1、广西南宁第二中学 2018 届高三年级 6 月份考试理科数学试卷本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页。第卷 3 至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效。3第卷共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一选
2、择题1.1.已知集合 ，若 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 可得 ，又 ，从而可得 【详解】 ， 又 ， 故选 C【点睛】本题考查集合间关系的判定，考查分析判断的能力，解题的关键是根据相关定义求解另外，本题也可通过画出文恩图求解 2.2.若复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】试题分析：由题意可得 ，解得 .考点：复数的定义.3.3.如右饼图，某学校共有教师 120 人，从中选出一个 30 人的样本，其中被选出的青年女教师的人数为（ ）A. 12 B. 6 C. 4 D. 3【答案】D【解析】【分析】根据饼图得到青年教师
3、的人数，进而得到青年女教师的人数，然后根据抽样比得到所要抽取的人数【详解】青年教师的人数为 12030%36 人，所以青年女教师为 12 人，故青年女教师被选出的人数为 故选 D【点睛】 （1）对于总体是由明显区别的几个层组成的情况，在抽样时可采用分层抽样的方法分层抽样即按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比总体中各层的数量之比（2）读懂饼形图的含义也是解答本题的关键之一4.4.在ABC 中，命题 ：“ ”，命题 q：“ABC 的三个内角 A、B、C 不成等差数列” 。那么 p 是 q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【
4、答案】C【解析】【分析】利用等价命题进行判断，即判断“ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列”是“ ”的什么条件即可【详解】“ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列” ，“ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列”是“ ”的充分必要条件，命题 p 是 q 的充分必要条件故选 C【点睛】充分、必要条件的判断方法(1)利用定义判断：直接判断“若 p，则 q”“若 q，则 p”的真假在判断时，确定条件是什么、结论是什么(2)从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定抓住“ 以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题(3)利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转
5、化为其逆否命题来判断真假5.5.某四面体三视图如图所示，该四面体的体积为（ ）A. 8 B. C. 20 D. 24【答案】A【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，然后结合直观图的特征和相关数据求得几何体的体积【详解】由三视图还原几何体如下图所示的三棱锥 ，其中棱 与底面垂直， ；底面三角形 为直角三角形，且两直角边分别为 所以该四面体的体积是 故选 A【点睛】以三视图为载体考查几何体的表面积和体积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后再结合题意求解6.6.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续
6、两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.4 B. 0.6 C. 0.75 D. 0.8【答案】D【解析】【分析】根据条件概率的定义求解即可得到结果【详解】设 “某一天的空气质量为优良 ”为事件 A， “随后一天的空气质量为优良”为事件 B，则 ， 故选 D【点睛】条件概率的求法(1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 注意：事件 A 与事件 B 有时是相互独立事件， 有时不是相互独立事件，要弄清 P(AB)的求法(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在
7、事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数 ，即 n(AB)，得7. 甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，只有其中一位获奖有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖 ”乙说：“甲、丙都未获奖 ”丙说：“我获奖了 ”丁说：“是乙获奖 ”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】C【解析】若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符；若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，与题意不符；当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符.故选 C.点睛：本题主要考查的
8、是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.8.8.执行右面的程序框图,如果输入的 N=4,那么输出的 S=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】依次运行程序框图中的程序后可得输出结果【详解】依次运行框图中的程序，可得： , ， ，不满足 ，继续运行； ， ， ，不满足 ，继续运行； ， ， ，不满足 ，继续运行； ， ， ，满足 ，停止运行，输出故选 C【点睛】解答类似问题时首先要做的就是弄清程序框图想要实现的最终功能，逐次运行程序可得结果对于条件结构，要根据条件进行判断，弄清程序的流向；对于循环结构，要弄清楚循环体是
9、什么、变量的初始条件是什么和循环的终止条件是什么，要特别注意循环终止时各变量的当前值9.9.在棱长为 4 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直线AM 和 CN 所成的角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据作平行线的方法作出两直线所成的角，然后通过余弦定理求得两直线所成角的余弦值【详解】过点 N 作 AM 的平行线交 AB 于点 E，则 AE3EB，连接 EC，设 AB4，在NEC 中有 ，由余弦定理得 ，直线 AM 和 CN 所成的角的余弦值是 故选 D【点睛】利用几何法求异面直线所成角的步骤：作：
10、利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角， 可固定一条 ，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上证：证明作出的角为所求角求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角10.10.已知 的展开式中，系数为有理数的项的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】的展开式为 ，其中 ，且 为整数，整理之后得 ，要使上市的系数为有理数，则 为 的倍数， 为的倍数，则 . 选 D.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，
11、再由通项写出第 项，由特定项得出值，最后求出其参数.11.11.定义在 上的偶函数 满足：对任意的实数 都有 ，且 ，。则 的值为（ ）A. 2017 B. 1010 C. 1008 D. 2【答案】B【解析】【分析】由 可得 ，再结合函数为偶函数可得函数 是周期为 2 的周期函数，于是 ，由周期性可得所求的值【详解】由 ， ，得 ， 是周期为 2 的周期函数 ，又 ，于是 故选 B【点睛】本题考查函数周期性的判定和应用，由条件中给出的偶函数和对称性，得到函数的周期性是解题的关键对于函数而言，若已知函数奇偶性、对称性和周期性中的两个性质，则可得到第三个性质（2）解题中还要注意函数性质的不同的表
12、达方式，如函数 图象的对称轴为 12.12.已知抛物线 的焦点为 F，点 是抛物线 C 上一点，圆 M与线段 MF 相交于点 A，且被直线 截得的弦长为 ，若 ，则 （ ）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形分析，根据抛物线的定义可得 ，则得 ，再结合弦长可得 然后在 RtMDE 中结合勾股定理可得 ，进而可得 【详解】画出图形如下图所示由题意得点 在抛物线上，则 ，则 由抛物线的性质可知 ，则 ，被直线 截得的弦长为 ，则 又 ，在 Rt MDE 中， ，即 ，整理得： ， ，由解得 故选 B【点睛】求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题时，可根据涉及抛物线
13、与其他圆锥曲线的相应知识，利用相应曲线的定义、标准方程、几何性质，并根据数形结合的方法构建关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后逐步求解可得到结果二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中横线上。13.13.已知 、 满足 ，则 的最大值为 【答案】6【解析】试题分析：作出可行域，如图 内部（含边界） ，作出线 ，平移直线，当它过点 时，取得最大值 6考点：简单的线性规划14.14.设函数 ，若 ，那么 _。【答案】3【解析】【分析】根据分段函数的解析式，分 和 两种情况分别求解，可得结果【详解】 当 时，有 ，不合题意当 时，由题意得 ，解得 或 （舍
14、去） 综上可得 【点睛】分段函数的问题一般渗透着分类讨论的思想方法，当已知分段函数的值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)时，应根据每一段的解析式分别求解， 但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围15.15.已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则该双曲线的离心率是_。【答案】【解析】【分析】根据双曲线的渐近线与直线 垂直可得 ，然后根据离心率的定义求解即可【详解】由已知有双曲线渐近线的方程为 ，双曲线的一条渐近线与直线 垂直 ， ，离心率 【点睛】求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或不等式，利用 和 转化为关于 e 的
15、方程或不等式 ，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围16.16.已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为 ，则该正四棱锥内切球的表面积为_。【答案】【解析】【分析】根据侧面积求出正四棱锥的棱长，画出组合体的截面图，根据三角形的相似求得四棱锥内切球的半径，于是可得内切球的表面积【详解】设正四棱锥的棱长为，则 ，解得 于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN 的内切圆，其中 ， 设内切圆的半径为，由 ，得 ，即 ，解得 ，内切球的表面积为 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点
16、为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球 的直径三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.17.如图，在 中，角 ， ， 所对的边分别为， ， ，且 ， 为 边上一点.（1 ）若 是 的中点，且 ， ，求 的最短边的边长.（2 ）若 ， ，求 的长；【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由 ， ，可得 ，在 中，由角 A 的余弦定理，可解得 b,c. 在 中，由 A 的余弦定理，可解得 。所以最小边为边。 （2）由 ，可解得 ， ，可解得 。试题解析：（1）在 中，
17、 ， 则 ， ，解得 .在 中 ，解得 的最短边的边长（2） ， ， ， ， ， ， 18.18.已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC 垂直，ABC=90 0，BC=2，AC=，且 AA1A1C，AA1=A1C.（）求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小；（）求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小。【答案】(1)见解析;(2)60 0【解析】【分析】（）作 A1DAC，垂足为 D，由平面 A1ACC1平面 ABC 可得 A1D平面 ABC，故A 1AD 即为 A1A 与平面 ABC 所成的角，解三角形可得A 1AD=450 即为所求 （
18、）方法一：用几何法，作出两平面所成的二面角，解直角三角形可得所求角的大小方法二：建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，借助两法向量夹角求出二面角的大小【详解】 （）解：作 A1DAC，垂足为 D，平面 A1ACC1平面 ABC，平面 A1ACC1平面 ABC ，A 1D平面 ABC，A 1AD 即为 A1A 与平面 ABC 所成的角AA1A1C，AA1=A1C， A1AD=450，侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角为 450 （）解法一：作 DEAB，垂足为 E，连 A1E，则有 A1D平面 ABC，由三垂线定理得 A1EAB， A1ED 是平面 A1ABB1 与平面 ABC 所成二面角的
19、平面角.由已知得 ABBC，所以 EDBC.又 D 是 AC 的中点，BC=2，AC= ， DE=1，AD=A1D= ，在A 1ED=600，侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小为 600（）解法二：由（）可知 平面 ABC，于是以 为原点，过点平行于 BC、AB 的直线为 x、y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示则 .设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，令 ，则 ， 又平面 ABC 的法向量为 ， ，由图形得侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角为锐角，侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小为 600【点睛】 （1）用几何法求空间角时，要体现出“一作、二证
20、、三计算”的步骤，即先作出所求的角，然后通过解三角形得到所求角的大小（或某一三角函数值）（2）用向量法求空间角时，在求得两向量的夹角后，还要注意向量的夹角和所求空间角的关系，即要把向量的夹角转化为所求的空间角19.19.为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”（单位：天） ，某中学团委组织学生在十字路口采用随机抽样的方法抽取了 80 名青年学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组青年学生的月“关注度”分为 6 组： ， ， ， ， ， ，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）现从“关注度”在 的男生与女生中选
21、取 3 人，设这 3 人来自男生的人数为，求的分布列与期望；（3）在抽取的 80 名青年学生中，从月“关注度”不少于 25 天的人中随机抽取 2 人，求至少抽取到 1 名女生的概率.【答案】(1)0.05；(2)答案见解析；(3) .【解析】试题分析： 由频率分布的性质易得的值；计算出男生与女生的人数，得出的取值可以为 1,2,3，然后列分布表求期望（3）抽取到1 名女生分为 1 名女生 1 名男生与 2 名女生两种情况，利用古典概率公式求解即可解析：（1） .（2）从频率分布直方图可知在 内的男生人数为 人，女生人数为人，男女生共 6 人，因此的取值可以为 1,2,3，故 ， ， .所以的分
22、布列为1 2 3数学期望 .（3）记“在抽取的 80 名青年学生中，从月“关注度”不少于 25 天的人中随机抽取 2 人，至少抽到 1 名女生”为事件 ，在抽取的女生中，月“关注度”不少于 25 天即在 内的人数为 2，在抽取的男生中，月“关注度”不少于 25 天即在 内的人数为 4，则在抽取的 80 名学生中，共有 6 人月“关注度”不少于 25 天，从中随机抽取 2 人，所有可能的结果有 种，而事件 包含的结果有 种，所以 .20.20.已知椭圆 （ ）的焦点分别为 ， ，离心率 ，过左焦点的直线与椭圆交于 ， 两点， ，且 .（1）求椭圆的标准方程；（2）过点 的直线与椭圆有两个不同的交
23、点 ， ，且点 在点 ， 之间，试求和 面积之比的取值范围（其中 为坐标原点）.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将角化为边 ，再根据椭圆定义得，求得 ，根据离心率求得 ， ， （2）两面积之比等于 A,B 两点纵坐标之比，所以先设的方程为 ，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理得 ，令 ，消元可得，即 . 根据判别式大于零得 .解不等式可得取值范围试题解析：（）在 中，由正弦定理得 ，由椭圆定义得，所以 ，故 ，又 ，所以 ， ，所以椭圆的标准方程为 （）依题意知直线的斜率存在且不为 0，设的方程为 ，与椭圆方程 联立，消去 x 整理得 ， 由 ，解得 . 设
24、,则 令 ，则 ，且 . 将 代人得 ，消去 得 ，即 . 由 ，得 ，所以 且 , 解得 或 . 又 ， ，故 和 面积之比的取值范围为 .21.21.已知函数 .（）求函数 的单调区间；（）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) 递增区间为 ；递减区间为 ;(2) .【解析】【分析】（）求出函数的定义域，然后求出 ，令，且 ，根据函数 的单调性可得到不等式 和的解集，进而得到所求的单调区间 （）分离参数后可得当 时，不等式恒成立令 ，设 （ ），结合导数求得后可得所求的范围【详解】 （）由题意得函数 的定义域为 ， ， ，令 ，且 ，则 ，在 为单调递减函数，当 时，
25、 ，故 单调递增； 当 时， ，故 单调递减函数 的递增区间为 ；递减区间为 （）由题意得，当 时，不等式 恒成立等价于当 时，不等式恒成立令 ，设 （ ），则 .由（）知当 时， ，在 单调递减 ， ，实数 的取值范围为 【点睛】 （1）利用导数解决函数问题时，若求导数后无法判断导函数的符合，则可采用构造新的函数，通过再次求导数得到所求（2）解决恒成立问题时，若参数能够分离，则通过分离参数后转化为求函数的最值的问题处理，求函数的最值时一般还要通过导数的知识求解请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。22.22.选修 4-4：坐标系与参数方程
26、在极坐标中,已知圆 被直线 截得的弦长为 ,圆心为直线 与极轴的交点,求圆 的极坐标方程.【答案】见解析【解析】【分析】由题意先求得圆心的极坐标为 ，然后根据弦长求出圆的半径 ，最后根据圆在极坐标系中的特点求出圆的极坐标方程【详解】由已知在直线 方程中令 ，得 ，圆 的圆心的极坐标为 C(1,0)又圆 被直线 截得的弦长为 ，圆心 C 到直线 的距离为 ，圆 的半径为 又圆 C 过坐标原点，圆 的极坐标方程为 ，即 【点睛】求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标23.23.选修 4-5：不等式选讲()如果关于 x 的不等式 的解集不是空集，求参数 m 的取值范围；()已知正实数 a，b，且 ，求证： 。【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】【分析】()根据绝对值的三角不等式求出 的最小值，则可得到 m 的取值范围()由不等式 可得 ，即 又，所以 ，故得 【详解】() ，当且仅当 ，即 时等号成立，参数 m 的取值范围为 () ， ，即 由于 ， ， ， 【点睛】 （1）运用绝对值的三角不等式解题时要注意等号成立的条件，这点容易被忽视（2）证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法证明不等式时要结合题中的条件及不等式的特征，合理选择方法进行证明
