜋4𝜋4‒𝛽2𝜋2又 cos ,所以 sin .(𝜋4-𝛽2)=33 (𝜋4-𝛽2)=63于是 cos =cos =(𝛼+𝛽2) [(𝜋4+𝛼)-(𝜋4-𝛽2)]cos cos +sin sin =(𝜋4+𝛼) (𝜋4-𝛽2) (𝜋4+𝛼) (𝜋4-𝛽2).13×33+223×63=539答案5399.若 x∈ ,且 sin x= ,求 2cos +2cos x的值 .[𝜋2,𝜋] 45 (𝑥-2𝜋3)解因为 x∈ ,sin x= ,所以 cos x=- .[𝜋2,𝜋] 45 354于是 2cos +2cos x(𝑥-2𝜋3)=2 +2cos x(𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠 2𝜋3+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛 2𝜋3)=2 +2cos x(-12𝑐𝑜𝑠𝑥+32𝑠𝑖𝑛𝑥)= sin x+cos x= .3435‒35=43-3510.已知 α ,β ∈ ,sin(α +β )=- ,sin ,求 cos 的值 .(3𝜋4,𝜋) 35 (𝛽-𝜋4)=1213 (𝛼+𝜋4)解 ∵ α ,β ∈ ,(3𝜋4,𝜋)∴ α +β ∈ ,β - .(3𝜋2,2𝜋) 𝜋4∈(𝜋2,3𝜋4)又 ∵ sin(α +β )=- ,sin ,35 (𝛽-𝜋4)=1213∴ cos(α +β )= .1-𝑠𝑖𝑛2(𝛼+𝛽)=45cos =- =- .(𝛽-𝜋4) 1-𝑠𝑖𝑛2(𝛽-𝜋4) 513∴ cos =cos(𝛼+𝜋4) [(𝛼+𝛽)-(𝛽-𝜋4)]=cos(α +β )cos +sin(α +β )sin(𝛽-𝜋4) (𝛽-𝜋4)= =- .45×(- 513)+(-35)×1213566511.如图,在平面直角坐标系 xOy中,单位圆 O与 x轴交于点 P0,以 Ox为始边分别作出角 α ,β ,α-β ,其终边分别和单位圆交于点 P1,P2,P3.由 | |=| |,你能推导出两角差的余弦公式吗?𝑃0𝑃3 𝑃2𝑃15解该问题实际上给出了用距离公式推导 C(α-β )的方法 .推导过程如下:易知 P0(1,0),P1(cos α ,sin α ),P2(cos β ,sin β ),P3(cos(α-β ),sin(α-β )),则 =(cos(α-β )-1,sin(α-β )),𝑃0𝑃3=(cos α- cos β ,sin α- sin β ),𝑃2𝑃1又 | |=| |,即 | |2=| |2,𝑃0𝑃3 𝑃2𝑃1 𝑃0𝑃3 𝑃2𝑃1所以[cos( α-β )-1]2+sin2(α-β )=(cos α- cos β )2+(sin α- sin β )2,化简得 cos(α-β )=cos α cos β+ sin α sin β.13.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课后篇巩固探究A组 基础巩固1.若 sin =cos ,则 tan α= ( )(𝜋6-𝛼) (𝜋6+𝛼)A.-1 B.0 C. D.112解析由已知得 cos α- sin α= cos α- sin α ,因此 sin α= cos α ,于是12 32 32 12 1- 32 3-12tan α=- 1.答案 A2.已知 a=(2sin 35°,2cos 35°),b=(cos 5°,-sin 5°),则 a·b=( )A. B.1 C.2 D.2sin 40°12解析 a·b=2sin 35°cos 5°-2cos 35°sin 5°=2sin(35°-5°)=2sin 30°=1.答案 B3.若 tan(α +β )= ,tan(α -β )= ,则 tan 2α =( )25 14A. B. C. D.16 2213 322 13182解析 tan 2α =tan [(α +β )+(α -β )]= .𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)+𝑡𝑎𝑛(𝛼-𝛽)1-𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)𝑡𝑎𝑛(𝛼-𝛽)= 25+141-25×14=1318答案 D4.sin(θ +75°)+cos(θ +45°)- cos(θ +15°)的值等于 ( )3A.±1 B.1 C.-1 D.0解析原式 =sin [(θ +45°)+30°]+cos(θ +45°)- cos [(θ +45°)-30°]3= sin(θ +45°)+ cos(θ +45°)+cos(θ +45°)-32 12 3[32𝑐𝑜𝑠(𝜃+45°)+12𝑠𝑖𝑛(𝜃+45°)]= sin(θ +45°)+ cos(θ +45°)- cos(θ +45°)- sin(θ +45°)=0.32 32 32 32答案 D5.设 α ∈ ,β ∈ ,且 tan α= ,则( )(0,𝜋2) (0,𝜋2) 1+𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽A.3α-β= B.3α+β=𝜋2 𝜋2C.2α-β= D.2α+β=𝜋2 𝜋2解析由 tan α= ,得 ,得 sin α cos β- cos α sin β= cos α ,sin(α-1+𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=1+𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽β )=sin .(𝜋2-𝛽)又 α ∈ ,β ∈ ,(0,𝜋2) (0,𝜋2)故 α-β= -β ,即 2α-β= .𝜋2 𝜋2答案 C6.化简: = . 𝑠𝑖𝑛(𝛼-150°)+𝑐𝑜𝑠(𝛼-120°)𝑐𝑜𝑠𝛼解析原式 =3𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠150°-𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛150°+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠120°+𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛120°𝑐𝑜𝑠𝛼= =-1.- 32𝑠𝑖𝑛𝛼-12𝑐𝑜𝑠𝛼-12𝑐𝑜𝑠𝛼+32𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼答案 -17.已知 tan(α+β )= ,tan ,则 tan 的值为 . 25 (𝛽-𝜋4)=14 (𝛼+𝜋4)解析因为 tan(α+β )= ,tan ,25 (𝛽-𝜋4)=14所以 tan(𝛼+𝜋4)=tan [(𝛼+𝛽)-(𝛽-𝜋4)]= .𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)-𝑡𝑎𝑛(𝛽-𝜋4)1+𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)𝑡𝑎𝑛(𝛽-𝜋4)=322答案3228.若 α 是锐角,且满足 sin ,则 cos α 的值为 . (𝛼-𝜋6)=13解析 ∵α 是锐角, ∴- 0)有最大值 1和最小值 -4,求 a,b的值 .22 (𝜋4+𝑥)解 f(x)= (cos x-sin x)sin -2asin x+b= (cos2x-sin2x)-2asin x+b= (1-2sin2x)-2asin 22 (𝜋4+𝑥) 12 12x+b=-(sin x+a)2+ +a2+b.12当 a≥1 时, f(x)的最小值等于 f ,最大值等于 f ,依题意得(𝜋2) (-𝜋2) {-2𝑎+𝑏-12=-4,2𝑎+𝑏-12=1, 解得 a= ,b=-1.54当 0a1时,依题意可得{-2𝑎+𝑏-12=-4,12+𝑎2+𝑏=1, 解得 a= -1(舍去)或 a=- -1(舍去) .5 5综上可得 a= ,b=-1.5413.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课后篇巩固探究A组 基础巩固1. =( )(𝑐𝑜𝑠 𝜋12-𝑠𝑖𝑛 𝜋12)(𝑐𝑜𝑠 𝜋12+𝑠𝑖𝑛 𝜋12)A.- B.- C. D.32 12 12 32解析原式 =cos2 -sin2 =cos ,𝜋12 𝜋12 𝜋6=32故选 D.答案 D2.若 tan α= 3,则 的值等于( )𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼A.2 B.3 C.4 D.6解析 =2tan α =2×3=6.𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼答案 D3.已知 sin ,则 cos 的值为( )(𝜋4-𝑥)=35 ( 𝜋2-2𝑥)2A. B. C. D.1925 1625 1425 725解析 cos =cos (𝜋2-2𝑥) [2(𝜋4-𝑥)]=1-2sin2 =1-2× .(𝜋4-𝑥) (35)2=725答案 D4.若 α 为锐角,3sin α =tan α = tan β ,则 tan 2β 等于( )2A. B. C.- D.-34 43 34 43解析因为 α 为锐角,3sin α =tan α ,所以 cos α = ,则 tan α =2 ,即 tan β =2,所以 tan 2β =13 2=- .2𝑡𝑎𝑛𝛽1-𝑡𝑎𝑛2𝛽43答案 D5.若 ,则 tan 2α= ( )𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼-𝑐𝑜𝑠𝛼=12A.- B. C.- D.34 34 43 43解析等式 左边分子、分母同时除以 cos α (显然 cos α ≠0),得 ,𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼-𝑐𝑜𝑠𝛼=12 𝑡𝑎𝑛𝛼+1𝑡𝑎𝑛𝛼-1=12解得 tan α=- 3,∴ tan 2α= .2𝑡𝑎𝑛𝛼1-𝑡𝑎𝑛2𝛼=34答案 B6.已知 α ∈ ,sin α= ,则 tan 2α= . (𝜋2,𝜋) 55解析由 α ∈ ,sin α= ,得 cos α=- ,tan α= =- ,tan 2α= =- .(𝜋2,𝜋) 55 255 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼12 2𝑡𝑎𝑛𝛼1-𝑡𝑎𝑛2𝛼43答案 -4337.化简: = . 2𝑠𝑖𝑛2𝛼1+𝑐𝑜𝑠2𝛼·𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼解析原式 = =tan 2α.2𝑠𝑖𝑛2𝛼2𝑐𝑜𝑠2𝛼·𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼答案 tan 2α8.若 cos(75°+α )= ,则 sin(60°+2α )= . 13解析依题意,cos(75° +α )= ,则 cos(150°+2α )=2cos2(α+ 75°)-1=2× -1=- ,sin(60°+2α )13 (13)2 79=-cos(90°+60°+2α )=-cos(150°+2α )= .79答案799.求下列各式的值:(1) ;2𝑐𝑜𝑠2𝛼-12𝑡𝑎𝑛(𝜋4-𝛼)𝑠𝑖𝑛2(𝜋4+𝛼)(2)2 tan 15°+tan215°;3(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.解(1)原式 =𝑐𝑜𝑠2𝛼2𝑡𝑎𝑛(𝜋4-𝛼)𝑐𝑜𝑠2(𝜋2-𝜋4-𝛼)=𝑐𝑜𝑠2𝛼2𝑡𝑎𝑛(𝜋4-𝛼)𝑐𝑜𝑠2(𝜋4-𝛼)=𝑐𝑜𝑠2𝛼2𝑠𝑖𝑛(𝜋4-𝛼)𝑐𝑜𝑠(𝜋4-𝛼)=𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑠𝑖𝑛(2×𝜋4-2𝛼)= =1.𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼(2)原式 = tan 30°(1-tan215°)+tan215°34= (1-tan215°)+tan215°=1.3×33(3)(方法一)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°= cos 20°cos 40°cos 80°=12.2𝑠𝑖𝑛20°𝑐𝑜𝑠20°𝑐𝑜𝑠40°𝑐𝑜𝑠80°4𝑠𝑖𝑛20°=𝑠𝑖𝑛40°𝑐𝑜𝑠40°𝑐𝑜𝑠80°4𝑠𝑖𝑛20° =𝑠𝑖𝑛80°𝑐𝑜𝑠80°8𝑠𝑖𝑛20° =116·𝑠𝑖𝑛160°𝑠𝑖𝑛20°=116(方法二)令 x=sin 10°sin 50°sin 70°,y=cos 10°cos 50°cos 70°.则 xy=sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°= sin 20°· sin 100°· sin 140°12 12 12= sin 20°sin 80°sin 40°18= cos 10°cos 50°cos 70°= y.18 18∵y ≠0, ∴x= .18从而有 sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°= .11610.已知 sin α +cos α = ,α ∈ ,sin ,β ∈ .355 (0,𝜋4) (𝛽-𝜋4)=35 (𝜋4,𝜋2)(1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值;(2)求 cos(α +2β )的值 .解(1)由题意得(sin α +cos α )2= ,即 1+sin 2α = ,∴ sin 2α = ,又易知 2α ∈ ,95 95 45 (0,𝜋2)∴ cos 2α = ,∴ tan 2α = .1-𝑠𝑖𝑛22𝛼=35 𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑐𝑜𝑠2𝛼=43(2)∵ β ∈ ,β - ,sin ,(𝜋4,𝜋2) 𝜋4∈(0,𝜋4) (𝛽-𝜋4)=355∴ cos ,(𝛽-𝜋4)=45∴ sin 2 =2sin cos .(𝛽-𝜋4) (𝛽-𝜋4) (𝛽-𝜋4)=2425又 sin 2 =-cos 2β ,∴ cos 2β =- .(𝛽-𝜋4) 2425又易知 2β ∈ ,∴ sin 2β = .(𝜋2,𝜋) 725又 cos2α = ,∴ cos α = ,∴ sin α = ,1+𝑐𝑜𝑠2𝛼2 =45 255 55∴ cos(α +2β )=cos α cos 2β -sin α sin 2β = =- .255×(-2425)‒55×72511525B组 能力提升1.4sin 80°- =( )𝑐𝑜𝑠10°𝑠𝑖𝑛10°A. B.- C. D.2 -33 3 2 2解析 4sin 80°-𝑐𝑜𝑠10°𝑠𝑖𝑛10°=4𝑐𝑜𝑠10°𝑠𝑖𝑛10°-𝑐𝑜𝑠10°𝑠𝑖𝑛10°=2𝑠𝑖𝑛20°-𝑐𝑜𝑠10°𝑠𝑖𝑛10° =2𝑠𝑖𝑛(30°-10°)-𝑐𝑜𝑠10°𝑠𝑖𝑛10°= =- .2(𝑠𝑖𝑛30°𝑐𝑜𝑠10°-𝑐𝑜𝑠30°𝑠𝑖𝑛10°)-𝑐𝑜𝑠10°𝑠𝑖𝑛10° 3答案 B2.若 α ∈ ,且 cos2α +cos ,则 tan α = ( )(0,𝜋2) (𝜋2+2𝛼)=310A. B. C. D. 或 -712 14 13 13解析 cos2α +cos =cos2α -sin 2α =cos2α -2sin α cos α =(𝜋2+2𝛼),整理得 3tan2α +20tan α -7=0,解得 tan α = 或 tan 𝑐𝑜𝑠2𝛼-2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼 =1-2𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛2𝛼+1=310 13α =-7.又 α ∈ ,所以 tan α = ,故选 C.(0,𝜋2) 136答案 C3.若 tan α = ,则 tan = . 12 (2𝛼+𝜋4)解析 ∵ tan α = ,∴ tan 2α = .12 2𝑡𝑎𝑛𝛼1-𝑡𝑎𝑛2𝛼=2×121-14=43∴ tan =-7.(2𝛼+𝜋4)=𝑡𝑎𝑛2𝛼+𝑡𝑎𝑛𝜋41-𝑡𝑎𝑛2𝛼𝑡𝑎𝑛𝜋4=43+11-43答案 -74.已知角 α ,β 为锐角,且 1-cos 2α =sin α cos α ,tan(β -α )= ,则 β = . 13解析由 1-cos 2α =sin α cos α ,得 1-(1-2sin2α )=sin α cos α ,即 2sin2α =sin α cos α .∵ α 为锐角, ∴ sin α ≠0,∴ 2sin α =cos α ,即 tan α = .12(方法一)由 tan(β -α )=𝑡𝑎𝑛𝛽-𝑡𝑎𝑛𝛼1+𝑡𝑎𝑛𝛽𝑡𝑎𝑛𝛼=𝑡𝑎𝑛𝛽-121+12𝑡𝑎𝑛𝛽= ,得 tan β =1.∵ β 为锐角 ,∴ β = .13 𝜋4(方法二)tan β =tan(β -α +α )=𝑡𝑎𝑛(𝛽-𝛼)+𝑡𝑎𝑛𝛼1-𝑡𝑎𝑛(𝛽-𝛼)𝑡𝑎𝑛𝛼= =1.∵β 为锐角, ∴β= .13+121-13×12 𝜋47答案𝜋45.已知函数 f(x)= .4𝑐𝑜𝑠4𝑥-2𝑐𝑜𝑠2𝑥-1𝑠𝑖𝑛(𝜋4+𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝜋4-𝑥)(1)求 f 的值;(-11𝜋12)(2)当 x∈ 时,求函数 g(x)= f(x)+sin 2x的最大值和最小值 .[0,𝜋4) 12解(1) f(x)=(1+𝑐𝑜𝑠2𝑥)2-2𝑐𝑜𝑠2𝑥-1𝑠𝑖𝑛(𝜋4+𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝜋4-𝑥)=𝑐𝑜𝑠22𝑥𝑠𝑖𝑛(𝜋4+𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝜋4+𝑥)= =2cos 2x,2𝑐𝑜𝑠22𝑥𝑠𝑖𝑛(𝜋2+2𝑥)=2𝑐𝑜𝑠22𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥所以 f =2cos =2cos .(-11𝜋12) (-11𝜋6) 𝜋6=3(2)g(x)=cos 2x+sin 2x= sin .2 (2𝑥+𝜋4)因为 x∈ ,所以 2x+ ,[0,𝜋4) 𝜋4∈[𝜋4,3𝜋4)所以当 x= 时, g(x)max= ,𝜋8 2当 x=0时, g(x)min=1.6.已知函数 f(x)=4tan xsin ·cos .(𝜋2-𝑥) (𝑥-𝜋3)‒3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性 .[-𝜋4,𝜋4]8解(1) f(x)的定义域为 .{𝑥|𝑥≠𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈ 𝑍}f(x)=4tan xcos xcos(𝑥-𝜋3)‒3=4sin xcos(𝑥-𝜋3)‒3=4sin x(12𝑐𝑜𝑠𝑥+32𝑠𝑖𝑛𝑥)‒3=2sin xcos x+2 sin2x-3 3=sin 2x+ (1-cos 2x)-3 3=sin 2x- cos 2x=2sin .3 (2𝑥-𝜋3)所以 f(x)的最小正周期 T= =π .2𝜋2(2)令 z=2x- ,函数 y=2sin z的单调递增区间是 ,k∈Z .由 - +2kπ≤2 x-𝜋3 [-𝜋2+2𝑘𝜋,𝜋2+2𝑘𝜋] 𝜋2+2kπ,得 - +kπ≤ x≤ +kπ, k∈Z .𝜋3≤𝜋2 𝜋12 5𝜋12设 A= ,B= x - +kπ≤ x≤ +kπ, k∈Z ,易知 A∩ B= .所以,当 x∈[-𝜋4,𝜋4] 𝜋12 5𝜋12 [-𝜋12,𝜋4]时, f(x)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减 .[-𝜋4,𝜋4] [-𝜋12,𝜋4] [-𝜋4,-𝜋12]13.2 简单的三角恒等变换课后篇巩固探究1.cos2 的值为( )𝜋8‒14A. B. C. D.2-14 2+14 24 22解析 cos2 .𝜋8‒14=1+𝑐𝑜𝑠𝜋42 ‒14=2+14答案 B2.已知 α 为第一象限角,且 tan α= ,则 sin 的值为( )43 𝛼2A. B.- C.± D.55 55 55 15解析因为 α 为第一象限角,且 tan α= ,所以 cos α= ,而 是第一或第三象限角 .当 是第一象限43 35 𝛼2 𝛼2角时,sin ;当 是第三象限角时,sin =- =- ,故 sin =± .𝛼2=1-𝑐𝑜𝑠𝛼2 =55 𝛼2 𝛼2 1-𝑐𝑜𝑠𝛼2 55 𝛼2 55答案 C3.若函数 f(x)=(1+ tan x)cos x,则 f =( )3 (𝜋12)A. B.- C.1 D.6- 22 3 22解析 ∵f (x)= cos x=cos x+ sin x=2sin ,∴f =2sin =2sin .(1+3·𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥) 3 (𝑥+𝜋6) (𝜋12) (𝜋12+𝜋6) 𝜋4=2答案 D4.设 a= cos 7°+ sin 7°,b= ,c= ,则有( )12 32 2𝑡𝑎𝑛19°1-𝑡𝑎𝑛219° 1-𝑐𝑜𝑠72°2A.bac B.abc C.acb D.cba解析因为 a= cos 7°+ sin 7°=sin 30°·cos 7°+cos 30°·sin 7°=sin 37°,b=12 32=tan 38°,c= =sin 36°,又 tan 38°sin 38°sin 37°sin 2𝑡𝑎𝑛19°1-𝑡𝑎𝑛219° 1-𝑐𝑜𝑠72°236°.所以 bac.答案 A5.已知 ,则 的值等于( )1-𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 =35 𝑐𝑜𝑠𝑥1+𝑠𝑖𝑛𝑥A. B.- C. D.-35 35 53 53解析因为 =1,而 ,所以 ,故1-𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 ·1+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 =1-𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 =𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 1-𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 =35 1+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 =53.𝑐𝑜𝑠𝑥1+𝑠𝑖𝑛𝑥=35答案 A6.设函数 f(x)=sin(ωx+φ )+cos(ωx+φ ) ω 0,|φ| 的最小正周期为 π,且 f(-x)=f(x),则( )𝜋2A.f(x)在 上单调递减(0,𝜋2)B.f(x)在 上单调递减(𝜋4,3𝜋4)C.f(x)在 上单调递增(0,𝜋2)D.f(x)在 上单调递增(𝜋4,3𝜋4)解析 f(x)=sin(ωx+φ )+cos(ωx+φ )3= sin ,由最小正周期为 π 得 ω= 2,2 (𝜔𝑥+𝜑+𝜋4)由 f(-x)=f(x)可知 f(x)为偶函数,又 |φ| ,所以 φ= ,所以 f(x)= cos 2x,在 上单调𝜋2 𝜋4 2 (0,𝜋2)递减 .答案 A7.若 tan α= ,则 = . 17 1+𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛼解析因为 tan α= ,所以 =7.𝑠𝑖𝑛2𝛼1+𝑐𝑜𝑠2𝛼=17 1+𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛼答案 78.已知 f(x)=sin x+ cos x,且锐角 θ 满足 f(θ )=2,则 θ= . 3解析因为 f(x)=sin x+ cos x=2 =2sin ,又因为 f(θ )=2,3 (12𝑠𝑖𝑛𝑥 + 32𝑐𝑜𝑠𝑥) (𝑥+𝜋3)所以 2sin =2,解得 θ= .(𝜃+𝜋3) 𝜋6答案𝜋69.已知 cos =m,则 cos x+cos = . (𝑥-𝜋6) (𝑥-𝜋3)解析因为 cos x+cos =cos x+cos xcos +sin xsin cos x+ sin x= cos ,所(𝑥-𝜋3) 𝜋3 𝜋3=32 32 3 (𝑥-𝜋6)以 cos x+cos m.(𝑥-𝜋3)=3答案 m310. 导学号 68254108已知 sin α= ,sin(α+β )= ,α ,β 均为锐角,求 cos 的值 .1213 45 𝛽2解 ∵ 0α ,∴ cos α= ,𝜋2 1-𝑠𝑖𝑛2𝛼=513∵ 0α ,0β ,∴ 0α+β π,𝜋2 𝜋2若 0α+β ,∵ sin(α+β )sin α ,𝜋24∴α+βα ,∴β 0,与已知矛盾,∴ α+β π, ∴ cos(α+β )=- ,𝜋2 35∴ cos β= cos [(α+β )-α ]=cos(α+β )cos α+ sin(α+β )sin α=- .35×513+45×1213=3365∵ 0β ,∴ 0 ,𝜋2 𝛽2𝜋4∴ cos .𝛽2=1+𝑐𝑜𝑠𝛽2 =7656511.已知 sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos 2A+cos2B+cos2C= .32证明由已知,得 sin A+sin B=-sin C, ①cos A+cos B=-cos C. ②和差化积,得 2sin cos =-sin C. ③𝐴+𝐵2 𝐴-𝐵22cos cos =-cos C. ④𝐴+𝐵2 𝐴-𝐵2∵ 当 cos =0时,sin C=cos C=0,不满足题意, ∴ cos ≠0 .𝐴-𝐵2 𝐴-𝐵2③÷④ ,得 tan =tan C.𝐴+𝐵2∴ cos(A+B)= =cos 2C.1-𝑡𝑎𝑛2𝐴+𝐵21+𝑡𝑎𝑛2𝐴+𝐵2 =1-𝑡𝑎𝑛2𝐶1+𝑡𝑎𝑛2𝐶① 2+② 2,得 2+2cos(A-B)=1,即 cos(A-B)=- ,12∴ cos2A+cos2B+cos2C= (1+cos 2A+1+cos 2B+1+cos 2C)125= [2cos(A+B)cos(A-B)+cos 2C]32+12= .32+12[2·𝑐𝑜𝑠2𝐶·(-12)+𝑐𝑜𝑠2𝐶]=32